2020-2024年高考数学试题专项分类汇编：函数与导数

考点2函数与导数

——五年(2020—2024)高考数学真题专项分类汇编

一、选择题

1[2023年新课标I卷]设函数/(x)=2，(i)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是()

A.(-oo,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+oo)

2.[2021年新高考H卷]已知a=logs2,&=log83,c=；,则下列判断正确的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

3.[2024年新课标H卷]设函数/(%)=(%+a)ln(%+b),若则片+从的最小值为()

A.-B.-C.-D.l

842

4.[2020年新高考I卷]基本再生数凡与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再

生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎

疫情初始阶段，可以用指数模型：/«)="描述累计感染病例数/⑺随时间，(单位:天)的变化规

律，指数增长率「与4,T近似满足飞=1+",有学者基于已有数据估计出&=3.28,T=6.

据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为Qn2=0.69)()

A.L2天B.L8天C.2.5天D.3.5天

5.[2024年新课标I卷]已知函数/"(xhT-2以-a，x<°在R上单调递增，则。的取值范

el+ln(x+l),^>0

围是()

A.(-oo,0]B.[-l,0]C.[-l,l]D.[0,+oo)

6.[2023年新课标n卷]已知函数/(x)=ae=lnx在区间(1,2)单调递增，则。的最小值为()

A.e2B.eC.e-1D.e-2

7.[2024年新课标I卷]已知函数/(x)的定义域为R,/(月>/(无-1)+/(%-2),且当％<3时，

于(x)=x,则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000C./(10)<1000D./(20)<10000

8.[2021年新高考I卷]若过点(a,力可以作曲线y=e，的两条切线，则()

A.eb<aB.ea<bC.O<a<ehD.O<b<ea

9.[2021年新高考n卷]设函数/(x)的定义域为R,且/(x+2)为偶函数，/(2x+l)为奇函数，

则()

AJ，，=0B./(-D=0CJ(2)=0D"(4)=0

10.[2024年新课标H卷]设函数/(%)=〃(％+1)2一1,g(%)=cos%+2ox,当％」(一1,1)时,曲线

丁=/(x)与y=g(x)恰有一个交点，贝IJ。=()

A.-lB.lC.lD.2

2

二、多项选择题

11.[2023年新课标I卷]已知函数/(%)的定义域为R,/(盯)=V/(x)+x2/(y),则()

AJ(0)=0B./(l)=0

CJ(x)是偶函数D.x=0为/(x)的极小值点

12.[2023年新课标I卷]噪声污染问题越来越受到重视用声压级来度量声音的强弱，定义声

压级4=20xlg上，其中常数p0(z>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声

压级:

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060-90

混合动力汽车1050-60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为巧，幺，小，则

()

A.px>p2B.p2>10p3C.03=100PoD./?]<100p2

13.[2024年新课标I卷]设函数/(x)=(x-l)2(x-4),则()

A.x=3是/(x)的极小值点B.当0<x<l时，/(%)</(x2)

C.当l<x<2时，-4</(2x-l)<0D.当—1<%<0时，/(2-%)>/(%)

14.[2024年新课标H卷]设函数/(x)=2^—3/+1,则()

A.当。>1时，/(%)有三个零点

B.当。<0时，x=0是/(%)的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点(1,/(1))为曲线y=/(x)的对称中心

三、填空题

15.[2021年新高考I卷]已知函数/(幻=442-2-*)是偶函数，贝1」。=.

16.[2021年新高考I卷]函数/Xx)=|2x-l|-21nx的最小值为.

17.[2024年新课标I卷]若曲线y=e，+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+l)+a的切线，

则a=.

18.[2021年新高考H卷]已知函数/⑺=卜="，药<0,4>。，函数/⑴的图象在点

4(%,八％))和点5(々"(X2))处的两条切线互相垂直，且分别交丁轴于“，N两点，则券的

取值范围是.

