2020年中考数学复习：《二次函数之面积问题》训练(解析版)

《二次函数之面积问题》专题训练

1.如图，抛物线y=af+尹4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于8两点（点8在

点A的右侧），与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式和48两点的坐标；

（2）若点户是抛物线上8、C两点之间的一个动点（不与8,C重合）,则是否

存在一点只使△5%的面积最大？若存在，请求出△5%的最大面积；若不存在，试说

明理由.

解：（1）:抛物线"=且》+4/4的对称轴是直线x=3,

1_1

■-_2=3，解得：a—~—

---4

2a

二抛物线的解析式为y=-

当y=0时，解得：x=-2或6,

故点彳的坐标为（-2,0）,点8的坐标为（8,0）；

（2）当x=0时，y=4,则点。的坐标为（0,4）；

由点8、。的坐标得，设直线8c的解析式为y=-^/4;

2

假设存在，设点户的坐标为（x,-1%+4^4）,

42

过点"作外〃"轴，交直线员?于点。，交x轴于点£则点〃的坐标为（x,-告"4）,

如图所示.

iqIi

PD=—-x+-x+4-(--A+4)=--x+2x

4224

22

：-S&PBC=SAPD#SAPDB=±XPDX°曰工DPXEP=XX8X(^-x+2x)=-(x-4)+16；

2224

-1<0

，当x=，4时，△阳C的面积最大，最大面积是16.

2.如图，直线p=x+2与抛物线j/=ax2+6A+6(a*O)相交于/(、-,《)和8(4,6),点

户是线段加上异于48的动点，过点尸作用轴于点〃，交抛物线于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当。为抛物线顶点的时候，求45%的面积；

(3)是否存在这样的点只使48”的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不

解：(1)将点48的代入抛物线表达式得：•4aV+6=-2,解得:a=2

b=-8

16a+4b+6=6

故抛物线的表达式为：y=2x2-8A+6；

(2)函数的对称轴为：x=2,则点C(2,-2),

当x=2时，y=/2=4,点E(-2,0),

贝IJ尸片6,

△8CE的面积XPC(x「xj=-^-X6X6=18；

(3)存在，理由：

设点户(x,/2),点C(x,2x2-8^6)

SABCE=%XPCIXB-x3制X(JH-2-2X2+8X-6)X6=-6x2+27x-12,

V-6<0,故S△叱有最大值，当时，S△妣最大值为：晔.

48

3.如图，抛物线y=ax2+2/c经过点/(0,3),8(-1,0),请解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为点。，对称轴与x轴交于点£连接劭，求劭的长；

(3)点尸在抛物线上运动，是否存在，点尸，使45尸C的面积为6,如果存在，求出点尸

的坐标；如果不存在，请说明理由.

解：(1)抛物线y=ax2+2/c经过点/(0,3),8(-1,0),

则c=3,将点8的坐标代入抛物线表达式并解得：6=2,

故抛物线的表达式为：y=-必+2/3；

(2)函数的对称轴为：x=1,则点〃(1,4),

贝1］的=2,DE=4,

BD=yj22+42~V5；

(3)存在，理由:

△fiFC的面积■义8cx|yf|=2|Yf\=6,

=

解得：yF-3,

故：-X?+2A+3=±3,

解得：x=0或2或1土#j,

故点尸的坐标为：(0,3)或(2,3)或(1-b，-3)或(1+H-3)；

4.已知：如图，抛物线y=af+6/6与x轴交于点8(6,0),C(-2,0),与y轴交于点

4

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，点『是线段上方抛物线上的一个动点，连结以、PB.设的面积

为6,点户的横坐标为灯.

①试求S关于加的函数关系式；

②请说明当点。运动到什么位置时，△以8的面积有最大值？

③过点户作x轴的垂线，交线段48于点。，再过点户做房〃x轴交抛物线于点£,连结

DE,请问是否存在点户使△脸为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点力的坐标；

若不存在，请说明理由.

解：⑴抛物线的表达式为：y=a(x-6)(x，+2)=a(x,-4x72),

故-12a=6,解得：a=-

故抛物线的表达式为：y=-y+2/6；

(2)①过点尸作x轴的垂线交于点D,

V/

p

由点4(0,6)、8的坐标可得，直线的表达式为：y=-/6,

设点2(％-费诏+2W6),则点〃(%-社6),

1Ioop7

S=—XZY?XOB=3PD=3(-—m+2tr^6+m-6)=-—m+9m=-—(加-3)2+—,

22222

②S=-+9/77,

Q

--^<0,故S有最大值，此时0=3；

③△&龙为等腰直角三角形，

贝I]PE=PD,

点P(加，-1■序+2/6),

函数的对称轴为：x=2,则点F的横坐标为：4-m,

则在£=|2加-4|,

即—f#+2m^6+m-6=12/77-41,

解得：m=4或-2或5+或5--717(舍去-2和5+A/17)

故点户的坐标为：(4,6)或(5-3^/17-5).

