2020-2022年中考数学试题分项汇编：投影与视图、命题与证明、尺规作图（全国解析版）

专题18投影与视图、命题与证明、尺规作图

一、单选题

1.（2022•湖南湘西）如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可.

【详解】

解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为1、2、1.

故选：C.

【点睛】

本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握主视图的画法是正确判断的关键.

2.（2022•山东烟台）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（）

根据左视图是从左面看到的图形判定则可.

【详解】

解：从左边看，可得如下图形:

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键.

3.（2022•黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方

体的个数最多是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】

【分析】

这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，

再相加即可.

【详解】

由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭

成这个几何体所需小正方体最多有5+3=8个.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.

4.（2022•山东青岛）如图①.用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章

算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是（）

C.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可.

【详解】

解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是

故选：C.

【点睛】

本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键.

5.（2021•山东德州）如图所示的几何体，对其三视图叙述正确的是（）

A.左视图和俯视图相同B.三个视图都不相同

C.主视图和左视图相同D.主视图和俯视图相同

【答案】c

【解析】

【分析】

画出几何体的三视图，可以发现几何体的主视图和左视图一样.

【详解】

解：该几何体的三视图如图所示：

故该几何体的主视图和左视图相同.

故选：C.

【点睛】

本题考查几何体的三视图，解题的关键是掌握简单图像的三视图.

6.（2021•四川德阳）图中几何体的三视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，按照三视

图的要求画图即可，注意看得到的棱用实线表示，看不到的棱用虚线的表示.

【详解】

解：该几何体的三视图如下：

ra

故选：A.

【点睛】

此题主要考查三视图的画法，注意实线和虚线在三视图的用法.

7.（2020•山东济南）如图所示的几何体，其俯视图是（）

B'士C立

【答案】C

【解析】

【分析】

根据俯视图是从物体上面看所得到的图形判断即可.

【详解】

解：从几何体上面看，共2层，底层2个小正方形，上层是3个小正方形，左齐.

故选：C.

【点睛】

本题考查几何体的三视图，属于中考常考基础题型.

8.（2022•广东深圳）下列图形中，主视图和左视图一样的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可.

【详解】

解：A.主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；

B.主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；

C.主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；

D.主视图和左视图相同，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握各种几何体的三视图的形状.

9.（2022•内蒙古包头）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正

方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据该几何体的俯视图以及该位置小正方体的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积；

【详解】

由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方体，第二列两个小正方体，可

以画出左视图如图，

所以这个几何体的左视图的面积为4

故选:B

【点睛】

本题考查了物体的三视图，解题饿到关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左视图.

10.（2021•山东日照）一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟

子的个数为（)

主视图

俯视图

A.10B.12C.14D.18

【答案】B

【解析】

【分析】

从俯视图看只有三列碟子，主视图中可知左侧碟子有6个，右侧有2个，根据三视图的思路可解答该题.

【详解】

解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子.主视图可知左侧碟子有6个，右侧有2个，

而左视图可知左侧有4个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计12个，

故选：B.

【点睛】

本题的难度不大，主要是考查三视图的基本知识以及在现实生活中的应用.

11.（2021•黑龙江牡丹江）如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该

几何体的小正方体的个数最少是（）

0

主视图

俯视图

A.6B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】

从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出第二层的个数，从而算出总的个

数.

【详解】

解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层最少有1个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体

最少为4+1=5个.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌

握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.

12.（2020•四川巴中）己知一个几何体由大小相等的若干个小正方体组成，其三视图如图所示，则组成该几

何体的小正方体个数为（）

正视图左视图俯视图

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】

【分析】

从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和

个数，从而算出总的个数.

【详解】

解：根据俯视图可知该组合体共3行、2歹

结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：

1

则组成此几何体需要正方体个数为6.

故选：A.

【点睛】

本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌

握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.

13.（2022•上海）下列说法正确的是（）

A.命题一定有逆命题B.所有的定理一定有逆定理

C.真命题的逆命题一定是真命题D.假命题的逆命题一定是假命题

【答案】A

【解析】

【分析】

根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案.