四、解答题

19.[2024年新课标n卷]已知函数/(x)=e*-ax-a3.

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)若/(》)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

20.[2023年新课标I卷]已知函数/(%)=4(/+4—x.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(%)>21na+—.

21.[2022年新高考H卷]已知函数/(幻=近融—el

(1)当a=l时,讨论了(X)的单调性;

(2)当x>0时，/(x)<-l,求Q的取值范围；

I11

(3)设〃wN*,证明：/+/++->ln(n+1).

22.［2024年新课标I卷］已知函数/(x)=ln^^+以+b(x-1)3.

2-x

(1)若1=0,且/'(x)20,求a的最小值;

(2)证明：曲线y=/(x)是中心对称图形；

(3)若/(x)>-2当且仅当1<%<2,求b的取值范围.

23J2022年新高考I卷］已知函数/(x)=e，-仪和ga)=ar-Inx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从

左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

★参考答案★

1.答案：D

解析：由题意得y=x(x-a)在区间(0,1)上单调递减，所以x=解得a»2.故选D.

2.答案：C

解析：a=log52<log575=^=log82A/2<log83=b,即

故选：C.

3.答案：C

解析：由/(x)20及y=x+a,y=ln(x+b)单调递增，可得x+a与ln(x+Z?)同正、同负或同为

零，所以当ln(x+Z?)=0时，x+a=。，即1,所以b=〃+1,贝!J

a2+Z72=a2+(a+l)2=2^+|^|+|>|,故选C.

4.答案：B

解析：Q4=l+rT,.-.3.28=l+6r,"=0.38.

/«)=e。眄

若<加2)=6°吗则e°381，)=2,0.38(r2-r1)=ln2«0.69,t2-t{®1.8,选B.

/&)=2/&)，

5.答案：B

解析：因为函数/(x)在R上单调递增，且当％<0时，f(x)=-x2-2ax-a,所以

/(x)=-x2-lax-a在(-co,0)上单调递增，所以-a20,即aV0；当x20时,/(x)-ex+ln(x+1),

所以函数/(x)在［0,+oo)上单调递增.若函数/(x)在R上单调递增，则-a</(0)=l,BP«>-1.

综上，实数a的取值范围是［-1,0］.故选B.

6.答案：C

解析：法一：f'(x)=aex--,由/(x)在区间(1,2)单调递增可知，当xe(1,2)时，/(%)20恒

X

成立.当a<0时，/,(%)<0,不符合题意.当〃>0时，设/z(x)=ae"-L则〃(尤)=ae">0,

xx

则力(%)在(1,2)单调递增,所以只需八1)=飘1)=泅—120,解得此eL故选C.

法二：由题意可知/'(x)=aex-工20在区间(1,2)上恒成立，即XG(1,2).设

x

Xxemax

g(x)=贝|Jg，(x)=(X+1)1〉0在(1,2)上恒成立,所以g(x)在(1,2)上单调递增，e<xer<2e2,

所以1>」->上，即aNe-,故选C.

exex2e2

7.答案：B

解析：因为当x<3时，/(x)=x,所以/⑴=1,/(2)=2.对于/(%)>/(x—l)+/(x—2),令x=3,

得/(3)>/(2)+/(1)=2+1=3；令尤=4,得/(4)>/(3)+/(2)>3+2=5；依次类推，得

/⑸>/(4)+/⑶>5+3=8；/(6)>/⑸+/(4)>8+5=13；/(7)>/(6)+/⑸>13+8=21；

/(8)>/(7)+/(6)>21+13=34；/(9)>/(8)+/(7)>34+21=55；

/(10)>/(9)+/⑻>55+34=89；/(11)>/(10)+/(9)>89+55=144；

/(12)>/(II)4-/(10)>144+89=233；/(13)>/(12)+/(II)>233+144=377；

/(14)>/(13)+/(12)>377+233=610；/(15)>/(14)+/(13)>610+377=987；.…显然

/(16)>1000,所以/(20)>1000,故选B.

