matlab08-7数值计算与matlab培训资料

2025/1/12电子信息工程学院1数值计算与MATLAB

电子信息工程学院2第四章求解非线性方程f(x)=0

在科学技术中，许多问题常归结为一元函数方程f(x)=0。方程按f(x)是多项式或超越函数分别称为代数方程或超越方程。如果在区间[a,b]内只有方程f(x)=0的一个根，则称区间[a,b]为隔根区间。描图法逐步搜索法电子信息工程学院34.1求解f(x)=0的MATLAB符号法solve(s1,s2,…,sn,'v1','v2',…,'vn')solve(s1,s2,…,sn,'v1,v2,…,vn')[z1,z2,…,zn]=solve(s1,s2,…,sn,'v1',…,'vn')电子信息工程学院54.2求方程f(x)=0数值解的基本方法：

二分法

迭代法

牛顿法

弦截法电子信息工程学院64.2.1求实根的二分法原理零点存在定理：设方程f(x)=0中的函数f(x)为实函数，且满足：①函数f(x)在[a,b]上单调、连续；②f(a)、f(b)异号则（a,b）内至少存在一点ζ，使得f(ζ)=0。电子信息工程学院7电子信息工程学院8电子信息工程学院94.2.2迭代法迭代法基本原理：把方程等价地变换成形式f(x)=x-g(x)=0x=g(x)若函数g(x)连续，则称上式为迭代函数。用它构造出迭代公式：

xk+1=g(xk),k=0,1,2,……从初始值x0出发，便可得出迭代序列

{xk}=x0,x1,x2,…,xk,…如果上述迭代序列收敛，且收敛于x*，则有：

(g(xk)-xk+1)=(g(x*)-x*)=f(x*)=0，可见x*便是方程的根。电子信息工程学院10电子信息工程学院11迭代公式收敛定理：方程x=g(x)在(a,b)内有根x*，如果（1）当x∈[a,b]时，g(x)∈[a,b]；（2）g(x)可导，且存在正数q<1，使得对于任意x∈[a,b]都有||≤q<1。则：(1)方程x=g(x)在(a,b)内有唯一的根x*；(2）迭代公式xk+1=g(xk)对(a,b)内任意初始近似根x0均收敛于x*；（3）近似根xk的误差估计公式为：|x*-xk|≤|x1-x0|

电子信息工程学院12电子信息工程学院134.2.3牛顿法（切线法）切线法原理：把函数f(x)在某一初始值x0点附近展开成泰勒级数，取其线性部分，近似地代替函数f(x)可得方程的近似式：f(x)≈f(x0)+(x-x0)f'(x0)=0设f′(x0)≠0，解该近似方程可得把函数f(x)在x1点附近展开成泰勒级数，取其线性部分替代函数f(x)。如此继续作下去，就可以得到牛顿迭代公式电子信息工程学院14电子信息工程学院15切线法的收敛性：牛顿迭代法局部收敛性定理（P.92）。牛顿迭代法是平方收敛的。电子信息工程学院16电子信息工程学院174.2.4弦截法（割线法）应用切线法的牛顿迭代公式时，每次都得计算导数f'(xk)，若将该导数用差商代替，就成为割线法（有时称快速弦截法）的迭代公式电子信息工程学院18电子信息工程学院19二分法简单方便，但收敛速度慢；迭代法虽然收敛速度稍微快点，但需要判断能否收敛；只要初值选取得当，切线法具有恒收敛且收敛速度快的优点，但需要求出函数的导数；弦截法不需要求导数，特别是我们介绍的快速弦截法，收敛速度很快，但是需要知道两个近似的初始根值才能作出弦，要求的初始条件较多。电子信息工程学院204.3方程f(x)=0数值解的MATLAB实现4.3.1代数方程的求根指令roots例4-4求方程x3=x2+1的解。解：键入roots([1-10-1])回车得出

ans=1.4656-0.2328+0.7926i-0.2328-0.7926i电子信息工程学院214.3.2求函数零点指令fzero例4-5求方程x2+4sin(x)=25的实数根（-2π<x<2π）。解：1）首先要确定方程实数根存在的大致范围。电子信息工程学院222）直接使用fzero指令求出方程在x2≈5的根。x2=fzero('x^2+4*sin(x)-25',5)回车得出

x2= 5.3186 也可以用内联函数作为输入参数，如键入f=inline('x^2+4*sin(x)-25');x1=fzero(f,-4),x2=fzero(f,5)回车得出

x1=-4.5861，x2=5.3186电子信息工程学院234.4求解非线性方程组数值解的迭代法对于非线性方程组（以二元方程组为例，其它可以类推）

的数值解求法，跟一元非线性方程的切线法（牛顿法）雷同，也是把非线性函数线性化，近似替代原方程得出数值解，所以也叫做牛顿迭代法。电子信息工程学院244.5求方程组数值解的指令

fsolve是用最小二乘法求解非线性方程组F(X)=0的指令，变量X可以是向量或矩阵,方程组可以由代数方程或者超越方程构成。它的使用格式为

fsolve('fun',X0,OPTIONS)

电子信息工程学院25解：首先将方程组变换成fj(x,y,z)=f(X)=0（j=1、2、3）的形式，设X为一个三维向量，令X(1)=x、X(2)=y、X(3)=z，则三维向量yy3=f(X)=fj(x,y,z)，然后编程计算。电子信息工程学院261）在编辑调试窗中键入：functionyy3=li4_8(X)yy3(1)=3*X(1)-cos(X(2)*X(3))-0.5;yy3(2)=2*X(1)^2-81*(X(2)+0.1)^2+sin(X(3))+1.06;yy3(3)=exp(-X(1)*X(2))+20*X(3)+10*pi/3-1;

以“li4_8”为名存盘，退出编辑调试窗，回到指令窗。2）在指令窗中键入