【详解】

解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；

B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；

C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而

不是真命题，故此选项不符合题意；

D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如相等的两个角是对顶角的逆命题是对顶角相等，它是真命题,

故此选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】

本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键.把一个命题的条件和结论互

换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.

14.（2022・广西贵港）下列命题为真命题的是（）

A.=aB.同位角相等

C.三角形的内心到三边的距离相等D.正多边形都是中心对称图形

【答案】C

【解析】

【分析】

根据判断命题真假的方法即可求解.

【详解】

解：当a<0时，后=_a，故A为假命题，故A选项错误；

当两直线平行时，同位角才相等，故B为假命题，故B选项错误；

三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故C为真命题，故C选项正确；

三角形不是中心对称图形，故D为假命题，故D选项错误，

故选：C.

【点睛】

本题考查了真假命题的判断，熟练掌握其判断方法是解题的关键.

15.（2022•四川达州）下列命题是真命题的是（）

A.相等的两个角是对顶角

B.相等的圆周角所对的弧相等

C.若a〈b,贝！Jac2Vbe2

D.在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球,

摸到白球的概率是g

【答案】D

【解析】

【分析】

分别根据对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式进行判断即可得到答案.

【详解】

有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角是对顶角，故A选项错误，不符合题意；

在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故B选项错误，不符合题意；

若Q<b,贝!Jac2Vbe2,故C选项错误，不符合题意；

在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球,

摸到白球的概率是g,故D选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了命题的真假，涉及对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式，熟练掌握知识

点是解题的关键.

16.（2022・湖南岳阳）下列命题是真命题的是（）

A.对顶角相等

B.平行四边形的对角线互相垂直

C.三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点

D.三角分别相等的两个三角形是全等三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对顶角性质判断A,根据平行四边形的性质判断B,根据三角形的内心定义判断C,根据全等三角形的

判定定理判断D.

【详解】

A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A符合题意；

B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个

假命题，故B不符合题意；

C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三

条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C不符合题意；

D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形

的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键.

17.（2022•江苏无锡）下列命题中，是真命题的有（）

①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形

③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形

A.①②B.①④C.②③D.③④

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案.

【详解】

解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；

②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误；

③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；

④四边相等的四边形是菱形，正确.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键.

18.（2021•广西百色）下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是1：3,则它

们的周长比是1：3,面积比是1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相等且

互相垂直的平行四边形是正方形.其中真命题有（）

A.①③B.①④C.③④D.②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

根据有关性质，对命题逐个判断即可.

【详解】

解：①直径是圆的对称轴，直径为线段，对称轴为直线，应该是直径所在的直线是圆的对称轴，为假命题;

②若两个相似四边形的相似比是1：3,面积比是1：9,而不是1：6,为假命题；

③根据平行和垂直的有关性质，可以判定为真命题；

④根据正方形的判定方法，可以判定为真命题；

故答案选C.

【点睛】

此题考查了命题的判定，熟练掌握命题有关内容的基础知识是解题的关键.

19.（2021•黑龙江绥化）下列命题是假命题的是（）

A.任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边

B.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半

C.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等

D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形两边之差小于第三边、中位线定理、平行四边形的判定方法依次即可求解.

【详解】

解：选项A：三角形的两边之差小于第三边，故选项A正确，不符合题意；

选项B：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故选项B正确，不符合题意；

选项C：一个角的两边分别平行另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故选项C不正确，是假命题，

符合题意；

选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确，不符合题意：

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握各个基本

定理和性质是解决本类题的关键.

20.（2021•四川达州）以下命题是假命题的是（）

A."的算术平方根是2

B.有两边相等的三角形是等腰三角形

C.一组数据：3,-1,1,1,2,4的中位数是1.5

D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

【答案】A

【解析】

【分析】

根据所学知识对命题进行判断，得出真假即可.

【详解】

解：A,"的算数平方根是血，命题为假命题，符合题意；

B,有两边相等的三角形是等腰三角形，命题为真命题，不符合题意；

C,一组数据：3,-1,1,1,2,4的中位数是丁=1.5,命题为真命题，不符合题意；

D,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，命题为真命题，不符合题意，

故选：A.