8.答案：D

解析：设/(xXe)则/'(x)=e1过点5力)可以作曲线的两条切线，设切点(%,%)，则

r(%)=e4，所以切线方程为丁-6=1。代-0).

将(％,/(%))代入切线方程,得e*-匕-a),即6%(。-M+1)=/2.因为过点(。/)可以作

两条切线，所以方程砂。(«-/+1)=/?有两个不相等的实数根.设g(x)=e"(a-x+l),m(x)=b,

则函数g(x)=e*(a-x+l)与m(x)=b的图象有两个交点.因为g'(x)=e，(a-x+l)-e*=e*(a-x),

当x<a时，g，(x)>0,函数g(x)单调递增，当x〉a时，g，(x)<0,函数g(x)单调递减，所以

g(x)max<g(a)=e"，所以b<e".又当xf—co时，g(x)f0,当时，g(x)f—8,所以

要使两函数的图象存在两个交点，则/?>0.综上所述，0<Z?<e".故选D.

9.答案：B

解析：因为函数/(x+2)是偶函数，所以/(x+2)=/(r+2),则函数/(%)的图象关于直线x=2

对称.因为函数/(2x+l)是奇函数，所以/(—2x+l)=—/(2x+l),则/(-2x+l)+/(2x+l)=0,

即/(x)+/(2-%)=0，所以/⑴=0,且函数/(x)的图象关于点(1,0)对称.又

/(尤)=/(4—无)=—〃2—(4—%)]=—/(%-2)，则/(x+2)=—/(%)，所以

/(x+4)=—/(x+2)=f(x),所以/⑴=/(1+4)=7(5)=0.又函数/(x)的图象关于直线％=2对

称，所以/(5)=/(4—5)=/(—1)=0,故选B.

10.答案:D

解析：解法一：令y(x)=g(x),BPa(x+1)2-1=cosx+2ax>可得加2+a-l=cosx，

令E(x)=加+。-1，G(x)=cosx>

原题意等价于当Xe(-1,1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，

注意到b(%),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得E(0)=G(0)，即a—1=1，解得a=2，

若a=2,令/(犬)=6(尤)，可得2/+i—cosx=0

因为xe(-1,1),则2X220』_COSX20，当且仅当％=0时，等号成立，

可得2d+1-cosxN0，当且仅当％=0时，等号成乂，

则方程2/+i—cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线y=为>)与y=G(x)恰有一个交点，

所以a=2符合题意；

综上所述：a=2.

解法二：/?(%)=/(x)-g(x)=ax2+a-l-cosx,xe(-l,l)>

原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，

因为//(一%)=a(—尤)-+a-l-cos(-x)=ax2+a-l—cosx=〃(尤),

则网”为偶函数，

根据偶函数的对称性可知从力的零点只能为0,

即丸(o)=a-2=0，解得a=2，

若a=2,则/z(x)=2r+1-cos%,；

又因为20，1-cosx»0当且仅当％=0时，等号成立,

可得人(可》0,当且仅当犬=0时，等号成立，

即可可有且仅有一个零点0,所以a=2符合题意；

故选：D.

11.答案：ABC

解析：取x=y=0,贝lJ/(0)=0,故A正确；取x=y=l,则/(1)=/(1)+/(1),所以/(1)=0,

故B正确；取x=y=—l,则/⑴=/(一1)+/(一1),所以/(-1)=0,取y=—1,则

f(-x)=/(x)+f/(-1),所以/(-X)=/(x),所以函数/(%)为偶函数，故C正确；由于/(0)=0,

且函数/(X)为偶函数，所以函数/(X)的图象关于y轴对称，所以x=0可能为函数的极小

值点，也可能为函数/(x)的极大值点，也可能不是函数/(x)的极值点，故D不正确.故选ABC.

