2024年北师大版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高一数学下册阶段测试试卷399考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、方程x+log2x=6的根为α，方程x+log3x=6的根为β；则（）

A.α＞β

B.α=β

C.α＜β

D.α；β的大小关系无法确定。

2、在半径为2的圆中；弧长为3所对的圆心角是（）

A.π

B.

C.

D.π

3、如图；三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，PO⊥面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的（）

A.内心。

B.外心。

C.重心。

D.垂心。

4、且则函数的零点落在区间（）A.B.C.D.不能确定5、【题文】函数f(x)＝(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是。

()A.(0,1)B.[，1)C.(0，]D.(0，]6、【题文】已知集合M=N=则M∪N="(")A.B.{C.{D.7、【题文】

设合集的值为A.3B.4C.5D.68、已知a＜则化简的结果是（）A.B.﹣C.D.﹣9、下列集合中，不同于另外三个集合的是（）A.{x|x=1}B.{x|x2=1}C.{1}D.{y|（y﹣1）2=0}评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、下列四个命题：

（1）函数f（x）=1是偶函数；

（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2-8a＜0且a＞0；

（3）函数f（x）在（0；+∞）上是增函数，在（-∞，0）上也是增函数，所以函数f（x）在定义域上是增函数；

（4）若x∈R且x≠0，则．

其中正确命题的序号是____．11、对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2）；有如下结论：

①f（x1+x2）=f（x1）f（x2）；②f=f（x1）+f（x2）；

③（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0；④．

当f（x）=2-x时，上述结论中正确结论的序号是____写出全部正确结论的序号）12、求值＝13、【题文】(1)设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差是则a＝________；

(2)若a＝log0.40.3，b＝log54，c＝log20.8，用小于号“<”将a、b；c连结起来________；

(3)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________；

(4)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m、n满足m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为________.14、【题文】如图，已知⊙的直径为圆周上一点，过点作⊙的切线过点作的垂线垂足为则＿＿＿＿.15、【题文】现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮；让小亮按下列四个步骤操作：

第一步：分发左；中、右三堆牌；每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；

第二步：从左边一堆拿出两张；放入中间一堆；

第三步：从右边一堆拿出一张；放入中间一堆；

第四步：左边一堆有几张牌；就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．

这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是____。16、函数y=的定义域为____．17、不等式x2+2x＜3的解集为______（答案要求用集合形式表达）18、已知函数f（x）=若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)19、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．20、作出下列函数图象：y=21、作出函数y=的图象．22、画出计算1++++的程序框图．23、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

24、请画出如图几何体的三视图．

25、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分四、解答题(共3题，共24分)26、已知函数)．(1)求函数的最小正周期；(2)若求的值．27、设f(x)为定义在R上的偶函数，当时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图像时顶点在P(3,4),且过点A.(2,2)的抛物线的一部分（1）写出函数f（x）在上的解析式；（2）在下面的直角坐标系中直接画出函数f（x）的图像；（3）写出函数f(x)值域28、【题文】（10分）在圆的所有切线中，求在坐标轴上截距相等的切线方程。评卷人得分五、证明题(共2题，共18分)29、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．30、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．评卷人得分六、综合题(共4题，共12分)31、在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C的坐标是（0，1），点D在y轴上且满足∠BCD=∠ABD．求D点的坐标．32、已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-3；0）；B（1，0）两点，与y轴交于C点，∠ACB不小于90°．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）求系数a的取值范围；

（3）设抛物线的顶点为D；求△BCD中CD边上的高h的最大值．

（4）设E，当∠ACB=90°，在线段AC上是否存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．33、已知二次函数y=x2-2mx-m2（m≠0）的图象与x轴交于点A；B，它的顶点在以AB为直径的圆上．

（1）证明：A；B是x轴上两个不同的交点；

（2）求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长．34、如图，抛物线y=x2-2x-3与坐标轴交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，D为顶点．

（1）D点坐标为（____，____）．

（2）BC=____，BD=____，CD=____；并判断△BCD的形状．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标，并对其中一种情形说明理由；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】

∵方程x+log2x=6的根为α，方程x+log3x=6的根为β；

∴log2x=6-x，log3x=6-x，log2α=6-α，log3β=6-β；

令f（x）=log2x，g（x）=log3x；h（x）=6-x，画出图形：

∴α＜β；

故选C．

【解析】【答案】已知方程x+log2x=6的根为α，方程x+log3x=6的根为β，可以令f（x）=log2x，g（x）=log3x；h（x）=6-x，利用数形结合法进行求解；

2、B【分析】

l===3

n=

故选B．

【解析】【答案】根据弧长公式l=可知圆心角．

3、B【分析】

由题意点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则它们在底面上的射影也相等，由此知点O到△ABC的三个顶点的距离是相等的，由外心的定义知，点O是三角形的外心．

故选B．

【解析】【答案】由题设条件知；三条斜线在底面的射影是相等的，即此点到底面三角形三个顶点的距离是相等的，由引可以得出此点应该是三角形的外心．

4、D【分析】试题分析：根据函数零点的存在性定理.若函数在上的图象是一条连续不断的一条曲线，并且有那么函数在区间内有零点.考点：函数的零点.【解析】【答案】D5、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B6、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A7、C【分析】【解析】