【点睛】

本题考查了命题的真假，解题的关键是：要结合所学知识对选项逐一判断，需要对基本知识点掌握牢固.

21.（2022•黑龙江绥化）下列命题中是假命题的是（）

A.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半

B.如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等

C.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可

确定正确的选项.

【详解】

解：A.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意;

B.如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；

C.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真

命题，故此选项不符合题意；

D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；

故选：B

【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三

角形斜边上的中线的性质.

22.（2021•内蒙古呼和浩特）以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；

@A,B,C,D,E,尸六个足球队进行单循环赛，若N,B,C,D,E分别赛了5,4,3,2,1场，则由

此可知，还没有与8队比赛的球队可能是。队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小

王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多.比其他的都

少.其中真命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】

①根据三角形中位线、中线的性质，结合平行四边形的判定与性质解题；②由单循环赛对A队，E队进行

推理即可；③根据正六边形的性质、位似的定义解题；④由平均数定义解题.

【详解】

解:①如图，AD是的中线，EF是A/8C的中位线，连接E。、FD,

由中位线定义可知，

EDIIAF,FDIIAE

..・四边形N瓦才是平行四边形

.•・对角线E尸互相平分，故①正确；

②由单循环比赛可知，每支队伍最多赛5场，A队已经赛5场，即每支队伍都与N队比赛过，而E队只比

赛1场，据此可知，E队没有与5对比赛过，故②错误；

③两个正六边形不一定位似，没有确定位似中心，只能是相似的，故③错误；

④小王的捐款数比他所在学习小组中13人捐款的平均数多2元，小王的捐款数不会是最少的，捐款数可能

最多，也可正确在第12位，故原命题正确，是真命题，符合题意B故④正确，

其中真命题的个数有①④，2个，

故选：B.

【点睛】

本题考查中位线、中线的性质，简单推理、位似、正六边形的性质、平均数的应用等知识，是基础考点，

难度较易，掌握相关知识是解题关键.

41

23.(2021•安徽)设a,6,c为互不相等的实数，且6=1。+］。，则下列结论正确的是()

A.a>b>cB.c>b>aC.a-b=4(b-c)D.a-c=5(a-b)

【答案】D

【解析】

【分析】

举反例可判断A和B,将式子整理可判断C和D.

【详解】

41,

解：A.当4=5,c=10,b=—a+—c=60^,ob>a,故A错误；

41,

B.当a=10,c=5,b=—a+—c=9a>b>c,故B错误；

C.a-6=4(6-c)整理可得b=故C错误；

41

D.a-c=5(a-b)整理可得6=1.+不，故D正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键.

24.(2022•黑龙江齐齐哈尔)由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图

所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为()

A.4个B.5个C.6个D.7个

【答案】C

【解析】

【分析】

从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出第二层的个数，从而算出总的个

数.

【详解】

解：由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体；

从俯视图可以可以看出最底层的个数

所以图中的小正方体最少2+4=6.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌

握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.

25.（2022•黑龙江牡丹江）左下图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图.这个几何体只能是

（）

三Eb口

主视图左视图俯视图

A.哥B.例C.D.

【答案】A

【解析】

【详解】

试题分析：根据几何体的主视图可判断C不合题意；根据左视图可得B、D不合题意，因此选项A正确,

故选A.

考点：几何体的三视图

26.（2021•山东荷泽）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）

A.12兀B.18万C.247D.30%

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三视图可以确定该几何体是空心圆柱体，再利用已知数据计算空心圆柱体的体积.

【详解】

解：先由三视图确定该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是4,内圆直径是2,高是6.

空心圆柱体的体积为7tx（-1）2x6-7ixf|）2/6=18兀.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查由三视图确定几何体和求圆柱体的体积，考查学生的空间想象.

27.（2021•江苏南京）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对

角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意

的选项

【详解】

因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子

的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，

故选D

【点睛】

本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的

关键.

28.（2021•内蒙古赤峰）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位cm）,则这个几何体的侧面积为（）

A.48兀c/B.24兀c/C.12itcm2D.9ncm2

【答案】B

【解析】

【分析】

先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8,底面圆的直径为6,然后利用扇形的面积公式计算

这个圆锥的侧面积.

