2021年中考数学一轮复习突破：正方形综合(含答案)

2021中考数学一轮专题突破：正方形综合

一、选择题

1.下列条件不能判断是正方形的是（）

A.NA3C=90。且AB=AD

B.AB=BC且AC±BD

C.ACLBD且AC=BD

D.AC=BD且AB=BC

2.下列说法，正确的个数有（）

①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线

相等;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

3.如图，正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的

点E处，折痕为GH,若BE：EC=2：1,则线段CH的长是（）

A.3B.4C.5D.6

4.如图，在正方形ABCD中，AB=1,点E,F分别在边BC和CD上，AE=AF,

ZEAF=60°,则CT的长是（）

2

D.3

5.如图正方形A3CD中，E为A3中点，FELAB,AF=2AE,FC交BD于点、0,

则NDOC的度数为（）

A.6O0B.67.50C.750D.540

6.（2020.湖北孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将4ADE绕点A

顺时针旋转90°,至I2ABF的位置，连接EF,过点A作EF的垂线，垂足为点H,

与BC交于点G,若BG=3,CG=2,则CE的长为（）

[5

A.4B-0C.4D1

7.（2020・温州）如图，在R/ZXABC中，ZACB=9Q°,以其三边为边向外作正方

形，过点C作CRLRG于点H,再过点C作PQLCR分别交边DE,BH于点P,Q.若

QH=2PE,PQ=15,则CR的长为

画由

A.14B.15C.D.

8.（2020.东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B

重合），对角线AC、BD相交于点O,过点P分别作AC、BD的垂线，分别交

AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N,下列结论：①4APE咨AAME；

②PM+PN=AC；③|尸石2+酎尸2④△POFS^BNF；⑤点O在M、N两点

的连线上.其中正确的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤

D.③④⑤

二'填空题

9.将边长为1的正方形A3CD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置

（如图），使得点D落在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则HD=.（结

果保留根号）

10.如图，在正方形A3CD中，AC为对角线，点E在A3边上，EfUAC于点F

连接EC,AF=3,若^EFC的周长为12,则EC的长为.

11.如图，正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE

的对角线，若ND=60。，BC=2,则点D的坐标是^.

12.口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且ACXBD,请添加一个条件:

,使得口ABCD为正方形.

13.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板''.由边长为4烟的

正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形

内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型（其中点Q,R分别与图②中的点E,G

重合，点P在边上），则“拼搏兔”所在正方形的边长是.

14.如图，正方形ABCD的面积为3cm2,E为BC边上一点，ZBAE=30°,F

为AE的中点，过点F作直线分别与AB,DC相交于点M,N.若MN=AE,则

AM的长等于cm.

三'解答题

15.如图，正方形A3CD的对角线AC,3。相交于点。，E是0C上一点，连接

E8过点4作4〃，3£,垂足为M,AM与3。相交于点E

求证:OE=OE

B

16.如图，在正方形A3CD中，点石是3c的中点，连接DE,过点A作AGLED

交DE于点E交CD于点G

⑴求证:△ADG/ADCE;

(2)连接求证:A3=EB.

17.如图，正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上，且DE=CF,AF与BE

相交于点G.

⑴求证：BE=AF；

(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.

18.如图，已知正方形ABCD与正方形CERG,般是AR的中点，连接DM,EM.

(1)如图①，点E在CD上，点G在的延长线上，判断DM,EM的数量关系

与位置关系，请直接写出结论.

(2)如图②，点E在DC的延长线上，点G在上，(1)中结论是否仍然成立?请

证明你的结论.

2021中考数学一轮专题突破：正方形综合.答案

一、选择题

1.【答案】B［解析］中，若NABC=90。，则口A3CD是矩形，再由A3=AD

可得是正方形，故此选项错误；

B.%3CD中，若A3=3C,则%BCD是菱形，再由AC,3。仍可得是菱形，不

能判定为正方形，故此选项正确；

CPABCD中，若ACLBD,则%BCD是菱形，再由AC=3。可得是正方形，故

此选项错误；

DPABCD中，AC=BD,则口A3CD是矩形，再由43=3。可得是正方形，故此

选项错误.故选B.

2.【答案】B

3.【答案】B【解析】设CH=x,:BE：EC=2：1,BC=9,：.EC=3,由折

叠可知，EH=DH=9-x,在Rt^ECH中，由勾股定理得：（9—x）2=32+f,解

得：x=4.

4.【答案】C［解析］连接ZEAF=6Q°,二△AER为等边三角形，

.•.AE=EE：四边形A3CD为正方形，N3=ND=NC=90。,A3=AD,...Rt2\A3E

部RtAADF(HL),BE=DF,：.EC=CF.设CF=x,则EC=x,

AE=EF=|JEC2+FC2|=0x,BE=l-x.在RtAABE中，AB2+BE2=AE2,：.

1+（1-X）2=（陶X）2,解得％=咽-1（舍负）.故选C.

5.【答案】A［解析］连接3R为A3中点，FE±AB,.'.ER垂直平分A3,

：.AF=BF.'：AF=2AE,

：.AF=AB,：.AF=BF=AB,，△A3R为等边三角形，：.ZFBA=60°,BF=BC,

：.ZFCB=ZBFC=15°,'：四边形ABCD为正方形，

I.ZDBC=45°,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得/

DOC=15°+45°=60°.

6.【答案】B

【解析】由旋转的性质得ZXABF/AADE,.\BF=DE,AF=AE,XVAH±EF,

.•.FH=EH,

,四边形ABCD是正方形，/.ZC=90°,NEFC=NEFC,AAFHG^AFCE,

FGFH

FE—FC

VBG=3,CG=2,，BC=5,设EC=x,则BF=DE=5-x,FG=BG+BF=3+5-x=8-x,

CF=BC+BF=5+5-x=10-x,EF=JEC2+M=|匠+Q。%亢

x=—.故选B.

