2020高考数学艺考生冲刺第一章集合常用逻辑用语推理与证明复数程序框图第1讲集合与常见逻辑用语课件

第一章集合、常用逻辑用语、推理与证明、复数、程序框图第1讲

集合与常见逻辑用语1.集合的有关概念(1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作a∈A;若b不属于集合A,记作b∉A.(3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法.2.常用数集及记法3.集合间的基本关系

4.集合的三种基本运算

5.四种命题的关系与真假判断

(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.6.命题p∧q、p∨q、-p的真假判定

简记为“p∧q两真才真,一假则假;p∨q一真则真,两假才假;-p与p真假相反”.7.量词(1)全称量词和存在量词(2)全称命题和特称命题

8.条件问题(1)充分条件、必要条件与充要条件(2)充要条件常用的三种判断方法①定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假.②等价法:利用A⇒B与

B⇒A,B⇒A与

A⇒B,A⇔B与

B⇔A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.③利用集合间的包含关系判断:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.(3)判断充要条件需注意三点①要分清条件与结论分别是什么;②要从充分性、必要性两个方面进行判断;③直接判断比较困难时,可举出反例说明.题型一

集合的基本概念【例1】

(1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为(

)

A.3 B.4 C.5 D.6(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=(

)【解析】

(1)因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B,所以当b=4,a=1,2,3时,x=5,6,7;当b=5,a=1,2,3时,x=6,7,8.由集合元素的互异性,可知x=5,6,7,8.即M={5,6,7,8},共有4个元素.(2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实数根或有两个相等的实数根.【答案】(1)B

(2)D【规律方法】与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,要注意检验集合是否满足元素的互异性.变式训练一1.已知集合A={x|x∈Z,且

∈Z},则集合A中的元素个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.52.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为

.

C所以x的值分别为3,5,-1,1,故集合A中的元素个数为4.题型二

集合间的基本关系【例2】

(1)已知集合A={x|4≤2x≤16},B[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是

.

(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为

.

【解析】

(1)集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4].因为A⊆B,所以a≤2,b≥4.所以a-b≤2-4=-2,即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].(2)因为B⊆A,所以①若B=∅,则2m-1<m+1,此时m<2.解得2≤m≤3.由①、②可得,符合题意的实数m的取值范围为m≤3.【答案】

(1)(-∞,-2]

(2)(-∞,3]【规律方法】1.集合间基本关系的两种判定方法(1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系.(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系.2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.易错警示:B⊆A(A≠∅),应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.变式训练二1.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3}.若A∩C=C,则a的取值范围是

.

(-∞,-1]2.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m}.若B⊆A,则m的取值范围为

.

(-∞,1]【解析】

当m≤0时,B=∅,显然B⊆A.当m>0时,因为A={x|-1<x<3}.当B⊆A时,在数轴上标出两集合,如图,题型三

集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年各地高考的热点,每年必考,常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题,主要以选择题的形式出现.试题多为低档题.高考对集合运算的考查主要从以下三个角度命题:①求集合间的交或并运算;②求集合的交、并、补的混合运算;③已知集合的运算结果求参数的值(范围).【例3】

(1)(2019·桂林模拟)已知集合M={x|-1<x<3},N={-1,1},则下列关系正确的是(

)A.M∪N={-1,1,3}B.M∪N={x|-1≤x<3}C.M∩N={-1}D.M∩N={x|-1<x<1}(2)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是(

)A.-1<a≤2 B.a>2C.a≥-1 D.a>-1(3)(2019·厦门模拟)已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,则实数a的取值范围是(

)A.a≤1 B.a<1C.a≥2 D.a>2【解析】

(1)M∪N={x|-1≤x<3},M∩N={1},故选B.(2)由A∩B≠∅知,集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示:易知a>-1,故选D.(3)B={x|1<x<2},由A∩B=B知B⊆A,则a≥2,故选C.【答案】(1)B

(2)D

(3)C【规律方法】解决集合运算问题需注意以下三点(1)看元素组成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.(2)看集合能否化简,集合能化简的先化简,再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于求解.(3)要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,并注意端点值的取舍.变式训练三1.(2017·北京卷)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=(

)A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<3}A【解析】

由集合交集的定义可得A∩B={x|-2<x<-1},故选A.

2.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q=(

)A.{1} B.{3,5}C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}3.(2019·东北三省四市联考)设集合A={x||x|<1},B={x|x(x-3)<0},则A∪B=(

)A.(-1,0) B.(0,1)C.(-1,3) D.(1,3)C【解析】

因为U={1,2,3,4,5,6},P={1,3,5},所以∁UP={2,4,6},因为Q={1,2,4},所以(∁UP)∪Q={1,2,4,6}.【解析】

A={x|-1<x<1},B={x|0<x<3},所以A∪B={x|-1<x<3},故选C.C4.已知集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|2x<1},则图中阴影部分表示的集合是

.

