2025年沪科新版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科新版高二数学上册月考试卷883考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A.B.C.D.2、如果复数（a∈R）是纯虚数，那么=（）

A.

B.6

C.5

D.4

3、用系统抽样的方法从150个零件中；抽取容量为25的样本，则每个个体被抽到的概率是（）

A.

B.

C.

D.

4、【题文】函数已知其导函数的部分图象如图所示，则的函数解析式为（）A.B.C.D.5、【题文】sin2100=()A.B.-C.D.-6、函数在区间上的最小值为（）A.72B.36C.12D.07、若则（）A.B.C.D.8、已知函数f（x）=若函数g（x）=ax-+3（a＞0），若对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，6]B.[6，+∞）C.（-∞，-4]D.[-4，+∞）9、已知方程x2+2x-a=0，其中a＜0，则在复数范围内关于该方程的根的结论正确的是（）A.该方程一定有一对共轭虚根B.该方程可能有两个正实根C.该方程两根的实部之和等于-2D.若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是____．

11、已知复数满足则的最大值是_______________．12、【题文】椭圆的焦点为点在椭圆上，若的小大为____．13、【题文】如果关于的不等式的解集是[x1，x2]∪[x3，x4](x1234)，则x1+x2+x3+x4=________．14、【题文】在中，角所对的边分别为若则角的大小为____________________.15、三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于____．

16、已知x＞0，y＞0，x+y=1，则的最小值为____17、如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1C=则A1A=______．18、设i是虚数单位，若复数z满足则复数z的虚部为______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共32分)24、已知二次函数不等式的解集是．（1）求实数和的值；（2）解不等式．25、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中；已知F是线段BD的中点．

（Ⅰ）试在棱D1D上确定一点E，使得EF⊥B1C；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B1-EFC的体积．

26、【题文】已知向量

是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之27、【题文】某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图。

（1）求

（2）引进这种设备后；第几年后该公司开始获利；

（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？评卷人得分五、计算题(共3题，共18分)28、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．29、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．30、求证：ac+bd≤•．评卷人得分六、综合题(共1题，共8分)31、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】试题分析：过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，说明渐近线的斜率大于所以则考点：双曲线的离心率的范围；【解析】【答案】C2、C【分析】

===+

∵复数（a∈R）是纯虚数；

∴=0即a=-6

则z=3i

∴=|-3i+3-i|=|3-4i|=5

故选C．

【解析】【答案】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，利用纯虚数，实部为0，求出a的值，代入利用模的定义求解即可．

3、D【分析】

由已知中总体容量为150；

样本容量为25

则每个个体被抽到的概率P==

故选D

【解析】【答案】抽样的三种方法简单随机抽样；系统抽样，和分层抽样的共同特点是每个个体都抽中的等可能性，故每个个体被抽到的概率均为样本容量÷总体容量，进而根据已知中从150个零件中，抽取容量为25的样本，得到答案．

4、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D5、D【分析】【解析】

试题分析：sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-．

考点：运用诱导公式化简求值．【解析】【答案】D6、D【分析】【解答】要求函数在区间上的最小值，一般要确定函数在此区间上的单调性，这里我们利用导数的性质来解决．易知当时，函数递减，当时，函数递增，因此在时，函数取得最小值0.7、D【分析】【分析】因为所以选D。

【点评】本小题用到的诱导公式有：8、B【分析】解：函数f（x）=当时，f（x）∈．

时，f（x）=f′（x）==＞0，∴函数f（x）在上单调递增，∴f（x）∈．

∴∀x1∈[0，1]，∴f（x1）∈[0；1]．

由于函数g（x）=ax-+3（a＞0）在[0，]上单调递增；

若对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立；

∴[0，1]∈{g（x）|x∈}；

∴解得a≥6．

故选：B．

函数f（x）=当时，f（x）∈时，f（x）=利用导数研究函数的单调性可得：f（x）∈．可得∀x1∈[0，1]，f（x1）∈[0，1]．由于函数g（x）=ax-+3（a＞0）在[0，]上单调递增，由于对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，可得[0，1]∈{g（x）|x∈}；即可得出．

本题考查了函数的单调性与值域、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】【答案】B9、C【分析】解：∵△=4+4a

当△≥0；方程有两个根。

由韦达定理知；两个根的和为-2

故A；B错。

当△＜0时，方程的两个根为

其实部和为-2

故选C

据二次方程的根与判别式的符号有关；二次方程的根满足韦达定理，判断出A，B错；不管判别式大于0还是小于0，二次方程的根满足韦达定理．

注意在复数集中，对于二次方程原有的韦达定理仍成立，但求根公式不成立．【解析】【答案】C二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】

以D为坐标原点；建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2；

则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（-2；1，-2）

•=0，所以⊥即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°；

故答案为：90°．

【解析】【答案】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．

11、略

【分析】【解析】试题分析：表示圆心为（－2，2），半径为1的圆，表示上述圆上的点与定点（2，2）之间的距离，其最大值为（－2，2）与（2，2）之间的距离+圆半径=5。考点：本题主要考查复数的几何意义，数形结合思想。【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：因为=3，=4.又因为所以在三角形中.故填1200.本题是椭圆的定义与解三角形知识的应用.