【详解】

解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8,底面圆的直径为6,

所以这个几何体的侧面积=gX7tx6x8=24兀（cm2）.

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径

等于圆锥的母线长.也考查了三视图.

29.（2021•内蒙古通辽）如图，是由若干个相同的小正方形搭成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这

个几何体的小正方形的个数不可能是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

根据主视图和左视图画出可能的俯视图即可解答.

【详解】

由主视图和左视图得到俯视图中小正方形的个数可能为：

・•・这个几何体的小正方形的个数可能是3个、4个或5个，

故选：D.

【点睛】

此题考查由三视图判断几何体，正确掌握各种简单几何体的三视图是解题的关键.

30.（2020•四川）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，根据图中给定数据求出表面积即可.

【详解】

4

由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，且底面半径为，=彳=2,

・•・这个几何体的表面积

=底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积

=71rl+2兀rh+7irl

=22K+2x2义2兀+3x2兀=18兀，

故选：B.

【点睛】

本题考查了由三视图判断几何体、圆锥和圆柱的计算，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组

合体是解题的关键.

31.（2020•内蒙古赤峰）某几何体的三视图及相关数据（单位:。加）如图所示，则该几何体的侧面积是

65万2c—cc

A.B.607rcm"C.65兀c“rD.130万c"

2

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据三视图判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm,底部圆的半径为5cm,可用勾股定理求出圆锥

母线的长度，且圆锥侧面积的计算公式为S圆锥恻=万71,其中R为圆锥底部圆的半径，/为母线的长度，将

其值代入公式，即可求出答案.

【详解】

解：由三视图可判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm,底部圆的半径为5cm,

•••圆锥母线长为：Z=V52+122=13cm,

又圆链恻=万,五，/,将R=5cm,/=13cm代入，

•••S圆锥恻=7,R./=657r（cm2）,

故选：C.

【点睛】

本题考察了用三视图判断几何体形状、勾股定理、圆锥侧面积计算，解题的关键在于通过题目中已给出的

三视图判断出几何体的形状.

32.（2022・广西）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如

已知A43C中，乙4=30。，NC=3,乙4所对的边为白，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图

的△NBC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（)

A.2月B.2>/3-3C.2百或百D.2月或26-3

【答案】C

【解析】

【分析】

分情况讨论，当A48C是一个直角三角形时，当A43/C是一个钝角三角形时，根据含30。的直角三角形的性

质及勾股定理求解即可.

【详解】

如图，当A48C是一个直角三角形时，即/。=90。，

♦.Z=30。,8c=5

AB=2BC=2g；

如图，当"3/C是一个钝角三角形时,

过点。作CDLAB],

ZCDA=90°=ZCDB,

•・•CB=CB[,

BD=B1D,

vZA=30°,AC=3f

13

:.CD=-AC=-,

22

BC=6,

22

BtD=75]C-CD=^-=BD,

BBX—A/3,

AB】=AB—BB、=>/3,

综上，满足已知条件的三角形的第三边长为2百或G，

故选：C.

【点睛】

本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30。的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的

关键.

二、填空题

33.（2022•青海）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方

体的个数是.

主视图左视图俯视图

【答案】5

【解析】

【分析】

根据三视图得出这个几何体的构成情况，由此即可得.

【详解】

解：由三视图可知，这个几何体的构成情况如下：（数字表示相应位置上小正方形的个数）

则构成这个几何体的小正方体的个数是2+1+1+1=5,

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了三视图，熟练掌握三视图是解题关键.

34.（2021•江苏扬州）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，该果罐侧面积为

【答案】100万

【解析】

【分析】

根据圆柱体的主视图为边长为10cm的正方形，得到圆柱的底面直径和高，从而计算侧面积.

【详解】

解：•・•果罐的主视图是边长为10c加的正方形，为圆柱体，

圆柱体的底面直径和高为10cm,

二侧面积为10万xl0=100万,

故答案为：1007.

【点睛】

本题考查了几何体的三视图，解题的关键是根据三视图得到几何体的相关数据.

