深圳市罗湖区2023-2024学年高一（上）期末数学试卷

第14页（共14页）2023-2024学年广东省深圳市罗湖区高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|（x﹣2）（x+1）＜0}，则A∩B＝（）A．[0，2） B．（0，2） C．[0，3] D．（﹣1，3]2．（5分）命题“∃x＞0，x﹣ex﹣1≥1”的否定为（）A．∀x≤0，x﹣ex﹣1≥1 B．∀x＞0，x﹣ex﹣1＜1 C．∃x≤0，x﹣ex﹣1＜1 D．∃x＞0，x﹣ex﹣1＜13．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x∈（0，1]时，f（x）＝x3+2x2，则f（x）在区间[﹣1，0]上（）A．单调递增，且最小值为﹣3 B．单调递减，且最小值为﹣3 C．单调递增，且最大值为﹣3 D．单调递减，且最大值为﹣34．（5分）已知a＝log23，b＝log48，，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．（5分）若，则＝（）A． B． C． D．6．（5分）已知x，y∈R，则使x＞y成立的充分条件为（）A． B． C．x2＞（y+1）2 D．（x﹣1）3＞y37．（5分）设函数，g（x）＝xa（x≥0）它们在同一坐标系的图象如图所示，则下列结论正确的为（）A．a＜﹣1 B． C． D．8．（5分）已知函数，g（x）＝x3+x，则下列结论正确的为（）A．f（x）与g（x）均为单调函数 B．若f（a）＜g（b），则ab+b﹣2＞0 C．若f（a）＝g（b），则a+b＝1不可能成立 D．存在关于y轴对称的点P，Q分别在f（x），g（x）的图象上二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中.有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列等式正确的为（）A． B．lg2+lg5＝1 C． D．（多选）10．（5分）在△ABC中，下列结论正确的为（）A．cosA•cosB•cosC＞0 B． C．sinC＝sinAcosB+cosAsinB D．cosC＝cosAcosB﹣sinAsinB（多选）11．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①∀x，y∈（0，+∞），f（xy）＝xf（y）+yf（x）；②∀x∈（1，+∞），f（x）＞0，则下列结论正确的为（）A．f（1）＝0 B．f（x2）＝x2f（x） C．∀x∈（0，1），f（x）＜0 D．f（x）在区间（1，+∞）上单调递减（多选）12．（5分）已知函数，则下列结论正确的为（）A．函数f（x）的最小正周期为2π B．f（x）在区间（0，π）上的所有零点之和为 C．若|f（ωx）|（ω＞0）在区间上单调，则 D．若x1，x2为在区间（0，π）上的两个根，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）函数的定义域为．14．（5分）已知某扇形的圆心角是，半径是4，则该扇形的面积为．15．（5分）已知x，y＞0，若x+xy＝4，则x+y的最小值为．16．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝a恰有四个相异实数解x1，x2，x3，x4，则实数a的最小值为；x1+x2+x3+x4的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）已知点（a，3）在角α的终边上，且．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．（12分）已知集合A＝{x|≤2x≤16}，B＝{x|m﹣3≤x≤m2+3}．（1）当m＝2时，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．（12分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为130米，转盘直径为120米，开启后按逆时针方向匀速旋转，每30分钟转一圈．已知游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设游客距离地面的高度h（单位：米）关于进舱时间t（单位：分钟）的函数解析式为h（t）＝Asin（ωt+φ）+b（其中A＞0，ω＞0，φ∈（﹣π，π））．（1）求h（t）；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间游客距离地面的高度不小于100米？20．（12分）已知函数．（1）根据定义法证明f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；（2）设t＞0，求解关于t的不等式f（t2﹣t+2）+f（﹣t﹣2）＞0．21．（12分）某企业为了提升全球竞争力，大力推进生产改革，从生产单一产品转型为生产多种产品．已知A，B为该企业生产的两种产品，现企业拟将72千万元资金全部投入A，B的生产，记A，B的利润分别为M，N．由市场调查可知，，，其中x（单位：千万元）为该产品的投入资金．（1）当A的投入资金为25千万元时，求生产A，B的总利润；（2）如何分配A，B的投入资金，方可使得总利润最大，并求最大总利润．22．（12分）已知函数f（x）＝k•2x﹣1+2﹣x是偶函数，．（1）求函数y＝g（lnx）+2k的零点；（2）当x∈[a，b]时，函数g（f（x））与f（x）的值域相同，求b﹣a的最大值．

