2025年苏教版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年苏教版高一数学上册月考试卷309考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、【题文】已知长方体ABCD—A1B1ClD1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为A.8B.16C.14D.182、【题文】设集合定义集合已知

则的子集为（）A.B.C.D.3、【题文】已知函数则的图像大致为（）4、【题文】已知集合集合则（）A.B.C.D.5、若m；n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（）

①②③④．A.1个B.2个C.3个D.4个6、函数的单调递减区间为（）A.（﹣∞，+∞）B.（﹣∞，0）∪（0，+∞）C.（﹣∞，0），（0，+∞）D.（0，+∞）7、角的终边经过点P（-4m,3m)则的值是（）A.1或-1B.或-C.1或-D.-1或8、已知与为互相垂直的单位向量，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A.（-∞，-2）B.（+∞）C.（-2，）D.（-）9、已知过点P（4，1）的直线分别交x，y坐标轴于A，B两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为8，则这样的直线有（）A.4B.3C.2D.1评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、过点M（2，-3）且平行于A（1，2），B（-1，-5）两点连线的直线方程是____．11、有3张不透明的卡片，除正面分别写有不同的数字-1、-2、3外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的则一次函数的图象经过二、三、四象限的概率是.12、如图，正六边形中，有下列四个结论：A．B．C．D．其中正确结论的代号是（写出所有正确结论的代号）．。13、【题文】一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视国科是等腰三角形，则这个几何体的表现积是____cm2。14、【题文】设有最小值，则不等式的解集为．15、已知数列{an}满足：a1=1，an=2an﹣1+1（n≥2），则a4=____．16、用列举法表示集合{x∈N|2x+3≥3x}为______．17、已知两直线l1：（a+1）x-2y+1=0，l2：x+ay-2=0垂直，则a=______．18、已知函数f(x)

在实数集R

上是奇函数，且当x>0

时，f(x)=2x鈭�2x鈭�l

则f(0)+f(鈭�2)=

______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)19、在中，角的对边分别为且满足求角的大小；若求的面积。20、（本小题满分12分）已知且函数（1）若求函数的值域；（2）利用对数函数单调性讨论不等式中的取值范围．21、已知奇函数y=f（x）在定义域（-1；1）上是减函数，满足f（1-a）+f（1-2a）＜0，求a的取值范围．

22、已知（1）求的值；（2）求的值.23、已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数的值域．24、已知=（5cosx，cosx），=（sinx，2cosx），设函数f（x）=++．

（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；

（2）当x∈[]时，求函数f（x）的值域．25、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2），=（-2，3），=（-2；m）．

（1）若⊥（）求||；

（2）若k+与2-共线，求k的值．评卷人得分四、计算题(共3题，共27分)26、分解因式：

（1）2x3-8x=____

（2）x3-5x2+6x=____

（3）4x4y2-5x2y2-9y2=____

（4）3x2-10xy+3y2=____．27、已知f（x）=8+2x﹣x2，g（x）=f（2﹣x2），试求g（x）的单调区间．28、已知sinθ=求的值．评卷人得分五、综合题(共4题，共32分)29、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）试判断抛物线上是否存在一点P；使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．30、已知平面区域上；坐标x，y满足|x|+|y|≤1

（1）画出满足条件的区域L0；并求出面积S；

（2）对区域L0作一个内切圆M1，然后在M1内作一个内接与此圆与L0相同形状的图形L1，在L1内继续作圆M2；经过无数次后，求所有圆的面积的和．

（提示公式：）31、已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2+mx+4=0的两个正整数根之一，且另两边长为BC=4，AB=6，求cosA．32、如图；在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）．

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】【解析】

试题分析：∵长方体ABCD—A1B1ClD1内接于球O，∴球心O是A中点。

∵ABCD是边长为2的正方形，∴BD=2

设BD中点为O‘；连接OO'

∴OO'⊥平面ABCD

∵E为A的中点；

∴AE//OO'；AE=OO'

∴AO'OE为矩形。

∵OA垂直平面BDE

∴OA⊥EO'

∴AO'OE为正方形。

∴AO=AO'=2

即球O的半径R=2

∴球O面积4πR²=16π；故选B。

考点：本题主要考查立体几何平行关系；垂直关系、长方体、球的几何特征；球的表面积计算。

点评：中档题，首先认定球心O是A中点，围绕球半径的计算，构造出现直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解。【解析】【答案】B.2、D【分析】【解析】因为根据新定义可知，集合中的元素就有两个，分别是0+1+2=3,2+5+8=15,故选D【解析】【答案】D3、B【分析】【解析】排除法，因为排除A.排除C,D，选B.【解析】【答案】B4、D【分析】【解析】

试题分析：选D.