12.答案：ACD

解析：因为4=20xlg二随着"的增大而增大，且4,€[60,90],Lp,e[50,60],所以与上心八，

Po

Lp40

所以0—,,故A正确；由4=20xlg上■，得p=PolO现因为4=40,所以小=。010.=10。。0,

Po3

%L"3%”

20

故C正确；假设P2>1OP3,则P0102°>10/2010,所以102。20〉10,所以4「4〉20,不

舞4LP

可能成立，故B不正确；因为竺皿=l°°Po?2。=因+得+22],所以乩<100',故D正确.

p,①

1死1。2。

13.答案：ACD

解析：因为/(x)=(x—1)2(X—4),所以f\x)=2(x-l)(x_4)+(x—1)2=3(x-l)(x—3),令/'(x)=0,

解得x=l或x=3,当x<l或x>3时，/'(x)>0,当l<x<3时，f\x)<0,所以函数/(x)的

单调递增区间为(-oo,l),(3,+00),单调递减区间为(1,3),故x=l是函数/(x)的极大值点，x=3

是函数/(幻的极小值点，所以A正确.

当0<x<l时，x-x2=x(l-%)>0,即0<%2<%<1,又函数/(x)在(0,1)上单调递增，所以

/(x2)</(%),所以B错误.

当l<x<2时，1<2]—1<3,函数/(x)在(1,3)上单调递减，所以T=/(3)</(2x—l)〈/⑴=0,

所以C正确.

当时，/(2-X)-/(X)=(2-X-1)2(2-X-4)-(X-1)2(X-4)

=(x—I)2(-x-2)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(-2x+2)=-2(%-l)3>0,所以/(2—x)>/(x)，所以D

正确.

综上，选ACD.

14.答案：AD

解析：由题可知，f'(x)^6x(x-a).

对于A,当a>l时，由―(左)<0得0<x<a,由尸(x)>0得x<0或x〉。，贝|在(―oo,0)上

单调递增，在(0,。)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，且当xf-%时，/(%)--8,/(0)=1,

/(a)=-«3+1<0,当时，/(x)f+8,故/(x)有三个零点，A正确；对于B,当a<0

时，由尸(x)<0得a<%<0,由尸(x)>0得％>0或x<a,则/(x)在(—8,a)上单调递增，在(a,0)

上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，故％=0是/(x)的极小值点，B错误；

对于C,当xf”时，f(x)+00,当Xf—00时，f(x)-00,故曲线y=/(x)必不存在对

称轴，C错误；

对于D,解法一：/(x)=2x3—3加+1=2(x—--1a2+»令/'=x—会则/(x)可

转化为g⑺=2/一|。2/+1—[，由y=2/—|//为奇函数，且其图象关于原点对称，可知g⑺

(3、(3、

的图象关于点0,1-—对称，则/(X)的图象关于点对称，故存在a=2,使得点

I2J2)

(1,/⑴)为曲线y=/CO的对称中心，D正确.故选AD.

解法二:任意三次函数/(x)=«%3+6x2+cx+d(aw0)的图象均关于点一_Lyf一_上］成中心对

(3al3a))

称，D正确.故选AD.

15.答案：1

解析：本题考查函数的奇偶性.因为为偶函数，所以〃T)=/(X),所以(1-皿2"+2-，)=0,

由2*+2f*0得a=l.

16.答案：1

2x-l-21nx

解析:本题考查分段函数的概念与单调性.因为〃x)=.所以当时,

l-2x-21nx…4

/(X)单调递减，/Wmi„=/Q^=21n2；当xe］；,+co)时，尸⑴=2一：=之,］),所以/(x)在［g』)

上单调递减，在(1收)上单调递增，所以/(尤焉=/⑴=1.又因为/(1)<,所以当x=l时，/(%)

取得最小值L

17.答案：In2

解析：由题,令/(x)=e，+x,则八x)=e，+l,所以尸(0)=2,所以曲线y=^+兀在点(0,1)处

的切线方程为y=2x+l.令g(x)=ln(x+l)+a,则g，(x)=」一，设直线y=2x+l与曲线y=g(x)

x+1

相切于点(％,%),则一片=2,得/=—；则%=2x0+1=0,所以0=In1―5+1]+“，所以

a=ln2.