{x|0≤x<6}【解析】

由x2-5x-6<0,解得-1<x<6,所以A={x|-1<x<6}.由2x<1,解得x<0,所以B={x|x<0}.又图中阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A,因为∁UB={x|x≥0},所以(∁UB)∩A={x|0≤x<6}.题型四

判断含逻辑词连接的命题的真假【例4】

已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2,在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(-q);④(-p)∨q中,真命题是(

)A.①③

B.①④C.②③

D.②④【解析】

p为真;对于命题q:若x>y,令x=1,y=-2,显然x2<y2,命题q为假命题.则

p为假命题,-q为真命题,因此p∧q为假,p∨q为真,p∧(-q)为真,(-p)∨q为假,故选C.【答案】C【规律方法】“p∧q”“p∨q”“p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式.(2)判断其中命题p,q的真假.(3)依据“或”——一真即真,“且”——一假即假,“非”——真假相反,来确定“p∧q”“p∨q”“p”等形式命题的真假.变式训练四(2019·泰安模拟)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是(

)A.p∧q

B.p∧(q)C.(p)∧q D.(p)∧(q)B【解析】

∵x>0,∴x+1>1,∴ln(x+1)>ln1=0.∴命题p为真命题,∴

p为假命题.∵a>b,取a=1,b=-2,而12=1,(-2)2=4,此时a2<b2,∴命题q为假命题,∴

q为真命题.∴p∧q为假命题,p∧

q为真命题,

p∧q为假命题,

p∧

q为假命题.故选B.题型五

充分条件与必要条件的判定【例5】

(1)(2018·北京卷)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的(

)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“m∉M”是“m∉N”的(

)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)设命题p:(4x-3)2≤1,命题q:x2-(2m+1)x+m(m+1)≤0,若

p是

q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是(

)要而不充分条件,故选B.(2)条件与结论都是否定形式,可转化为判断“m∈N”是“m∈M”的什么条件.由N⫋M知,“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件,从而“m∉M”是“m∉N”的充分不必要条件,故选A.由x2-(2m+1)x+m(m+1)≤0得m≤x≤m+1,即q:m≤x≤m+1.由

p是

q的必要不充分条件知,p是q的充分不必要条件,【答案】(1)B

(2)A

(3)A【规律方法】充分条件和必要条件的三种判断方法(1)定义法:可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么,结论q是什么;②尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p;③确定条件p和结论q的关系.(2)等价转换法:对于含否定形式的命题,如﹁p是﹁q的什么条件,利用原命题与逆否命题的等价性,可转化为求q是p的什么条件.(3)集合法:根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.【易错警示】判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述,比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p,而p不能推出q”.变式训练五1.(2018·合肥一模)“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的(

)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B【解析】

由x2+2x-8>0,可解得x<-4或x>2,所以“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的充分不必要条件,故选B.2.若“x>2m2-3”是“-1<x<4”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是(

)A.[-1,1] B.[-1,0]C.[1,2] D.[-1,2]3.(2019·常德一中月考)若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,则a的最小值为

.

A【解析】

由题意知(-1,4)⫋(2m2-3,+∞),∴2m2-3≤-1,解得-1≤m≤1,故选A.3

【解析】

由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集,即a≥3,故a的最小值为3.题型六

全(特)称命题的否定(高频考点)全称命题与特称命题是高考的常考内容,多和其他数学知识相结合命题,常以选择题、填空题的形式出现.高考对全称命题、特称命题的考查主要从以下两个角度命题:①判断全称命题、特称命题的真假性;②全称命题、特称命题的否定.

变式训练六1.命题“对任意x∈R,都有x2≥ln2”的否定为(

)A.对任意x∈R,都有x2<ln2B.不存在x∈R,使得x2<ln2D2.(2018·河南三市第二次联考)若命题“∃x∈R,使得sinxcosx>m”是真命题,则m的值可以是(

)A1.(2019·山东潍坊月考)已知集合M={x|x2-x-2=0},N={-1,0},则M∪N=(

)A.{-1,0,2} B.{-1}C.{0} D.∅2.(2019·广东惠州模拟)已知集合M={0,1,2,3},N={x|x2=1},则M∩N=(

)A.{1} B.{-1,1}C.{1,0} D.{-1,1,0}A【解析】

集合M={x|x2-x-2=0}={x|x=2或x=-1}={-1,2},N={-1,0},则M∪N={-1,0,2}.【解析】

N={x|x2=1}={-1,1},M∩N={1}.A是(

)A.{x|-3<x<-1} B.{x|-3<x<0}C.{x|-1≤x<0} D.{x|-1<x<0}C

【解析】

∵A∪B=A,∴B⊆A,∴m∈A,∴m=3或m=,解得m=0或3.B5.(2018·临沂质检)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0},若∁UB⊆A,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,1) B.(-∞,2]C.[1,+∞) D.[2,+∞)6.(2019·湖南长郡中学联考)若x>2m2-3是-1<x<4的必要不充分条件,则实数m的取值范围是(

)A.[-3,3] B.(-∞,-3]∪[3,+∞)C.(-∞,-1)∪[1,+∞) D.[-1,1]D【解析】

因为x2-3x+2>0,所以x>2或x<1.所以A={x|x>2或x<1},因为B={x|x≤a},所以∁UB={x|x>a}.因为∁∪B⊆A,借助数轴可知a≥2,故选D.【解析】

∵“x>2m2-3”是“-1<x<4”的必要不充分条件,∴(-1,4)⫋(2m2-3,+∞),因此2m2-3≤-1,解之得-1≤m≤1.D7.命题“对任意x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(

)A.a≥4 B.a>4

C.a≥1 D.a>18.(2018·福州质检)已知命题p:∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≥0,则

p是(

)A.∃x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0B.∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0C.∃x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0B【解析】

要使“对任意x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题,只需要a≥4,所以a>4是命题为真的充分不必要条件.C【解析】

已知全称命题p:∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)≥0,则

p:∃x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,故选C.为真的是(

)A.p∧(q) B.(p)∧qC.p∧q

D.(p)∨q10.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3},若C∩A=C,则a的取值范围是

.

A命题q:∀x∈(2,+∞),x2>2x,当x=4时,42=24,∴命题q为假.所以p∧(

q)为真,故选A.(-∞,-1]

【解析】

因为C∩A=C,所以C⊆A.

1.设全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k<2},且B∩(∁UA)≠∅,则(

)A.k<0 B.k<2