考点：1.椭圆的定义.2.余弦定理用于解三角形.【解析】【答案】1200.13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】1214、略

【分析】【解析】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力。由得所以

由正弦定理得所以A=或（舍去）、【解析】【答案】15、45°【分析】【解答】解：三棱锥P﹣ABC中；PA⊥平面ABC；

∠PAB=90°

所以：∠PAB就是直线PB与平面ABC所成的角．

又PA=AB

所以：∠PAB=45°

故答案为：45°

【分析】利用线面垂直的性质得到：∠PAB就是直线PB与平面ABC所成的角．再根据PA=AB，进一步求出结果．16、9【分析】【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴=（x+y）=5+=9，当且仅当x=2y=时取等号．

故的最小值为9．

故答案为：9．

【分析】利用基本不等式的性质即可得出．17、略

【分析】解：设=x＞0．

∵=+

∴=+++++

=x2+1+1+2（-xcos60°-xcos60°+0）=5；

∴x2-2x-3=0；

解得x=3．

故答案为：3．

设=x＞0．由=+可得：=+++++=5；利用数量积运算性质即可得出．

本题考查了空间向量运算法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】318、略

【分析】解：∵复数z满足∴化为z（1-i）（1+i）=2（2-3i）（1+i），∴z=5-i；

故复数z的虚部为-1．

故答案为-1．

利用复数的运算法则和虚部的意义即可得出．

熟练掌握复数的运算法则和虚部的意义是解题的关键．【解析】-1三、作图题(共5题，共10分)19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

22、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共32分)24、略

【分析】试题分析：（1）直接将代入方程并由韦达定理即可求出的值；（2）将（1）中的值代入所求解不等式中，运用二次函数与一元二次不等式的关系即可求出所求的解集．试题解析：（1）由不等式的解集是．所以是方程的两根，所以所以．（2）不等式等价于即所以所以．所以不等式的解集为．考点：二次函数的性质．【解析】【答案】（1）（2）．25、略

【分析】

（1）当点E为棱DD1的中点时，会使得EF⊥B1C．下面证明：（2分）

∵E、F分别为棱DD1、BD的中点，∴EF∥BD1；（3分）

∵B1C⊥BC1，B1C⊥C1D1，又BC1∩C1D1=C1，∴B1C⊥平面BC1D1，∴B1C⊥BD1

同理可得B1C⊥BD，又BD∩BD1=B；

故BD1⊥平面AB1C，所以B1C⊥BD1（5分）

即EF⊥B1C；（6分）

（2）由（1）可知：EF⊥B1C，又EF⊥FC，故EF⊥平面B1CF；

又EF=BD1=．（7分）

CF=B1C=2B1F=满足勾股定理（8分）

故=××=．（10分）

故三棱锥B1-EFC的体积为V=×=1．（13分）

【解析】【答案】（1）当点E为棱DD1的中点时，会使得EF⊥B1C；下面用下面垂直来证明即可；

（2）先由已知结合（1）得出垂直关系；再由几何关系求出三棱锥的底面和高，代公式可求．

26、略

【分析】【解析】本试题主要是考查了函数与导数的综合运用。

然后根据可知。

但当x=时，无意义；故不存在。

已知向量

当则2cosx=0

答：时，但当x=时，无意义，故不存在。【解析】【答案】时，但当x=时，无意义，故不存在。27、略

【分析】【解析】（1）由题意知；每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：

（2）设纯收入与年数n的关系为f(n),则：

由f(n)>0得n2-20n+25<0解得

又因为n所以n=2,3,4,18.即从第2年该公司开始获利。

（3）年平均收入为=20-

当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。【解析】【答案】⑴⑵从第2年该公司开始获利，⑶这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大五、计算题(共3题，共18分)28、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．29、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．30、证明：∵（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）•（c2+d2）≥（ac+bd）2；

∴|ac+bd|≤•

∴ac+bd≤•【分析】【分析】作差（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可证明．六、综合题(共1题，共8分)31、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线