18.答案：(0,1)

Ae

解析：/(^)=|e--l|=J-当》>0时，/'(x)=1,r(%)=e*；当x<0时，/(x)=—e"

1—e,x<0.

/'(%)=-炉.因为函数/(X)的图象在点A,3处的两条切线互相垂直，所以-e』e*=-l,即

炉+&=1,所以西+々=0.因为A(x，l—e"),3(%,e花—1),所以函数/(幻的图象在点A,3处

的切线方程分别为=西)，y一心电-l)=e巧(x-x2),分别令1=。，得

〃(0,西炉+1—e瓯)，NlO.-x^+e^-1),所以A/后=元;十(卒为『，吕储=君%芍)之，所以

BN后+(%e*)(-玉)+(-萃-』)1+e11+e

2e2xf1+e2*)+2e2xf1+e2x

g'(x)=---------------------J-------->0,所以函数g(x)在(-8,0)上单调递增，所以g(x)<l.又

(1+e-2，)

当x-—00时，1+e2A1,l+e-2*f+oo,所以当xf-co时，g(x)-O,所以g(x)e(0,1),

所以黑的取值范围是(0,1).

BN

19.答案：(1)(e-l)x-y-l=O

(2)(l,^o)

解析：(1)当a=l时,f(x)=ex-x-l,则/(x)=e-1,

则/⑴=e—1.

/(l)=e-2,所以切点坐标为(l,e-2),

所以切线方程为y—(e—2)=(e—l)(x—1),即(e—l)x—y—1=0.

(2)易知函数/(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a.

当aW0时，/'(x)>0,函数/(x)在R上单调递增，无极值；

当a>0时，由f'(x)>0,得x>lna,由f'(x)<0,得x<lna,

所以函数/(x)在区间(-8,Ina)上单调递减，在区间(Ina,+8)上单调递增，

所以/(x)的极小值为f(lna)^a-a\na-a3.

由题意知a-alna-/<0(a>0),等价于1一Ina-a?<0(a>0).

法一：令g(a)=l-lna-a2(a〉0),

贝！Jg'(a)=------2a<0,

a

所以函数g(a)在(0,+oo)上单调递减,

又g(l)=0,故当0<a<l时，g(a)>0；当a>l时，g(a)<0.

故实数。的取值范围为(1,内).

7去—.：由1-Inci-a?<0(a〉0),彳号Ina〉-a~+l(a〉0).

如图为函数y=lna与y=-Y+i在区间Q+OO)上的大致图象,

由图易知当a>l时，lna>-a2+i,gpl-ln«-«2<0.

所以实数a的取值范围为(1,y).

20.答案：(1)当aWO时，函数/(x)在(—,+«))上单调递减；

当a>0时，函数/(x)在(T»,-Ina)上单调递减，在(-lna,+oo)上单调递增

(2)证明见解析

解析：⑴/(x)=ae'-l,

当aWO时，f'(x)<0,

所以函数在(—,+«))上单调递减；

当a>0时，令/(左)>0,得x>-lna,令尸(x)<0,得x<-lna,

所以函数/(%)在(―,-Ina)上单调递减，在(-Ina,+«))上单调递增.

综上可得：当aWO时，函数/(x)在(-8,+oo)上单调递减；

当a>0时，函数/(x)在(-co,-Ina)上单调递减，在(-Ina,+oo)上单调递增.

(2)由(1)得当a＞。时，函数/(%)=+〃)-％的最小值为

f(-]na)=a(^e~ina+tz)+lntz=l+6z2+lntz,

31

g(a)=1+a"+Ina-2Ina—=ct—Intz—,ae(0,+oo),

_1J?