考点：集合的运算.【解析】【答案】D5、C【分析】【解答】解：①m⊥α；则m垂直于α内的两条相交直线，因为m∥n，所以n也垂直于这两条直线，故n⊥α，故①正确；

②由线面垂直的性质；垂直于同一平面的两条直线平行，结论正确；

③n∥α，所以存在直线b⊂α，且b∥n，因为m⊥α，所以m⊥b；所以m⊥n，③正确；

④不正确；例如n和m确定的平面平行于α，则n∥α．

故选C

【分析】①可由线面垂直的判定定理进行证明；

②由线面垂直的性质；垂直于同一平面的两条直线平行，结论正确；

③可在α内找n的平行线进行证明；

④不正确，可举反例说明．6、C【分析】【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且

当x∈（﹣∞；0），或x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0均恒成立；

故函数的单调递减区间为（﹣∞；0），（0，+∞）；

故选：C

【分析】先确定函数的定义域，进而利用导数法分析可得函数的单调递减区间．7、B【分析】【解答】因为角的终边经过点（)（)，所以所以

【分析】熟练掌握三角函数的定义，此题为基础题型。此题要注意m的正负。8、A【分析】解：∵与为互相垂直的单位向量。

∴

又∵

且与的夹角为锐角；

∴

但当λ=-2时，不满足要求。

故满足条件的实数λ的取值范围是（-∞，-2）

故选A

本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，由与为互相垂直的单位向量，我们易得代入可求出•又由与的夹角为锐角，故•＞0，由此得到一个关于λ的不等式，解不等式即可得到实数λ的取值范围，但要注意，与同向的排除．

两个向量夹角为锐角；则两个向量的数量积为正；

两个向量夹角为钝角；则两个向量的数量积为负；

两个向量夹角为直角，则两个向量的数量积为零；【解析】【答案】A9、B【分析】解：由题意可设直线的方程为：+=1；

∵直线过点P（4，1），∴+=1；①

∴△ABO的面积S=|a||b|=8；②

联立①②消去b可得a2=±16（a-4）；

整理可得a2-16a+64=0，或a2+16a-64=0；

可判上面的方程分别有1解和2解；

故这样的直线有3条。

故选：B．

由题意可设直线的方程为：+=1，可得+=1，S=|a||b|=8，联立消去b可得a2=±16（a-4）；由一元二次方程根的个数可判．

本题考查直线的截距式方程，涉及一元二次方程根的个数的判断，属基础题．【解析】【答案】B二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】

因为A（1，2），B（-1，-5），所以kAB==因为所求的直线平行与直线AB得到斜率相等，所以所求直线斜率为

所以直线方程为：y-（-3）=（x-2）化简得：7x-2y-20=0．

故答案为7x-2y-20=0

【解析】【答案】先根据A和B的坐标求出直线AB的斜率；因为和直线平行得到斜率相等，由于直线过M点即可写出直线方程．

11、略

【分析】画树状图共有6种情况，因为一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，又因为k＜0，b＜0的情况有k=-1，b=-2或k=-2，b=-1两种情况，所以一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限的概率为故答案为：【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】【答案】A、B、D。13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】{x|x>2}15、15【分析】【解答】解：∵a1=1，an=2an﹣1+1（n≥2）；

∴a2=2a1+1=3，a3=2×3+1=7；

则a4=2×7+1=15．

故答案为：15．

【分析】利用递推关系即可得出．16、略

【分析】解：{x∈N|2x+3≥3x}={x∈N|x≤3}={0；1，2，3}；

故答案为：{0；1，2，3}．

先化简不等式2x+3≥3x为x≤3；又x∈N，则集合表示小于等于3的自然数．

考查描述法表示集合，列举法表示集合，以及自然数集．【解析】{0，1，2，3}17、略

【分析】解：由两直线垂直可知系数满足（a+1）-2a=0；∴a=1．

故答案为：1．

由已知得（a+1）-2a=0；由此能求出a．

本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．【解析】118、略

【分析】解：函数f(x)

在实数集R

上是奇函数；

且当x>0

时；f(x)=2x鈭�2x鈭�l

则f(0)+f(鈭�2)=0鈭�f(2)

=鈭�(22鈭�2隆脕2鈭�1)=1

．

故答案为：1

．

由题意可得f(0)=0f(鈭�2)=鈭�f(2)

由x>0

的解析式；可得f(2)