5.已知抛物线y=ax2+6/3经过4(-1,0)、B(3,0)点，直线/是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)在直线/上确定一点。，使的周长最小，求出点。的坐标；

(3)若点。是抛物线上一动点，当以胸=3S△放时，请直接写出点〃的坐标.

解：(1)抛物线的表达式为：y=a(/1)(x-3)=a(x2-2x-3),

即-3a=3,解得：a=-1,

故抛物线的表达式为：y=-X2+2A+3；

(2)点4的对称点为点昆连接8C交函数对称轴于点只则点户为所求,

将点8、C的坐标代入一次函数表达式：y=26并解得:

直线8c的表达式为：y=-/3,

当x=1时，y=2,

故点户(1,2)；

(3)5△胞=3544破，贝UI及1=2；拄=1,即及=士1,

故-X?+2A+3=±1,

解得：x=1土正或1土泥,

故点。的坐标为：(11)或(1-、门，1)或(1+、后T)或(1-西，-D.

6.如图，已知抛物线经过两点/(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1.

(1)求此抛物线的解析式.

(2)若点。是对称轴上一动点，当。仆6。最小时，求点。的坐标.

(3)若点。是抛物线上点4与点4之间的动点(不包括点/，点8),求△必8面积的最

4大值，并求出此时点尸的坐标.

解：(1)抛物线经过两点/(-3,0),对称轴为直线x=-1,则抛物线与X轴另外一个

交点坐标为：(1,0),

则抛物线的表达式为：尸a(x+3)(x-1)=a(x?+2x-3),BP-3a—3,解得：a=-1,

个抛物线的表达式为：y=-x2-2/3；

(2)设点〃是点。关于对称轴的对称点，则〃(-2,0),

4连接招交对称轴于点Q,则点。为所求，

则点8〃的表达式为："=会3,

当x=-1时，y=4,故点。(-1,

(3)过点尸作y轴的平行线交四于点//,

直线的表达式为：y=K3,

设点户(X,-*2-2/3),则点〃(x,/3),

11qq

贝l]SAPAB=-PHXOA——X(-x?-2A+3-x-3)X3=-----x——x,

2222

・・・S△以8有最大值此时x=—

2o2

点占八o<一万3，/15、

7.如图，已知抛物线y=ax2+6/c(a丰0)经过/(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,

直线/是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)设点的是直线/上的一个动点，当点〃到点/,点C的距离之和最短时，求点〃的

坐标；

(3)在抛物线上是否存在点乂使5=46△腑，若存在，求出点〃的坐标，若不存在,

说明理由.

解：(1)抛物线的表达式为：y=a(/1)(x-3)=a(x2-2x-3),

即-3a=-3,解得：a=1,

故抛物线的函数解析式为y=x2-2x-3.

(2)点/关于函数对称轴的对称点为点8,连接外交函数的对称轴于点必则点〃为所

将点8、C的坐标代入一次函数表达式：y=26并解得:

直线8c的表达式为：y=x-3,

当x=1时，y=-3,故点的（1,-2）.

⑶S△制则IM=I1Mcl=±4,

oo

则x-2x-3=±4,

解得：x=1或1±2&,

故点〃的坐标为：（1,-4）或（1+2、历4）或（1-2页，4）.

8.如图，已知直线y=A+4交x轴于点/,交y轴于点B,抛物线y=-必力/。经过点从B.

（1）求抛物线解析式；

（2）点C（%0）是x轴上异于4。点的一点，过点C作x轴的垂线交于点〃，交

抛物线于点E.

①当点F在直线上方的抛物线上时，连接/仄BE,求6△板的最大值；

②当"=47时，求〃的值.

解：（1）直线"=/4交x轴于点4交y轴于点6,则点48的坐标分别为：（-4,0）、

（0,4）,

则c=4,将点4的坐标代入抛物线表达式并解得：b=-3,

故抛物线的表达式为：y=-x-3/4；

（2）0（m,0）,则点仄〃的坐标分别为：（%-吊-3/4）、（m,加4）,

贝【JDE=|（--3研4）-（附4）|=|-m-4加|,

①SAB^XEDXOA=2ED=-2m-8m,

二5△住有最大值8；

②（社4）|,

BP-/n-4/7?=-721(社4)|,

解得：m=±正或-4.

9.如图，抛物线y=-x?+4x与x轴交于点4顶点为8.点C在y轴的负半轴，a=2班.点

户是该抛物线上的动点，且位于对称轴的右侧.