所以g'(a)=2a—,令g'(a)>0,^a>――；令g'(a)<0,得0<a<-

a22

(0

所以函数g(a)在0,半上单调递减，在,+oo上单调递增,

I2))

所以函数g(a)的最小值为g-In-—=InV2>0,

22

3

所以当。＞0时，/(x)〉21na+,成立.

21.答案：(1)当xe(7,0)时，/(x)单调递减;

当xe(0,+8)时，/(%)单调递增

1

(2)—oo—

2

(3)证明见解析

解析：(1)当a=l时，/(x)=xex-e"1=(x-l)er,所以/'(x)=xe1

当xe(-8,0)时，/'(幻＜0,/(幻单调递减;

当xe(0,+8)时，/。)＞0,/(幻单调递增.

(2)4*g(x)=/(x)+1=xeax-ex+l(x>0),则/(x)<-l对Vx>0恒成立等价于g(x)<g(0)=0

对Vx>0恒成立.

因为8'0)=/+以y-e"，所以g，(0)=0.

令h(x)=g'(x),贝I]h'(x)=aem+a(ex+axeca)-er=«(2eOT+axeca)-e\贝U〃(0)=2a—1.

①若〃(0)=2a—1>0,即a〉L,贝U"(0)=limg(」)一g(0)=lim>0,

2x-0%f0+x

所以m%〉0,使得当工«0,须)时，有固地>0,即g'(x)>0,

X

所以g(x)单调递增,所以g(%)>g(O)=O,矛盾.

②若〃(0)=2a—1<0,BPa<-,

2

[■、-x+ln(l+ix)-x+-x

则/(%)=*+。疣"—^=产+叭1+冈—^«622-ex<e22—e'=0,

所以g(x)在(0,+8)上单调递减，所以g(x)<g(O)=O,符合题意.

综上所述，实数。的取值范围是卜陶;

(3)证明：令s(x)=x-工一21nx,x>l,贝1Js.x)=]+士一2=°,)〉0.

XXXX

所以s(x)在(1,+O0)上单调递增.所以s(x)>5(1)=0,BPx-->21nx.

X

令x=—，则-----1—，

VnVn/+£Vn

Vn

即/1>In〃+1

Jn2+nn

rr-Kj111]23〃+l

所以/i/>In—+In—++ln-----

#+1^22+2而+n12n

=ln+|x*号卜….

故一/H—/+H—/>ln(〃+1).

4+i722+2y/n2+n

22.答案：(1)-2

(2)证明见解析

2

(3)----,+00

3

解析：(1)/(%)的定义域为(0,2),

若〃=0,贝>J/(x)=ln=^-+奴，f'(x)=—~工)：^+a=——----\-a,

2-xx(2-x)2x(2—x)

当％£(0,2)时,x(2-x)e(0,l],/'(%).=2+〃20,贝！1〃之一2,

故a的最小值为-2.

2—v

(2)/(2-x)=ln------+Q(2-犬)+仅1一%)3

x

Xa

——In--------ax—b(x—1)+2a

2-x

=-/(x)+2a,

故曲线y=/(%)关于点(1,«)中心对称.

(3)由题知f(l)—a——2,

止匕时/(x)=ln^----2x+b(x-I)3,

2-x

r(x)==•-2+3b(x-I)2

x(2-x)

2

------------2+36(1)29

x(2-x)

=d)2---+3b.

x(2-x)

2

记g(x)=---------+3b,xe(0,2),易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增,

x(2-x)

g⑴=2+36,

7

当62—4时,g(x)>0,f'(x)>0,/(x)在(0,2)上单调递增,

3

又/⑴=一2,故符合题意.

72。7-3bx2+6bx+2

当6<—4时,g⑴<0，g(x)=-----+38=-------------------

3x(2-x)x(2-x)

得I土卜本