2025年外研衔接版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研衔接版高二数学下册阶段测试试卷864考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、在数列中，则（）A.B.C.D.2、若一个△ABC，采用斜二测画法作出其直观图是面积等于1的△A1B1C1；则原△ABC的面积是（）

A.

B.2

C.

D.

3、某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如右表：。认为作业量大认为作业量不大总数男生18927女生81523总数262450则学生的性别与作业量的大小有关系的把握大约为()A.99%B.95%C.90%D.无充分根据4、等于（）A.1B.C.D.5、【题文】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，则的实轴长为（）A.B.C.D.6、设是已知的平面向量且关于向量的分解；有如下四个命题：

①给定向量总存在向量使

②给定向量和总存在实数和使

③给定单位向量和正数总存在单位向量和实数使

④给定正数和总存在单位向量和单位向量使

上述命题中的向量和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A.1B.2C.3D.47、等比数列{an}中a1+a2++a5=15，a12+a22++a52=30，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5=（）A.4B.3C.2D.18、复数a+bi（a，b∈R）的平方是实数等价于（）A.a2+b2=0B.a=0且b=0C.a≠0D.ab=09、函数f(x)=x+ex

的导数是(

)

A.ex

B.1+1x

C.1+xex鈭�1

D.1+ex

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲．11、与直线x+2y-1=0切于点A（1，0），且经过点B（2，-3）的圆的方程为____．12、已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝P(B)＝则P(A)＝________；P()＝________.13、已知椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积是____．14、【题文】给出下列五个命题：

①函数的一条对称轴是

②函数的图象关于点(0)对称；

③正弦函数在第一象限为增函数。

④若则其中

以上四个命题中正确的有____（填写正确命题前面的序号）15、【题文】当时，不等式恒成立，则的取值范围是____．16、《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，一丈等于十尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约为______斛．

【注】这里说明的“圆窖”就是就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”17、在Rt鈻�ABC

中，三边长分别为abc

则c2=a2+b2

则在同一顶点引出的三条两两垂直的三棱锥V鈭�ABC

中，则有______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、计算题(共2题，共4分)25、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。26、解不等式组．评卷人得分五、综合题(共4题，共20分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．29、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为30、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】试题分析：（累加法）分别相加(去掉第一个)，可得考点：数列的递推公式.【解析】【答案】A2、D【分析】

∵侧二测画法中得到的直观图面积与原图形的面积之比为1：

由于直观图△A1B1C1的面积等于1

故原图△ABC的面积S=1÷=

故选D

【解析】【答案】由于△ABC的直观图对应的△A1B1C1，底边长与三角形ABC底边长相等，高是原三角形高的易得直观图与原图面积之比为1：进而可以得到直观图与原图面积之比为1：由已知直观图面积，代入即可得到答案．

3、B【分析】所以学生的性别与作业量的大小有关系的把握大约为95%.【解析】【答案】B4、C【分析】【解析】

【解析】【答案】C5、C【分析】【解析】设等轴双曲线方程为抛物线的准线为由|AB|=则把坐标代入双曲线方程得所以双曲线方程为即所以a2=4，a=2，所以实轴长2a=4，选C.【解析】【答案】C6、B【分析】【解答】利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定理，易知正确；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须所以④是假命题。综上，本题选B．7、C【分析】【解答】解：设数列{an}的公比为q，且q≠1，则a1+a2+a3+a4+a5==15①，且a12+a22+a32+a42+a52==30②．

∴②÷①得=2，∴a1﹣a2+a3﹣a4+a5==2；

故选：C．

【分析】先设等比数列{an}公比为q，分别用a1和q表示出a12+a22+a32+a42+a52，a1+a2+a3+a4+a5和a1﹣a2+a3﹣a4+a5，发现a12+a22+a32+a42+a52除以a1+a2+a3+a4+a5正好与a1﹣a2+a3﹣a4+a5相等，进而得到答案．8、D【分析】解：（a+bi）2=（a2-b2）+2abi，若是实数，则虚部ab=0；

故选D

计算复数a+bi（a，b∈R）的平方计算出来；写成代数形式，须虚部为0，再进行选择．

本题考查复数的运算，复数的分类．属于基础题．【解析】【答案】D9、D【分析】解：函数的导数为f隆盲(x)=1+ex

故选：D

．

根据函数的导数公式进行求解即可．

本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键.

比较基础．【解析】D

二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】【解析】【答案】-____11、略

【分析】

设所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0）

∵直线x+2y-1=0切于点A（1；0）；

∴（1-a）2+（0-b）2=r2①，且②

又∵点B（2；-3）在圆上；

∴（2-a）2+（-3-b）2=r2③

将①②③联解，得a=0，b=-2且r2=5

∴所求圆的方程为x2+（y+2）2=5

故答案为：x2+（y+2）2=5

【解析】【答案】设所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0），由题意得点（a，b）到直线x+2y-1=0的距离等于半径r，根据点到直线的距离公式建立关于a、b、r的一个等式；再由点A（1，0）和点B（2，-3）在圆上，得到关于a、b、r的两个等式，再将3个等式组成方程组并解之得a=0，b=-2且r2=5；即可得到所求圆的标准方程．

12、略

【分析】P(A)＝∴P()＝P()＝1－P(B)＝∵A、B相互独立，∴A与与也相互独立，∴P(A)＝P(A)·P()＝∴P()＝P()·P()＝【解析】【答案】13、略

【分析】

由椭圆方程可知；

a=5，b=3；∴c=4

∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点；

∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8

在△PF1F2中；

cos∠F1PF2=

=

=

=

=cos60°

=

∴72-4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|；

∴|PF1||PF2|=12；

又∵在△F1PF2中；

=|PF1||PF2|sin∠F1PF2

∴=×12sin60°=3

故答案为：3．

【解析】【答案】利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，通过余弦定理求出|PF1||PF2|的值；再代入三角形的面积公式即可．

14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】①②15、略

【分析】【解析】构造函数：由于当时；

不等式恒成立。则即。

解得：【解析】【答案】16、略

【分析】解：由题意知；圆柱的底面周长是54尺，高是18尺；

设圆锥的底面半径为r，则2πr=54；

解得r==9（尺）；

所以圆柱的体积V=πr2h≈3×81×18=4374（立方尺）；

因为1斛米的体积约为1.62立方尺；

所以出堆放的米约为=2700斛；

故答案为：2700．

由题意求出圆柱的底面周长和高；由圆的周长公式求出圆柱底面半径，根据圆柱的体积公式求出对应的体积，再除以1.62可得答案．

本题考查圆柱体积公式的实际应用，属于基础题．【解析】270017、略

【分析】解：由abc

为直角三角形的三边，其中c

为斜边，则a2+b2=c2

类比到空间中：

在四面体V鈭�ABC

中，隆脧AVB=隆脧BVC=隆脧CVA=90鈭�

则S鈻�ABC2=S鈻�VAB2+S鈻�VBC2+S鈻�VAC2

．

故答案为S鈻�ABC2=S鈻�VAB2+S鈻�VBC2+S鈻�VAC2

将一个二维平面关系；类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内的勾股定理，我们可以推断四面体的相关性质．

类比推理的一般步骤是：(1)

找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)

用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(

猜想)

．【解析】S鈻�ABC2=S鈻�VAB2+S鈻�VBC2+S鈻�VAC2

三、作图题(共7题，共14分)18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

22、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．23、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．24、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、计算题(共2题，共4分)25、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。26、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．五、综合题(共4题，共20分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）28、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．29、（1）{#mathml#}255

{#/mathml#}；（2）{#mathml#}x245+y2