(1)写出点48的坐标：/(4,0),B(2,4)：

(2)若点尸在第四象限，记四边形必仍的面积为5,设点户的横坐标为私

①求S关于加的函数表达式.

②在①的条件下，连结。C,满足5△的=26△相°,求四边形如48的面积.

(3)设PO,PC分别与对称轴交于点D,E,且DC平济NODE,求点P的坐

解：(1)y=-x+4x-"®,

令y=0,则x=0或4,故点/(4,0),

函数的对称轴为：x=2,则点8(2,4),

故答案为：4,0,2,4；

(2)①S=^X)(丹-分)X4X(4+/-4m)=2席-8叫

②OAX(-yp)=2S^P0C=OCXxP,

即：%=-

贝lj-/+4/77——加,

解得：勿=0或4+J^(舍去0),

故勿=4+血，

贝ljS=2^-8/8=12+8正；

(3)方法一：

过点C作CHLBE干点、H,过点。作CG±。于点G,

■:DC平方乙ODE,则CG=CH=2,而a？=2%也

故三角形GG0是等腰直角三角形，

所以两种情况，直线”是一三象限角平分线或者是二四象限角平分线,

直线配的表达式为：y=±x…②，

联立①②并解得：x=5或3,

故点户的坐标为：（5,-5）或（3,3）.

方法二：

,/〃C平分NODE,贝I]CG=CH=2,

设点户的坐标为：（加，-m+4m）,

则直线8的表达式为：/=（4-/77）x,

则直线%的表达式为：y=-^-x-2近,

m-4

联立华、CG的函数表达式并解得：点矶空驾也，工返”4）2],

（m-4）2+lg-4产+1

3

=第=4,

(m-4)*+1

解得：〃=5或3,

故点户的坐标为：（5,-5）或（3,3）.

10.已知：抛物线/y=ax+bx^c（a>0）与x轴交于点（-1-0）,（2,0）.

（1）6、c分别用含a的式子表示为：b=-a,c=-2a；

（2）将抛物线C向左平移方个单位，得到抛物线G.直线（A>0）与G交于4

8两点（/在8左侧）.。是抛物线G上一点，且在直线下方.作比〃y轴交线段

于£,过4、8两点分别作反的垂线/限BN,垂足分别为〃N.

①当。点在y轴上时，试说明：/伊酬为定值.

②已知当点户(d加时，恰有s△.=s△胸，求当时，A的取值范围.

解：(1)抛物线的表达式为：(/1)(x-2)=a(f->-2),

故6=-石，c=-2a,

故答案为：-石，-2a；

(2)设：点48的坐标分别为：(X,乂)、(x2,y2),

①由(1)知，b=-a,c=-2a,

抛物线&的表达式为：y=a/-ax-2a=a(x-《),-学，

24

2

则抛物线C2的表达式为：y=ax-粤，

4

联立直线与抛物线G的表达式并整理得：a"-〃x-毕=0,

4

1o

贝I]|xx\=一'一=AM、BN、

]24

故力仍融为定值；

②・S△制=S△制，

:・AM=BN、a-xy=x2-则毛+*2=22

・.._k

■X,+%----,

a

-k_Q

■■--幺3,

a

k=2a,

丫1WaW3,

...2WA<18.

11.如图，，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+6/c的图象与x轴交于A8两点，4点

在原点的左侧，抛物线的对称轴x=1,与y轴交于C(0,-3)点，点?是直线外下方

的抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的解析式及48点的坐标.

(2)连接户0、PC,并把沿比翻折，得到四边形/W7'C,那么是否存在点儿使

四边形小下C为菱形？若存在，请求出此时点户的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)当点尸运动到什么位置时，四边形/夕外的面积最大？求出此时户点的坐标和四边

形/80C的最大面积.

备用图

解：(D函数的对称轴为：x=-y=1,解得：6=-2,

故抛物线的表达式为：y=x2-2x-3,

令y=0,则x=-1或3,

故点A8的坐标分别为：(-1,0)、(3,0)；

(2)存在，理由:

如图1,四边形"0'C为菱形，则4--00=-±

22

即y^x-2x-3=

解得：x=1土年(舍去负值),

故点户(1+叵，

22

(3)过点尸作加〃y轴交8c于点P,

由点8、C的坐标得，8c的表达式为：y=x-3,

设点户(x,X2-2X-3),则点〃(x,x-3),

图2

/IbPC的面积S=SAAB审SMBCP

=—XABXoa—xPHXOB

22

=—X4X3+—X3X(X-3-X2+2A+3)

22

故S有最大值为.此时点『母尚).

12.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x?+6/c经过点48,0,已知/(-1,0),C(0,

3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,户为线段8c上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点〃，是否存

在这样的『点，使线段外的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明

理由；

(3)如图2,抛物线的顶点为£,血x轴于点尸，〃是直线配上一动点，M(m,0)是

x轴一个动点，请直接写出即於［照的最小值以及此时点限〃的坐标，直接写出结果

不必说明理由.