即可得到所求和．

本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．【解析】1

三、解答题(共7题，共14分)19、略

【分析】【解析】试题分析：（1）结合正弦定理得（2）由余弦定理得考点：解三角形【解析】【答案】（1）（2）20、略

【分析】试题分析：（1）先求出的定义域为进而求出的值域为再分情况讨论的值域；（2）根据底数a的范围来讨论函数函数的单调性，当时，得解得当得解得试题解析：（1）由得所以函数的定义域为令而所以当时,即当时,即所以当时，函数的值域为当时，函数的值域为（2）由得即①当时要使不等式①成立则即当时要使不等式①成立则即综上所述当时不等式中的取值范围为当时不等式中的取值范围为．考点：函数的定义，单调性，解不等式.【解析】【答案】（1）当时，函数的值域为当时，函数的值域为（2）见解析21、略

【分析】

∵f（1-a）+f（1-2a）＜0；∴f（1-a）＜-f（1-2a）；

∵y=f（x）是奇函数；∴f（1-a）＜f（2a-1）；

又∵y=f（x）在定义域（-1；1）上是减函数；

∴1-a＞2a-1①；

且-1＜1-a＜1②；-1＜1-2a＜1③；

联立①②③，解得0＜a＜．

所以a的取值范围为（0，）．

【解析】【答案】根据函数的奇偶性；单调性可去掉不等式中的符号“f”；再考虑到函数的定义域可得一不等式组，解出即可．

22、略

【分析】【解析】试题分析：【解析】

（1）∵∴2分∴4分∴=7分（2）由条件得，9分而∴11分又∵∴∴14分（注：不交待范围，直接得到结果的，扣2分）考点：两角和差的公式【解析】【答案】（1）（2）23、解：（1）由﹣{#mathml#}π2

{#/mathml#}+2kπ≤{#mathml#}x2

{#/mathml#}+{#mathml#}π3

{#/mathml#}≤{#mathml#}π2

{#/mathml#}+2kπ（k∈Z）得﹣{#mathml#}5π3

{#/mathml#}+4kπ≤x≤{#mathml#}π3

{#/mathml#}+4kπ（k∈Z），

当k=0时，得﹣{#mathml#}5π3

{#/mathml#}≤x≤{#mathml#}π3

{#/mathml#}，[0，{#mathml#}π3

{#/mathml#}]⊂[0，π]，且仅当k=0时符合题意，

∴函数y=sin（{#mathml#}x2

{#/mathml#}+{#mathml#}π3

{#/mathml#}），x∈[0，π]的单调递增区间是，[0，{#mathml#}π3

{#/mathml#}]，

同理可得：由{#mathml#}π2

{#/mathml#}+2kπ≤{#mathml#}x2

{#/mathml#}+{#mathml#}π3

{#/mathml#}≤{#mathml#}3x2

{#/mathml#}+2kπ（k∈Z）得{#mathml#}π3

{#/mathml#}+4kπ≤x≤{#mathml#}7x3

{#/mathml#}+4kπ（k∈Z），

当k=0时，得{#mathml#}π3

{#/mathml#}≤x≤{#mathml#}7x3

{#/mathml#}，[{#mathml#}π3

{#/mathml#}，π]⊂[0，π]，且仅当k=0时符合题意，

∴函数y=sin（{#mathml#}x2

{#/mathml#}+{#mathml#}π3

{#/mathml#}），x∈[0，π]的单调递减区间是，[{#mathml#}π3

{#/mathml#}，π]．

（2）∵f（0）=sin{#mathml#}π3

{#/mathml#}={#mathml#}32

{#/mathml#}，f（{#mathml#}π3

{#/mathml#}）=sin（{#mathml#}12

{#/mathml#}x{#mathml#}π3

{#/mathml#}+{#mathml#}π3

{#/mathml#}）=1，f（π）=sin（{#mathml#}12

{#/mathml#}x{#mathml#}π

{#/mathml#}+{#mathml#}π3

{#/mathml#}）={#mathml#}12

{#/mathml#}，

∴由（1）根据函数的单调性可得：y=sin（{#mathml#}x2

{#/mathml#}+{#mathml#}π3

{#/mathml#}）∈[{#mathml#}12

{#/mathml#}，1]．

∴函数的值域是[{#mathml#}12

{#/mathml#},1]．【分析】【分析】（1）求出函数y=sin（+）的所有定义域上的单调区间；即可分析出x∈[0，π]的单调区间．

（2）先求出f（0），f（）．f（π）的值，由（1）利用函数的单调性即可求出值域．24、略

【分析】

（1）根据向量的坐标及便可得出化简后即可得出从而求出f（x）的最小正周期及对称中心；

（2）由x的范围即可求出的范围；从而求出f（x）的值域．

考查向量坐标的数量积的运算，三角函数最小正周期和对称中心的求法，二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，熟悉正弦函数的图象．【解析】解：（1）f（x）=

