2022-2024年高考数学复习分类汇编：平面向量（六大考点） 含解析

三年真题

专敷09年面向量

富铝若磺。麴躯僧

考点三年考情（2022-2024）命题趋势

考点1:平面向量线性运算2022年新高考全国I卷数学真题

2022年高考全国甲卷数学（理）真题

2023年高考全国乙卷数学（文）真题

考点2：数量积运算

2022年高考全国乙卷数学（理）真题

平面向量数量积的运算、化

2024年北京高考数学真题

简、证明及数量积的应用问

2023年新课标全国II卷数学真题

题，如证明垂直、距离等是每

2024年新课标全国II卷数学真题

考点3：求模问题年必考的内容，单独命题时，

2023年北京高考数学真题

一般以选择、填空形式出现.交

2022年高考全国乙卷数学（文）真题

汇命题时，向量一般与解析几

2023年高考全国甲卷数学（文）真题

何、三角函数、平面几何等相

考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（理）真题

结合考查，而此时向量作为工

2022年新高考全国II卷数学真题

具出现.向量的应用是跨学科

2024年上海夏季高考数学真题

知识的一个交汇点，务必引起

2024年新课标全国I卷数学真题

重视.

考点5：平行垂直问题2022年高考全国甲卷数学（文）真题

预测命题时考查平面向量数

2023年新课标全国I卷数学真题

量积的几何意义及坐标运算，

2024年高考全国甲卷数学（理）真题

同时与三角函数及解析几何

2024年天津高考数学真题

相结合的解答题也是热点.

2023年高考全国乙卷数学（理）真题

考点6：平面向量取值与范2022年新高考北京数学高考真题

围问题2022年新高考天津数学高考真题

2022年新高考浙江数学高考真题

2023年天津高考数学真题

甯窗给绿。固滔送温

考点1:平面向量线性运算

1.（2022年新高考全国I卷数学真题）在AABC中，点。在边45上，BD=2DA.记0=流丽=五，则赤=

（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3玩+2元D.2m+3n

【答案】B

【解析】因为点。在边NB上，BD=2DA,所以丽=2而，即丽-赤=2（0-丽），

所以丽=3而一20=3^-2碗=-2玩+3万.

故选：B.

考点2：数量积运算

2.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量£,刃的夹角的余弦值为:，且同=1,忖=3,贝！1

（2a+b\b=.

【答案】11

【解析】设a与石的夹角为。，因为a与书的夹角的余弦值为:，即cosO=；,

又卜|=1,=3,所以.4="卡卜。$。=1*3*!=1,

所以（2a+叶5=2a%+=2a-B+W=2x1+32=11.

故答案为：11.

3.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形/BCD的边长是2,E是AB的中点，则就.而=（）

A.75B.3C.275D.5

【答案】B

（IULII'IIuuufiuiiruuur

【解析】方法一：以｛，卅/。｝为基底向量，可知卜@=%。卜2,/氏/。=0,

uuruurUUT1uniuaruuruuruuniuuruun

则£C=£8+5C=—45+皿即=£/+4。=——AB+AD,

22

uuruur（iuuruuurA（iuururnrAiuu?uui?

所以EC,£Q=匕45+/。）=-^45+AD=4MW；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

UUUlUUUL

则E（l,0）,C（2,2）,D（0,2）,可得EC=（1,2）,即=（一1,2）,

ULUUUUL

所以EC・EZ）=—1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=45,CD=2,

n/72+CF2-DC25+S-43

在KDE中,由余弦定理可得cosZDEC=D"c以=二厂=

2DECE2xV5x^5

uuruur|U11叫UTII1u1叫mr）

所以£。£。=忸。E冰os/D£C=j5xj5x|=3.

已知向量满足|a|=1,|71=6,|〃一2?|=3,则Q.B=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】—2盯=|叫2—4万万+4时,

又・・•©=1/昨73,13-2*|二3,

••9=1-45-6+4x3=13-45-6,

-a-b=l

故选：C.

5.（2024年北京高考数学真题）设屋,3是向量，则伍-3）=0”是"£=»或心.的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为（，+孙（，工）=>12=0,可得7=口即同=同，

可知（》+孙"5）=0等价于同=问，

若或£=/,可得同=W，即,+肛（）一可=0,可知必要性成立；

若R+孙（3一日=0,即同=W，无法得出£=3或£=工,

例如a=（i,o）石=（o,i）,满足同=问，但且£片工，可知充分性不成立；

综上所述，“(1+4(@工)=0，，是“力3旦2一户的必要不充分条件.

故选：B.

考点3：求模问题

6.(2023年新课标全国H卷数学真题)已知向量1,万满足归-可=若，归+司=忸-4,则|可=

【答案】G

【解析】法一：因为归+可=忸一可,即R+可=(21一可,

则1+2：3+£=4?-4：/+上整理得7-2屋3=0，

又因为卜-小百，即"4=3,

则」丁3,所以|可=百.

inI-rrrrrrr

法二：^cx=a-bL»则卜|=j3,“+b=c+2d2a—6=2c+Z?,

由题意可得：«+2力、曲可，则£+4：.，指=丁+篇+占，

整理得：?=?＞即同='=6.