将点4的坐标代入抛物线表达式：尸-寸+6/3并解得：6=2,

抛物线的表达式为：y=-x?+2/3；

(2)存在，理由：

令y=0,贝ljx=-1或3,故点6(3,0),

将点8、C的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线8c的表达式为：y=-/3,

设点。(x,-x+2^3),则点户(x,-/3),

贝I］外=(-x?+2/3)-(-jct-3)=-x+3x,

当时,即最大值为：4；

24

(3)过点8作倾斜角为30°的直线BH,过点。作CHLBH交千点H,纺交对称轴于点N,

交x轴于点肌则点限〃为所求，

直线8〃表达式中的火值为丹1，则直线C"的表达式为：y=-次/3,

当x=1时，y=3-弧,当y=0时，x=«,

故点水"的坐标分别为：(1,3-f)、(V3,0),

GN^MN^—MB的最小值=掰=C雌FH=海日.

22

13.如图，抛物线"=二(/2)(x-2%)交x轴于点AB,(4左8右)，与"轴交于点C,

4

把射线BC沿x轴翻折交抛物线于点D,交y轴于点尸，点〃纵坐标为6.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点户为第四象限抛物线上一点，连接阳、PC,设点尸横坐标为"△阳C的面积为

S,求S与加的函数解析式(不要求写出自变量取值范围)；

(3)在(2)的条件下，外交y轴于点F,交外于点〃过点户作y轴平行线交8久BC

于点G、H,若△叱与△的G〃面积的和为6,求△户&?的面积.

图1图2图3

解得x=-2或x=2A

：.0A=2,0B=2k

令x=0,贝ljy=-k,OC=k

.".tanNOBC=tanZOBD=—,

2

:点。纵坐标为6,

：.DS=6,5s=12,

.­.05=12-2/f

二点。坐标为(2k-12,6),代入解析式得：

6=—(2%-12+2)(2A-12-2A)

4

解得k=4

二抛物线解析式为J/=J(/2)(x-8)或尸9?-三x-4；

442

(2)过点『作以小仇?于〃，依_Lx轴于尺PR交BC千K

令x=0,y=-4,

：.0C=4

C(0,-4),由(1)得8(8,0)

先求出直线6c解析式y=^x-4,

PK=PR-RK

点PCm,—m-—m-4)

42

PR=_q_序_~m_4),

图2

K(/77,OT-4)

RK=二加4

2

PK=-(工疗--m-4)(—

422

_12

--x+2Oir,

4

NNPK=40BC

.,.cosZOBG=cosNNPK=主区PN=PKcosZNPK=-届+巫n

5105

BC=4娓S*BCX/W=yX4^/5(-甯.+^^而

S=-m+8/77；

（3）在（1）图基础上，过点户作HUOS,

图3

12

tanN加厘=6-(甲05MG=也工乓

PQ—(X-----4PL

即10-m二EL.旦10nrm”

4m4

可知点尸(0,4)

2

21Um

EF=FL-EL=A-(―m-m-4)-~.g_£F=8-m,

424

求出直线8尸解析式为y=-34,

点G纵坐标为-4,

点〃纵坐标为"m-4,

GH=(——/7/t-4,)-(—m-4,)=8-/77,

22

■△跖17面积与△眼G//面积和为6

2

解得/77=2或勿=6

S=—m+Sm

・・・S=12.

14.如图，抛物线y=ax2-与x轴相交于点力(-2,0)、8(4,0),与y轴相交于点

C,连接/C,BG,以线段8c为直径作0M过点C作直线宏〃与抛物线和0〃分别交

于点优点。在勿下方的抛物线上运动.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当△小应是以如为底边的等腰三角形时，求点。的坐标；

(3)当四边形4C阳的面积最大时，求点户的坐标并求出最大值.

解：(1)抛物线的表达式为：y=a(/2)(x-4)=a(x2-2x-8),

BP-2a=-解得：a=二，

48

故抛物线的表达式为：尸当2-船-3；

84

(2)点C(0,-3),函数对称轴为：x=1,则点〃(2,-3),

点£(4,-3),贝【J跳的中垂线为：x=~(2+4)=3,

当x=3时，y——x--x-3=--^±-,

848

故点户(3,-学)；

O

(3)由点8、C的坐标可得，直线8c的表达式为：y=^-x-3,

故点尸作V轴的平行线交外于点H,

设点P(x,三x?-3),则点//(x,gx-3)；

844

111Q

四边形ACPB的面积=6△枚+5△陟=4-X3X6+4XHPX0B=9+々X3X(4%-3-