35.（2021•云南）如图是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）.已知主视图和

左视图是两个全等的矩形.若主视图的相邻两边长分别为2和3,俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体

的体积为

主视图左视图

俯视图

【答案】37

【解析】

【分析】

由三视图判断出几何体的形状以及相关长度，根据圆柱的体积公式计算即可.

【详解】

解：由三视图可知：该几何体是圆柱,

该圆柱的底面直径为2,高为3,

2

・•・这个几何体的体积为万xIx3=3万，

故答案为：37r.

【点睛】

本题考查了几何体的三视图，圆柱的体积，解题的关键是判断出该几何体为圆柱.

36.（2020•内蒙古呼和浩特）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

【答案】3兀+4

【解析】

【分析】

首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可.

【详解】

解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，

半圆柱的直径为2,高为1,

故其表面积为：兀xp+（兀+2）义2=3兀+4,

故答案为：37T+4.

【点睛】

本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图得到几何体的形状，难度不大.

37.2020•湖南郴州）如图，圆锥的母线长为10,侧面展开图的面积为60万，则圆锥主视图的面积为.

【答案】48

【解析】

【分析】

圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=TH代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求

出圆锥的高即可.

【详解】

根据圆锥侧面积公式：S=7rrl,圆锥的母线长为10,侧面展开图的面积为60兀，

故6O7r=7t><l0><r,

解得：r=6.

由勾股定理可得圆锥的高=而==8

•••圆锥的主视图是一个底边为12,高为8的等腰三角形，

;它的面积」xl2x8=48,

2

故答案为：48

【点睛】

本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键.

38.（2020•黑龙江齐齐哈尔）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面

积是.

【答案】65%

【解析】

【分析】

由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线/和底面圆半径为r的长度，再套用

侧面积公式即可得出结论.

【详解】

解：由三视图可知，原几何体为圆锥，设圆锥母线长为/,底面圆半径为r

有/=13,r=5

S姬=兀〃=%*5*13=65%.

故答案为：6571.

【点睛】

本题考查了三视图以及圆锥的侧面积公式,其中根据几何体的三视图判断出原几何体是解题的关键，再套

用公式即可作答.

39.（2020•浙江金华）如图为一个长方体,则该几何体主视图的面积为_____cm2.

电板rm,

【答案】20

【解析】

【分析】

根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积.

【详解】

解：该几何体的主视图是一个长为5,宽为4的矩形，所以该几何体主视图的面积为20cm2.

故答案为：20.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

40.（2021・江苏无锡）下列命题中，正确命题的个数为.

①所有的正方形都相似

②所有的菱形都相似

③边长相等的两个菱形都相似

④对角线相等的两个矩形都相似

【答案】1

【解析】

【分析】

根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根

据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断.

【详解】

解：所有的正方形都相似，所以①正确；

所有的菱形不一定相似，所以②错误；

边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；

对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；

故答案是：1.

【点睛】

本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键.

41.（2022•江苏无锡）请写出命题“如果。>6,那么6-。<0”的逆命题：.

【答案】如果6-°<0,那么a>6

【解析】

【分析】

根据逆命题的概念解答即可.

【详解】

解：命题“如果。>6,那么6<0"的逆命题是“如果6-a<0,那么。>叱,

故答案为：如果6-a<0,那么。>6.

【点睛】

此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的

结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

42.（2022•浙江湖州）“如果同=回，那么a="的逆命题是.

【答案】如果a=b,那么同=同

【解析】

【分析】

把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案.

【详解】

解：“如果同=网，那么a=6”的逆命题是：

“如果a=6,那么同=网”,

故答案为：如果a=6,那么同=问.

【点睛】

本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义.

43.（2020•北京）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2,3,4,

5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小.如果按“甲、乙、

丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1,2号座位的票，乙购买3,5,7号座位的票，丙选座购票后，丁

无法购买到第一排座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条

件的购票的先后顺序.

I..I

I舞台I

【答案】丙，丁，甲，乙

【解析】

【分析】

根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2,3,4,5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买

到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1,2,3,4.丁所购票数最多，因此应让

丁第二购票，据此判断即可.