【解析】【答案】

C8、C【分析】【解答】解：∵a＜

∴

=

=

=

=．

故选C．

【分析】由a＜我们可得4a﹣1＜0，我们可以根据根式的运算性质，将原式化简为=然后根据根式的性质，易得到结论．9、B【分析】【解答】解：A．{x|x=1}={1}．

B．{x|x2=1}={x|x=1或x=﹣1}={﹣1；1}．

D．{y|（y﹣1）2=0}={y|y=1}={1}．

∴只有B和另外三个集合不同．

故选B．

【分析】分别将集合进行化简，观察集合元素，进行判断．二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】

函数f（x）=1的图象与一条与x轴平行的直线；关于y轴对称，故函数f（x）=1是偶函数，即（1）正确；

若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则或或a=b=0；故（2）错误；

函数y=（x≠0）在（0；+∞）上是增函数，在（-∞，0）上也是增函数，但函数f（x）在定义域上不是单调函数，故（3）错误；

若x∈R且x＞0，则但x＜0时，log2x无意义；故（4）错误。

故答案为：（1）

【解析】【答案】（1）由于常数函数的图象关于y轴对称；结合偶函数图象的特征，可判断（1）的真假；

（2）函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，表示二次方程ax2+bx+2=0无实根；或是函数f（x）为非零常数函数，进而判断（2）的真假；

（3）根据反比例函数的单调性；易推翻（3）中结论，得到（3）是错误的。

（4）根据对数函数定义域；可得（4）的真假。

11、略

【分析】

例如f（x）=2-x

∴对于①，f（x1+x2）=f（x1）f（x2）=故①对。

对于②，f（x1•x2）=≠=f（x1）+f（x2）；

故②错。

对于③，∵为减函数，所以当x1＞x2时，有f（x1）＜f（x2），有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0

对．

对于④，有基本不等式，所以故④对。

故答案为①③④

【解析】【答案】利用幂的运算法则判断出①对；通过举反例判断出②错；通过函数单调性的定义判断出③对；通过基本不等式判断出④对．

12、略

【分析】【解析】

因为【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

解析：(1)∵a>1，∴函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上是增函数，∴loga2a－logaa＝∴a＝4.

(2)由于a>1，0<1，c<0，所以c

(3)由f(－x)＋f(x)＝0，得a＝－1，则由lg<0，得解得－1<0.

(4)结合函数f(x)＝|log2x|的图象，易知0<1，n>1，且mn＝1，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，解得m＝所以n＝2.【解析】【答案】(1)4(2)c＜b＜a(3)－1＜x＜0(4)214、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】设每一堆都有进行了第二步后左、中、右的牌数变为进行了第二步后左、中、右的牌数变为进行了第二步后左、中、右的牌数变为故中间一堆的张数为与无关。【解析】【答案】516、[2，+∞）【分析】【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2；+∞）．

故答案为：[2；+∞）．

【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．17、略

【分析】解：令y=x2+2x-3，函数y=x2+3x+2的图象是开口方向朝上的抛物线。

且函数的图象与x轴交于（-3；0），（1，0）点。

故当x∈（-3，1）时，y=x2+2x-3＜0；

故不等式x2+2x＜3的解集为（-3；-1）；

故答案为：（-3；1）

构造函数y=x2+2x-3，根据二次函数的图象和性质，分别函数y=x2+2x-3的图象的开口方向及与x轴的交点坐标，进而得到不等式x2+2x＜3的解集．

本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，其中熟练掌握二次函数与对应二次不等式解集之间的关系，将将不等式问题转化为分析函数图象问题，是解答本题的关键．【解析】（-3，1）18、略

【分析】解：∴f（x）=

∴x＜2时，不等式f（x）＜恒成立；

x≥2时，x-＜解得：2≤x＜3；

综上；不等式的解集是：{x|x＜3}；

故答案为：{x|x＜3}．

根据函数的表达式解关于x≥2时的不等式f（x）＜即可．

本题考查了分段函数问题，考查解不等式问题，是一道基础题．【解析】{x|x＜3}三、作图题(共7题，共14分)19、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．20、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．21、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可22、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．23、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．24、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．25、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。四、解答题(共3题，共24分)26、略

【分析】试题分析：（1）先将函数化为的形式，再由求得周期;(2)由得到sin＝．由得到的范围，欲求可进行拆角利用和差化积公式解得．试题解析：(1)由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin所以函数f(x)的最小正周期为π．(2)由(1)可知f(x0)＝2sin．又因为f(x0)＝所以sin＝．由得从而cos＝．所以cos2x0＝＝coscos＋sinsin＝．（12分）考点：1、三角函数的化简；2、拆角．【解析】【答案】(1)π;(2)．27、略