=5sinxcosx+2cos2x+4cos2x+sin2x+

=5sinxcosx+5cos2x+

=sin2x+5•+

=5sin（2x+）+5；

∴f（x）的最小正周期为T=π，对称中心为

（2）f（x）=5sin（2x+）+5；

由≤x≤得≤2x+≤

∴-≤sin（2x+）≤1；

∴当≤x≤时，函数f（x）的值域为[10]．25、略

【分析】

（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件；以及模的定义即可求出．

（2）根据向量共线的条件即可求出．

本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行，属于基础题．【解析】解：（1）∵=（1，2），=（-2，3），=（-2；m）；

∴+=（-4；3+m）；

∵⊥（）；

∴•（）=-4+2（3+m）=0；

解得m=-1；

∴=（-2；-1）；

∴||=

（2）由已知，k+=（k-2，2k-3），2-=（4；1）；

∵k+与2-共线；

∴1×（k-2）=4（2k-3）；

解得k=-2．四、计算题(共3题，共27分)26、略

【分析】【分析】（1）原式提取2x；再利用平方差公式分解即可；

（2）原式提取x；再利用十字相乘法分解即可；

（3）原式提取公因式；再利用平方差公式分解即可；

（4）原式利用十字相乘法分解即可．【解析】【解答】解：（1）原式=2x（x2-4）=2x（x+2）（x-2）；

（2）原式=x（x2-5x+6）=x（x-3）（x-2）；

（3）原式=y2（4x4-5x2-9）=y2（4x2-9）（x2+1）=y2（2x+3）（2x-3）（x2+1）；

（4）原式=（3x-y）（x-3y）；

故答案为：（1）2x（x+2）（x-2）；（2）x（x-3）（x-2）；（3）y2（2x+3）（2x-3）（x2+1）；（4）（3x-y）（x-3y）27、解：∵f（x）=8+2x﹣x2∴g（x）=f（2﹣x2）=﹣x4+2x2+8

g'（x）=﹣4x3+4x

当g'（x）＞0时，﹣1＜x＜0或x＞1

当g'（x）＜0时，x＜﹣1或0＜x＜1

故函数g（x）的增区间为：（﹣1；0）和（1，+∞）

减区间为：（﹣∞；﹣1）和（0，1）

【分析】【分析】先求出函数g（x）的解析式，然后对函数g（x）进行求导，当导数大于0时为单调增区间，当导数小于0时单调递减．28、解：∵sinθ=∴原式==﹣sinθ=﹣【分析】【分析】原式利用诱导公式化简，约分后将sinθ的值代入计算即可求出值．五、综合题(共4题，共32分)29、略

【分析】【分析】（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b；c的值；得出抛物线解析式；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a）；过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标．【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，解得；

∴抛物线的解析式为y=x2-4x；

（2）抛物线上存在一点P；使∠POM=90˚．

x=-=-=2，y===-4；

∴顶点M的坐标为（2；-4）；

设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为（a，a2-4a）；

过P点作PE⊥y轴；垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．

则∠POE+∠MOF=90˚；∠POE+∠EPO=90˚．

∴∠EPO=∠FOM．

∵∠OEP=∠MFO=90˚；

∴Rt△OEP∽Rt△MFO．

∴OE：MF=EP：OF．

即（a2-4a）：2=a：4；

解得a1=0（舍去），a2=；

∴P点的坐标为（，）；

（3）过顶点M作MN⊥OM；交y轴于点N．则∠FMN+∠OMF=90˚．

∵∠MOF+∠OMF=90˚；

∴∠MOF=∠FMN．

又∵∠OFM=∠MFN=90˚；

∴△OFM∽△MFN．

∴OF：MF=MF：FN．即4：2=2：FN．∴FN=1．

∴点N的坐标为（0；-5）．

设过点M，N的直线的解析式为y=kx+b，则；

解得，∴直线的解析式为y=x-5；

联立得x2-x+5=0，解得x1=2，x2=；

∴直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．

另一个交点K的坐标为（，-）；

∴抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．坐标为（，-）．30、略

【分析】【分析】（1）根据绝对值的性质去掉绝对值号，作出|x|+|y|≤1的线性规划区域即可得到区域L0；然后根据正方形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可；

（2）求出M1、M2的面积，然后根据求解规律，后一个圆得到面积等于前一个圆的面积的，然后列式，再根据等比数列的求和公式求解即可．【解析】【解答】解：（1）如图；|x|+|y|≤1可化为；

x+y≤1；x-y≤，-x+y≤1，-x-y≤1；

∴四边形ABCD就是满足