【详解】

解：丙先选择：1,2,3,4.

丁选：5,7,9,11,13.

甲选：6,8.

乙选：10,12,14.

顺序为丙，丁，甲，乙.

(答案不唯一)

【点睛】

本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键.

44.(2012•天津)“三等分任意角”是数学史上一个著名问题•已知一个角4MAN设Na=g/MAN

(I)当NMAN=69。时，Na的大小为(度)；

(II)如图，将4MAN放置在每个小正方形的边长为1cm的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平

行，另一边AN经过格点B,且AB=2.5cm.现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出/a,并简要

说明作法(不要求证明).

B7

/

/

A£

A

【答案】(D23(II)见解析

【解析】

【详解】

(I)23.

(II)如图，让直尺有刻度一边过点A,设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C,与过点B水平方向

的网格线交于点D,保持直尺有刻度的一边过点A,调整点C、D的位置，使CD=5cm,画射线AD,此时

Z.MAD即为所求的Na.

BAD

/11

A

（I）根据题意，用69。乘以g,计算即可得解：1X69°=23°.

（II）利用网格结构，作以点B为直角顶点的直角三角形，并且使斜边所在的直线过点A,且斜边的长度为

5,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得斜边上的中线等于AB的长度，再结合三角形的外角

性质可知，ZBAD=2ZBDC,再根据两直线平行，内错角相等可得NBDC=NMAD,从而得到NMAD=g

ZMAN.

三、解答题

45.（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他

们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米,

其中。、C、D、F、G五点在同一直线上，4、B、。三点在同一直线上，且EF1FG.已知小明

的身高即为1.8米，求旗杆的高AB.

【答案】旗杆的高N3为3米.

【解析】

【分析】

证明利用相似比计算出/O的长，再证明然后利用相似比计算03的长,

进一步计算即可求解.

【详解】

解：,.皿EG,

:.乙ADO=KEGF.

又•:乙4OD=AEFG=9Q°,

AAOD-AEFG.

AOOP

EF~FG'

同理，△BOJAAOD.

BOPC

"^4O~OD'

「八AOOC15x16-

D(J=-----------=---------=12.

OD20

；.AB=OA-OB=3(米).

•••旗杆的高N5为3米.

【点睛】

本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行

投影.平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的.

46.(2020•四川攀枝花)实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动.有两座垂直于水平地面且高度不一

的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线九W的距离皆为100cm.王诗嬷观测到高度90cm

矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示.已知落在地面上的影

子皆与坡脚水平线九W互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，=1:0.75,在不计圆柱厚度与影子

宽度的情况下，请解答下列问题：

(1)若王诗嬷的身高为150cm,且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm?

(2)猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内.请直接回答这

个猜想是否正确？

(3)若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm,则高圆柱的高度为多少cm?

【答案】(1)120cm；(2)正确；(3)280cm

【解析】

【分析】

(1)根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题.

(2)根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线血W互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得;

(3)过点F作FG1CE于点G,设FG=4m,CG=3m,利用勾股定理求出CG和FG,得到BG,过点F作

FH1AB于点H,再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.

【详解】

解：(1)设王诗嬷的影长为xcm,

,口90150

由题意可得：—=---，

72x

解得：x=120,

经检验：x=120是分式方程的解，

王诗嬷的的影子长为120cm；

(2)正确，

因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，

则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，

而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，

•••高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；

(3)如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，4CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，

过点F作FG1CE于点G,

由题意可得：BC=100,CF=100,

・••斜坡坡度，=1:0.75,

DEFG14

“瓦一节一诬一晨

.♦.设FG=4m,CG=3m,在4CFG中，

(4加y+(3机『=10()2,

解得:m=20,

.•.CG=60,FG=80,

.-.BG=BC+CG=160,

过点F作FH1AB于点H,

:同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm,

FG1BE,AB1BE,FH1AB,

可知四边形HBGF为矩形,

90_AH_AH

T2~HF~^G

AH=—xBG=—xl60=200,

・•.AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280,

故高圆柱的高度为280cm.

BCGE

【点睛】

本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物

体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型.