2023-2024学年广东省深圳市罗湖区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678答案ABACCDDC一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|（x﹣2）（x+1）＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，故A∩B＝[0，2）．故选：A．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．【解答】解：“∃x＞0，x﹣ex﹣1≥1”的否定为：∀x＞0，x﹣ex﹣1＜1．故选：B．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．3．【分析】由已知结合奇函数的对称性即可求解．【解答】解：因为函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x∈（0，1]时，f（x）＝x3+2x2单调递增，所以当x＝1时，函数取得最大值f（1）＝3，根据奇函数的对称性可知，f（x）在[﹣1，0）上单调递增，且函数有最小值f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3．故选：A．【点评】本题主要考查了奇函数对称性的应用，属于基础题．4．【分析】结合对数函数的单调性比较a，b的大小及与1的大小，然后判断c与1的大小即可比较．【解答】解：因为b＝log48＝log2＜log23＝a，所以1＜b＜a，因为c＝（）2＜1，所以c＜b＜a．故选：C．【点评】本题主要考查了对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．5．【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可．【解答】解：因为，所以＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式，还考查了计算能力，属于基础题．6．【分析】举出反例检验选项A，B，C，结合不等式性质判断D．【解答】解：当x＝﹣2，y＝﹣2时，＞1，但是不满足x＞y，即A不符合题意；当y＝1，x＝0时，，但是不满足x＞y，即B不符合题意；当x＝﹣2，y＝﹣1时，x2＞（y+1）2，但是不满足x＞y，不符合题意；当（x﹣1）3＞y3时，可得x﹣1＞y，即x＞y+1，可以得出x＞y，D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于中档题．7．【分析】由已知结合幂函数及二次函数的性质即可求解．【解答】解：由幂函数的图象可知，a＜0，由二次函数的性质可知，当x＝1时，f（1）＝2+＜0，解得，﹣．故选：D．【点评】本题主要考查了幂函数及二次函数性质的应用，属于基础题．8．【分析】根据条件可知f（x）＝g（），逐一判断选项即可．【解答】解：g（x）＝x3+x是R上单调递增函数，＝g（），所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递减，故A错误；若f（a）＜g（b），令a＝，则x＝﹣1，所以f（a）＝g（﹣1），所以g（﹣1）＜g（b），即﹣1＜b，所以＞0，得或，故B错误；若f（a）＝g（b），则b＝﹣1，所以ab+b﹣2＝0，若a+b＝1，则（1﹣b）b+b﹣2＝0，整理得b2﹣2b+2＝0无实根，故C正确；假设存在点P（x，y），则点P关于y轴的对称点Q（﹣x，y），满足f（x）＝g（﹣x），所以﹣x＝﹣1，即x2﹣x+2＝0无实根，所以不存在关于y轴对称的点P，Q分别在f（x），g（x）的图象上，故D错误．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性，属中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中.有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．【分析】由指数、对数的运算法则计算各选项即可．【解答】解：对于A，＝＝，故A错误；对于B，lg2+lg5＝lg（2×5）＝lg10＝1，故B正确；对于C，＝＝，故C错误；对于D，＝＝＝，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查指数、对数的运算，属于基础题．10．【分析】举反例可判断A；由三角形的内角和定理和诱导公式可判断B；由三角形的内角和定理与三角恒等变换知识可判断C，D．【解答】解：对于A，若△ABC为钝角三角形，不妨设C为钝角，则A，B为锐角，所以cosA＞0，cosB＞0，cosC＜0，则cosA•cosB•cosC＜0，故A错误；对于B，＝＝＝，故B正确；对于C，sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，故C正确；对于D，cosC＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）＝sinAsinB﹣cosAcosB，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查三角恒等变换与诱导公式，属于基础题．11．【分析】利用赋值法可判断选项AB；若x∈（0，1），，则，结合性质②即可判断C；利用单调性的定义可判断D．【解答】解：因为∀x，y∈（0，+∞），f（xy）＝xf（y）+yf（x），所以令x＝y＝1，则f（1）＝f（1）+f（1），可得f（1）＝0，故A正确；令y＝x，则f（x2）＝xf（x）+xf（x）＝2xf（x），故B错误；若x∈（0，1），，则，根据性质②知，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0，故C正确；设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，，则，，又，所以，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．12．【分析】将f（x）化简为，再结合选项所给条件，逐一判断即可．