故答案为：6

7.(2024年新课标全国n卷数学真题)已知向量痴满足问=1诉+2*2,且(3-2%)^,则同=

A.yB.—C.—D.1

222

【答案】B

【解析】因为(5-22)，人所以0-2ZM=O,即片=2鼠九

又因为问=小+2耳=2,

所以1+4〃.3+43=1+66=4，

从而w=*.

故选：B.

8.(2023年北京高考数学真题)已知向量河B满足5+。=(2,3),万一3=(—2,1),则团2TBi2=(

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量2万满足万+「=(2,3),a-b=(-2,1),

所以|Z|2—|向2=Q+B).G—B)=2x(—2)+3xl=—L

故选：B

9.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量工=（2,1焉=（-2,4）,贝!］卜-0（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】因为【石=（2,1）-（一2,4）=（4,-3）,所以归一.=再行=5.

故选：D

考点4：求夹角问题

10.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)已知向量£=(3,1)1=(2,2),贝ljcos«+及£-同=()

A.—B.叵C.—D.—

171755

【答案】B

【解析】因为〃=(3,1)1=(2,2),所以Q+B=(5,3),a-B=(1,-1),

贝”〃+.=,5?+3?=A/34,|(7—=V1+1=V2,(q+3)._3)=5x1+3x—1)=2,

2

所以COS(Q+6,Q-Z)

V34xV217

故选：B.

11.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量用5,3满足同=W卜1,同=后，且力+彼+己=。，则

cos〈5-c1-c〉=（）

42-24

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】D

【解析】因为万+B+,=0,所以＞b二-£,

即片+庐+2万万=/,即1+1+2］）=2,所以展5=0.

如图，设刀=1,砺=反了=己,

C

ADB

由题知,ON=OB=l,OC=6,4AB是等腰直角三角形，

AB边上的高8=1,40=1,

22

所以CD=CO+OD=0+-,

22

tanNACD=—=-,cosZACD=3

CD3回，

cos（a-c,b-c）=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故选:D.

12.（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量£=（3,4）,1=（1,0）1=£+行，若<£,">=<友">,贝"=（

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】c

9+3/+163+%

【解析】^=（3+t,4）,cos（扇2=cos〈6,3）,即二百，解得f=5,

故选：C

考点5:平行垂直问题

13.（2024年上海夏季高考数学真题））已知左eR,a=（2,5）,B=（6#）,且则左的值为.

【答案】15

【解析】•：allb'.>.2^=5x6,解得左=15.

故答案为：15.

14.（2024年新课标全国I卷数学真题）已知向量3=（0,1）,3=（2,x）,若B_L（3-4G）,贝！|x=（）

A.-2B.-1C.ID.2

【答案】D

【解析】因为必伍-4a）,所以。伍-町=0,

所以g2_4[.B=0即4+%2-4x=0,故x=2,

故选：D.

15.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量方=（冽,3）石=（1，加+1）.若则冽=.

3

【答案】-:/-0.75

4

_3

【解析】由题意知：a-b=m+3（m+1）=0,解得加=一].

3

故答案为：-二.

4

16.(2023年新课标全国I卷数学真题)已知向量£=(1,1)石=(1,-1),若R++贝！］()

A.2+〃=1B.2+必=-1

C.彳〃=1D.沏=-1

【答案】D

［解析］因为a=(l,l)3=(l,T)，所以°+25=(1+彳,1_彳)，0+〃3=(1+〃,1一〃)，

由(a+2办)_L(a+〃1)可得，(a+2可(a+Ml)=0,

即(1+2)(1+〃)+0_几)(1一〃)=0,整理得：A//=-1.

故选：D.

17.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)设向量1=(x+l,x)3=(x,2),贝1］()

A.“x=-3”是“力刃”的必要条件B.“x=-3”是“£//尸的必要条件

C.“x=0”是力”的充分条件D.“x=-l+6”是“£//力的充分条件

【答案】C

【解析】对A,当a_L刃时，则a.5=0，

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，£=(1,0)万=(0,2),故7族=0，

所以即充分性成立，故C正确；

对B,当£/历时，则2(x+l)=/,解得-1±6，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-l+6时，不满足2(x+l)=x2,所以£/后不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

考点6：平面向量取值与范围问题

18.(2024年天津高考数学真题)在边长为1的正方形中，点£为线段的三等分点，

1uuruuruuur

CE=-DE,BE=ABA+juBC,则2+〃=；F为线段BE上的动点，G为在'中点，则万•丽的最小

值为.