47.（2022•广西贵港）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：

如图，已知线段〃求作ZA=90°,AB=m,BC=n.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

作直线/及/上一点/；过点/作/的垂线；在/上截取43=小；作3C=〃；即可得到

【详解】

解：如图所示：A/3C为所求.

注：（1）作直线/及/上一点4;

（2）过点4作/的垂线；

（3）在/上截取/3=加；

（4）作8C=".

【点睛】

本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.

48.（2022•湖南永州）如图，8。是平行四边形/BCD的对角线，BF平分NDBC,交CD于点F.

（1）请用尺规作N/D2的角平分线交4B于点、E（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用

黑色笔将作图痕迹再填涂一次）;

（2）根据图形猜想四边形万为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整.

证明：•••四边形48CD是平行四边形，

AD//BC

•：/ADB=N（两直线平行，内错角相等）

又DE平分AADB,BF平分ZDBC,

ZEDB=-NADB,ZDBF=-ZDBC

22

•••ZEDB=NDBF

-.DEH（）（填推理的依据）

又•••四边形/BCD是平行四边形

BE//DF

••・四边形D班厂为平行四边形（）（填推理的依据）.

【答案】（1）详见解析

（2"DBC；BF；内错角相等，两直线平行；两组对边分别平行的四边形是平行四边形

【解析】

【分析】

（1）根据作角平分线的步骤作。E平分N4D2即可;

（2）结合图形和已有步骤合理填写即可；

（1）

解：如图，根据角平分线的作图步骤，得到。£,即为所求;

⑵

证明：•••四边形”CD是平行四边形,

AD//BC

ZADB=ZDBC.（两直线平行，内错角相等）.

又•；DE平分NADB,BF平分ZDBC,

ZEDB=-ZADB,NDBF=-NDBC

22

•••NEDB=ZDBF.

•••DEIIBF（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）

又,•・四边形N8C。是平行四边形.

BE//DF,

.••四边形。鹿厂为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键.

49.（2022•山东青岛）已知：Rt^ABC,Z5=90°.

求作：点尸，使点尸在A/8C内部，且PB=PC,/PBC=45°.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

分别以点2、C为圆心，大于2c长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后再以点8为圆心，适

当长为半径画弧，交4B、8C于点初、N,以点M、N为圆心，大于长一半为半径画弧，交于一点0,

连接80,进而问题可求解.

【详解】

解：如图，点尸即为所求：

【点睛】

本题主要考查角平分线与垂直平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线与垂直平分线的尺规作图是解题的关

键.

50.(2022•黑龙江绥化)已知:AABC.

(1)尺规作图：用直尺和圆规作出A/BC内切圆的圆心。；(只保留作图痕迹，不写作法和证明)

(2)如果A48C的周长为14cm,内切圆的半径为1.3cm,求A48C的面积.

【答案】(1)作图见详解

(2)9.1

【解析】

【分析】

(1)根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可；

(2)利用割补法，连接CM,OB,OC,作。。L48,OE1BC,OF1AC,这样将A48C分成三个小三角形,

这三个小三角形分别以418c的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出

三角形的面积.

(1)

解：如下图所示，。为所求作点，

⑵

解：如图所示，连接CM,OB,OC,作0D1N5,OELBC,OFLAC,

A

・•・内切圆的半径为1.3cm,

：.OD=OF=OE=L3,

•.•三角形N8C的周长为14,

：.AB+BC+AC=\A,

则S/XABC=SAAOB+SACOB+SAAOCAB-OD+^-BC-OE+^-AC-OF

=1xl.3x（yiJB+SC+JC）=1xl,3xl4=9.1

故三角形4BC的面积为9.1.

【点睛】

本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形

的内切圆相结合是解决本题的关键.

51.（2022•江苏扬州）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？

【初步尝试】如图1,已知扇形。请你用圆规和无刻度的直尺过圆心。作一条直线，使扇形的面积被

这条直线平分；

【问题联想】如图2,已知线段请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形

MNP；

【问题再解】如图3,已知扇形。请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点。为圆心的圆弧，使扇形的

面积被这条圆弧平分