【解答】解：∵，∴，A选项，∵，∴f（x）的最小正周期为，故A错误；B选项，当x∈（0，π）时，，记f（x）在区间（0，π）上的零点分别为xa，xb（xa＜xb），∴，，∴，∴，即所有零点之和为，故B正确；C选项，，当x＝0时，，∵ω＞0，∴解得，故C正确．D选项，当x∈（0，π）时，，∵，即，∴与关于对称，∴，∴，∴，∵，∴，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想，属中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数函数的真数大于0建立不等式关系，然后解之即可求出函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得0≤x＜1，所以原函数的定义域[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】本题主要考查了对数函数的定义域及其求法，以及偶次根式的定义域，属于基础题．14．【分析】根据已知条件，结合扇形的面积公式，即可求解．【解答】解：某扇形的圆心角是，半径是4，则该扇形的面积为：．故答案为：6π．【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．15．【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：x+xy＝4，则x（1+y）＝4，即x＝，故x+y＝≥，当且仅当，即x＝1时，等号成立，故x+y的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．16．【分析】利用三角恒等变换得f（x）＝，作出图象，结合题意和图象即可得第一空答案；结合三角函数、对数函数的性质即可得第二空答案．【解答】解：因为＝，作出y＝f（x）的图象，如图所示：又因为f（x）＝a恰有四个相异实数解x1，x2，x3，x4，由图象可知a∈[1，2），所以a的最小值为1；不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由正弦函数的性质可知x1，x2关于x＝﹣对称，所以x1+x2＝﹣，令﹣log3x＝2，解得x＝；令﹣log3x＝1，解得x＝；所以＜x3≤，又因为﹣log3x3＝log3x4，所以x4＝，所以x3+x4＝x3+，＜x3≤，由对勾函数的性质可知x3+∈[，），所以≤x3+x4＜，所以1≤x1+x2+x3+x4＜．故答案为：1；[1，）．【点评】本题考查了正弦函数、对数函数的性质，考查了数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．【解答】解：（1）点（a，3）在角α的终边上，且，则角α的终边位于第一象限或第二象限或y轴正半轴，故＝，所以＝；（2）＝＝﹣tanα﹣1＝．【点评】本题主要考查三角函数的同角公式，以及三角函数的诱导公式，属于基础题．18．【分析】（1）先求出集合A，再结合交集的定义，即可求解；（2）根据已知条件，推得A⫋B，列出不等式组，即可求解．【解答】解：（1）A＝{x|≤2x≤16}＝{x|﹣4≤x≤4}，当m＝2时，B＝{x|﹣1≤x≤7}，故A∩B＝{x|﹣1≤x≤4}；（2）“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B，即（等号不能同时成立），解得m＜﹣1，故实数m的取值范围为{m|m＜﹣1}．【点评】本题主要考查指数不等式的解法，以及集合的运算，属于基础题．19．【分析】（1）由T＝30求出ω，利用最大最小值求出b和A，由t＝0求出φ，即可写出函数解析式．（2）令h（t）≥100，求出t的取值范围，即可得出结果．【解答】解：（1）由题意知，T＝30，所以ω＝＝，由，解得b＝70，A＝60；由t＝0时，h（0）＝60sinφ+70＝10，解得sinφ＝﹣1，又因为φ∈（﹣π，π），所以φ＝﹣，所以h（t）＝60sin（t﹣）+70，0≤t≤30．（2）t∈[0，30]时，h＝60sin（t﹣）+70≥100，即sin（t﹣）≥，解得+2kπ≤t﹣≤+2kπ，k∈Z；即10+30k≤t≤20+30k，k∈Z；所以取10≤t≤20，所以有20﹣10＝10分钟游客距离地面的高度不小于100米．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．20．【分析】（1）任取x1＞x2≥1，利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（2）结合函数的单调性及奇偶性即可求解．【解答】（1）证明：任取x1＞x2≥1，则x1x2＞1，x1﹣x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+＝（x1﹣x2）（1﹣）＝（x1﹣x2）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在[1，+∞）上单调递增；（2）因为f（﹣x）＝﹣x+＝﹣（x+）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数且在[1，+∞）上单调递增，由f（t2﹣t+2）+f（﹣t﹣2）＞0可得f（t2﹣t+2）＞﹣f（﹣t﹣2）＝f（t+2），由t＞0可得t2﹣t+2＞1，t+2＞1，故t2﹣t+2＞t+2，解得，t＞2或t＜0，故t的范围为{t|t＞2或t＜0}．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．21．【分析】（1）由题意得当A产品的投入资金为25千万元时，则B产品投入资金为47千万元，代入分段函数即可求解；（2）A产品的投入资金为x千万元，B产品的投入资金为（72﹣x）千万元，利用换元法和二次函数的单调性即可求解．【解答】解：设A产品的投入资金为x千万元时，生产A，B的总利润为f（x）（单位：千万元）．（1）当A产品的投入资金为25千万元时，则B产品投入资金为47千万元，则生产A，B