+(10-x)

7.【答案】A

【解析】本题主要考查了相似三角形和正方形的性质，由题意知△CDPs^CBQ,

所以黑=黑，即辱票覆]，解得：BC=2CD,所以CQ=2CP,则CP=5,

CHBQ|CBCB-2PE

CQ=10,由于PQ〃AB,所以NCBA=NBCQ=NDCP,贝U/0?NBCQ=/a〃N

DCP=32/CBA=p,不妨设DP=x,则DC=2x,在R/ADCP中，叵至三d,

解得x=^].，DC=2国，BC=4词,所以AB=10,Z\ABC的斜边上的高=

任匹=也逑=4,所以CR=14,所以因此本题选A.

8.【答案】B

【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、

等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，

灵活的运用所学知识是解答本题的关键.综合应用垂线、平行线和正方形的性质，

全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和

性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论.

①：正方形ABCD,ZAPE=ZAME=45°,'JPMLAE,：.ZAEP=ZAEM=9Q°,

"：AE=AE,：.AAPE^AAME(ASA)；

②过点N作NQLAC于点。则四边形PNQE是矩形，.•.PN=E。，正方形A3CD,

AZFAE=ZMAE=45°,'：PM±AE,：.ZPEA=45°,：.ZFAE=ZAPE,PE=NQ,

.'.△APE等腰直角三角形，...AEnPE,同理得：△NQC等腰直角三角形，

NQ=CQ,'：AAPE^AAME,：.PE=ME,：.PE=ME=NQ=CQ,：.PM=AE+CQ,

：.PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,即PM+PN=AC成立；

③,.■正方形A3CD,・•.AC，JB。，.•.NE。R是直角，•.•过点尸分别作AC、JB。的

垂线，分别交AC、BD于点E、E.，./「石。和NPR9是直角，...四边形PR9E

是矩形，：.PF=OE,在中，有P序+OE2=PO2,：.P^+PF-=PO2,即

P^+PF2=PO-成立；

④是等腰直角三角形，点P不在A3的中点时，△POR不是等腰直角三

角形，所以△POP与△3NR不一定相似，即△尸。Rs△3NR不一定成立；

⑤•.•△AMP是等腰直角三角形，△PMNs/XAMP,.•.△「阿是等腰直角三角形,

ZMPN=90°,：.PM=PN,：.AP=BP,I.点尸是

A3的中点，又为正方形的对称中点，，点。在M、N两点的连线上.综上,

①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B.

二'填空题

9.【答案】困-1［解析•四边形A3CD为正方形，

：.CD=1,NCD4=90。，

..•边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置，

使得点D落在对角线B上，

CF=@,NCRE=45°,为等腰直角三角形，.••。〃=。歹=。广0)=a-1.

故答案为烟-1.

10.【答案】5［解析］..•四边形A3CD是正方形，AC为对角线，

：.ZFAE=45°,XVEFXAC,

/.ZAFE=9Q°,ZAEF=45°,

：.EF=AF=3,

,.•△ERC的周长为12,

：.FC=U-3-EC=9-EC,

在Rt^ERC中，EC2=EF2+FC2,

.•.EC2=9+(9-EC)2,

解得EC=5.

11.【答案】(5+2,I)【解析】如解图，过点D作DGLBC于G,DF，x轴

于F,,在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=60°,，ABCD是等边三角形,

.*.DF=CG=|BC=1,CF=DG=小，.*.OF=V3+2,.，.D(小+2,1).

12.【答案】NBAO=90。（答案不唯一）【解析】V°ABCD的对角线AC与BD

相交于点0,且AC±BD,.\°ABCD是菱形，当NBAD=90。时，菱形ABCD

为正方形.故可添加条件：ZBAD=90°.

13.【答案】4咽［解析］如图，连接EG,作GMLEN交EN的延长线于

在RtAEMG中，VGM=4,EM=2+2+4+4=12,

EG=kfe；M2+GM2|=|J122与=4函,

14.【答案】苧或乎【解析】如解图，过N作NGLAB,交AB于点G,•..四

边形ABCD为正方形，.•.AB=AD=NG=/cm,在&Z\ABE中，ZBAE=30°,

AB=#cm,.*.BE=1cm,AE=2cm,'..F为AE的中点，AF=^AE=1cm,

AB=NG

在放AABE和放ANGM中，［AE_NM，•'■‘△ABE咨及△NGM(HL),ABE=

GM,ZBAE=ZMNG=30°,ZAEB=ZNMG=60°,.,.ZAFM=90o,即

AF12^3

MN±AE,在H/^AMF中，ZFAM=30°,AF=1cm,.*.AM=

cos30°2s/l3

2

cm,由对称性得到AM，=BM=AB—AM=小一半=坐cm,综上，AM的长

等于芈或坐cm.

三'解答题

15.【答案】

证明:在正方形ABCD中，ACLBD,

：.ZA0F=ZB0E=9Q°.

'：AM±BE,：.ZAME=90°,

：.ZFAO+ZAEB=ZEBO+ZAEB=9Q°,

：.ZFAO=ZEBO.

在正方形A3CD中，

AC=BD,OA=|AC,

：.OA=OB,

?.△AOF^△30E(ASA),OE=OF.

16.【答案】

证明:(1)：四边形ABCD是正方形,

AZADG=ZC=90°,AD=DC,

X'：AG±DE,：.ZDAG+ZADF=9Q°=ZCDE+ZADF,：.ZDAG=ZCDE,

ADG之△DCE(ASA).

(2)如图，延长DE交AB的延长线于H,

,.'E是3c的中点，：