D,-----E_c

A'B

4

【答案】

3-18

1uur2uuruuruuoruuriuurumr

【解析】解法一：因为CE=—^CE=-BA,则BEuBC+CE1：—54+BC,

233

i4

可得4=5,4=1，所以％+4=§;

由题意可知：I数1=1腐1=1,防•前=0,

因为尸为线段BE上的动点，^BF=kBE=^LBA+kBC,k&\Q,\\,

贝1］万=刀+而=存+左砺=j|kA\BA+kBC,

又因为G为AF中点,则DG—DA+AG——BC+万/F=--1PC,

^-\\BA+kBC

可得4F・Z)G=

又因为无e[0,l],可知：当左=1时，方不取到最小值-1；

1O

解法二：以8为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则/（T0）,8（0,0）,C（0,l）,O（Tl）£、；l],

可得或=（-1,0）,元=（0,1）,而=[一,“，

―-___2=_14

因为砺=2茄+〃反=（-4〃），贝1“一--3,所以彳+〃=—；

,〃=1'

因为点F在线段BE：y=-3x,xe-1,0上，设尸（a,-3a）,ae-1,0

且G为肝中点，则

Q+1

可得AF=(a+1,—3a),DG=|

F

贝1万.云=”^-+(—3〃)[j_l)=5,+|)J，

且一£，°,所以当时，彳万•方不取到最小值为-工；

_3_|318

45

故答案为：—；■.

318

19.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)已知。。的半径为1,直线以与。。相切于点4直线PB与OO

交于瓦C两点，。为3C的中点，若|尸。|=也，则莎.丽的最大值为()

A1+V2nI+2V2

22

C.1+V2D.2+V2

【答案】A

【解析】如图所示，Q旬=1,|。尸|=行，则由题意可知:乙42。=：,

由勾股定理可得归H=J。产-。T=1

7[

当点4。位于直线PO异侧时或PB为直径时，设NOPC=a,0<a<-,

4

则：历.丽=网」丽|cos,+?]

=lxV2cos(zcosa+—

I4；

BfV2V2.

122J

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.3

-----------------sm2a

22

V2.

------sin

22

八兀71A7171

0<<7<—,贝U—<2a------<—

4444

JT

当点4。位于直线尸。同侧时，设

71

则：~PA-TD=\PA\\PD\CO^\a--

71

=1XV2COSOfcosa--

(血

=6cosa——cosa+——sina

122

7

=cos2a+s•macosa

1+cos2a1.c

-------------------\--sm2a

22

J+ginJ+H71，

224

°-a<P则

「•当+f时，班所有最大值竽

综上可得，瓦丽的最大值为4

故选：A.

20.(2022年新高考北京数学高考真题)在“BC中，AC=3,BC=4,ZC=1°.P为AABC所在平面内的

动点，且PC=1,则方.而的取值范围是(

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.

【答案】D

【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则C(o,o),r(3,0),5(0,4),

因为尸。=1,所以P在以。为圆心，1为半径的圆上运动，

设尸(cos0,sin6),0e[0,2TV],

所以=(3—cos。,一sin。),PB=(-cos0,4-sin0),

所以P4.PB=(-cos0)x(3-cos9)+(4-sin6)x(-sin0)

=cos26—3cos6—4sin8+sin?。

=l—3cos9—4sin。

=1—5sin(6+9),其中sin°=(,cosp=g,

因为一1Vsin(6+9)W1,所以一4«l-5sin(e+3)«6,即P/4-PSG[-4,6]；

故选：D

21.(2022年新高考天津数学高考真题)在》BC中，CA=a,CB=b,。是/C中点，CB=2BE，试用用3

表示瓦为，若刀_L瓦，则的最大值为

【答案】W3-1。一y71

226

【解析】方法一：

A

\D

C

EB

__、__、__k3_]__________

DE=CE-CD^-b--a,1AB=CB-CA=b-a^BVDE(3b-a)-(b-a}=Q,

~.h嗝2.J?2A/3a\、C「I

3片+/=4〃/ncos4cB=雨=回甲？邛#=3，当且仅当同=G卜时取等号，而

JT

Q<ZACB<TI,所以4cB£(0,—].

6

3-1-71

故答案为：-b--a；—.

226

方法二：如图所示，建立坐标系:

£(0,0),5(l,0),C(3,0),A(x,y),DE==(l-x,-y),

.2

反，在n(W3)(x-l)+、=0n(x+l)2+/=4,所以点A的轨迹是以〃(-l,0)为圆心，以r=2为半径的

v2171

圆，当且仅当。与OM相切时，/C最大，此时5^。===：=；；,/。=：.

CMA26

3—1—77

故答案为：-b--a；—.

226

22.(2022年新高考浙江数学高考真题)设点尸在单位圆的内接正八边形4a…4的边44上，则

苏:+^V+…+⑸;的取值范围是.

【答案】[12+2后,16]

【解析】以圆心为原点，44所在直线为x轴，44所在直线为了轴建立平面直角坐标系，如图所示：

（万历、（/3（rr\（B

则4（o,1）,4+,一，4（1,0）,44（o,一i），4与7啖7出6i,o,4f，设尸（用了）,

乙乙乙乙乙乙乙乙

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