【分析】（Ⅰ）根据偶函数关于y轴的对称性，再求对称区间上的解析式时，只要用-x代替x,f(x)不变即可。（2）要分段画，同时要注意图象关于y轴对称，所以先画出y轴右侧的图象再根据对称性画出另一半即可。（3）根据对称性只要求出时，值域即是整个定义域上的值域。【解析】

（1）设时解析式为（4分）(2)图像如右图所示。（6分）（3）值域为：（4分）【解析】【答案】（1）（2）见解析；（3）28、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】五、证明题(共2题，共18分)29、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．30、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．六、综合题(共4题，共12分)31、略

【分析】【分析】先根据一次函数的解析式求出点A及点B的坐标，利用勾股定理解出线段BC、AB的坐标，分一下三种情况进行讨论，（1）若D点在C点上方时，（2）若D点在AC之间时，（3）若D点在A点下方时，每一种情况下求出点D的坐标即可．【解析】【解答】解：∵A；B是直线与y轴、x轴的交点；

令y=0，解得；

∴；

令x=0；解得y=-3；

∴A（0；-3）；

由勾股定理得，；

（1）若D点在C点上方时；则∠BCD为钝角；

∵∠BCD=∠ABD；又∠CDB=∠ADB；

∴△BCD∽△ABD；

∴；

设D（0；y），则y＞1；

∵；

∴；

∴8y2-22y+5=0；

解得或（舍去）；

∴点D的坐标为（0，）；

（2）若D点在AC之间时；则∠BCD为锐角；

∵∠ABD=∠BCD；又∠BAD=∠CAB；

∴△ABD∽△ACB，∴；

设D（0，y），则-3＜y＜1，又；

∴；

整理得8y2-18y-5=0；

解得或（舍去）；

∴D点坐标为（0，-）；

（3）若D点在A点下方时；有∠BAC=∠ABD+∠ADB＞∠ABD；

又显然∠BAC＜∠BCD；

∴D点在A点下方是不可能的．

综上所述，D点的坐标为（0，）或（0，-）．32、略

【分析】【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3；0），B（1，0），得出c与a的关系，即可得出C点坐标；

（2）利用已知得出△AOC∽△COB；进而求出OC的长度，即可得出a的取值范围；

（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，得出抛物线的对称轴为x=-1，进而求出△DCG∽△HCO，得出OH=3，过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM=h，根据h=HBsin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤；即可求出答案；

（4）连接CE，过点N作NP∥CD交y轴于P，连接EF，根据三角形的面积公式求出S△CAEF=S四边形EFCB，根据NP∥CE，求出，设过N、P两点的一次函数是y=kx+b，代入N、P的左边得到方程组，求出直线NP的解析式，同理求出A、C两点的直线的解析式，组成方程组求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3；0），B（1，0）；

∴消去b；得c=-3a．

∴点C的坐标为（0；-3a）；

答：点C的坐标为（0；-3a）．

（2）当∠ACB=90°时；

∠AOC=∠BOC=90°；∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°；

∴∠ACO=∠OBC；

∴△AOC∽△COB，；

即OC2=AO•OB；

∵AO=3；OB=1；

∴OC=；

∵∠ACB不小于90°；

∴OC≤，即-c≤；

由（1）得3a≤；

∴a≤；

又∵a＞0；

∴a的取值范围为0＜a≤；

答：系数a的取值范围是0＜a≤．

（3）作DG⊥y轴于点G；延长DC交x轴于点H，如图．

∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-3；0），B（1，0）．

∴抛物线的对称轴为x=-1．

即-=-1，所以b=2a．

又由（1）有c=-3a．

∴抛物线方程为y=ax2+2ax-3a，D点坐标为（-1，-4a）．

于是CO=3a；GC=a，DG=1．

∵DG∥OH；

∴△DCG∽△HCO；

∴，即；得OH=3，表明直线DC过定点H（3，0）．

过B作BM⊥DH；垂足为M，即BM=h；

∴h=HBsin∠OHC=2sin∠OHC．

∵0＜CO≤；

∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤．

∴0＜h≤1；即h的最大值为1；

答：△BCD中CD边上的高h的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，当∠ACB=90°时，，；

设AB的中点为N，连接CN，则N（-1，0），CN将△ABC的面积平分，

连接CE；过点N作NP∥CE交y轴于P，显然点P在OC的延长线上，从而NP必与AC相交，设其交点为F，连接EF；

因为NP∥CE，所以S△CEF=S△CEN；

由已知可得NO=1，；而NP∥CE；

∴，得；

设过N、P两点的一次函数是y=kx+b，则；

解得：；

即；①

同理可得过A、C两点的一次函数为；②

解由①②组成的方程组得，；

故在线段AC上存在点满足要求．

答：当∠ACB=90°，在线段AC上存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分，点F的坐标是（-，-）．33、略

【分析】【分析】（1）求出根的判别式；然后根据根的判别式大于0即可判断与x轴有两个交点；

（2）利用根与系数的关系求出AB的长度；也就是圆的直径，根据顶点公式求出顶点的坐标得到圆的半径，然后根据直径是半径的2倍列式即可求出m的值，再把m的值代入二次函数解析式便不