2023-2024学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）第十章 分式（知识归纳+题型突破）（解析版）

第十章分式（知识归纳+题型突破）掌握分式的概念、分式有意义，无意义，值为0的条件。理解并掌握分式的基本性质，能运用分式的基本性质进行恒等变换，进行化简、变形和约分。掌握分式方程的解法，能运用分式方程解决实际问题。一、分式的概念1、分式概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母．2、分式有意义：分母；分式无意义：分母；分式值为0：分子且分母．二、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．，，其中C是不等于0的整式．三、约分1、分式的约分：与分数的约分相类似，根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母都除以它们的公因式，叫做分式的约分．注意：当分式的分子、分母为多项式时，先将分式的分子、分母分解因式，然后找出它们的公因式，再约分．2、最简分式：如果一个分式的分子与分母只有公因式1，那么这样的分式叫做最简分式．四、通分1、通分：与分数的通分类似，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫做分式的通分．2、最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．注意：当分式的分母是多项式时，先将它们分解因式，再确定最简公分母．五、分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).题型一分式的定义【例1】在中，分式的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】题目主要考查分式的判断，形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.根据分式的定义即可判断．【详解】解：在中，是分式，共5个，故选：C．【例2】下列各式：，，，，其中分式有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式；判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式；【详解】解：是分式的只有：故选：B．【例3】在，，，中分式的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查的是分式的定义，形如：，且中含有字母，这样的代数式是分式，掌握“分式的定义”是解本题的关键．根据分式的定义逐一判断即可．【详解】解：，，，中分式有：，，共2个．故选：B．巩固训练1．下列代数式，，，，，，其中属于分式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查分式的识别，涉及分式定义，根据分式定义逐个判别即可得到答案，熟记分式的定义是解决问题的关键．【详解】解：由分式定义可知，，，，这三个代数式是分式，故选：C．2．式子，，，，，中，属于分式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．【详解】解∶分母中含有字母的是，，，∴分式有3个，故选：C．3．下列式子：，，，，，其中是分式的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】本题考查了分式的定义，“已知整式和，如果中分母含有字母，那么叫分式”，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义逐一判断即可．【详解】解：根据分式的定义得：，是分式，故选：A．题型二分式有意义、无意义、值为0【例4】下列分式中一定有意义的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式有意义的条件和一个数的平方一定是非负数等知识，根据分式有意义的条件逐一进行分析判断即可．【详解】解：A．因为，所以，分式一定有意义，故本选项正确；

B．，当时，分式无意义，故该选项不正确，不符合题意；

C．，当时，分式无意义，故该选项不正确，不符合题意；

D．，当时，分式无意义，故该选项不正确，不符合题意；

故选：A．【例5】当时，下列分式没有意义的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为零即为分式无意义的条件．【详解】解：当时，，∴当时，分式没有意义，故选：．【例6】若分式的值为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了分式值为0的条件，根据分子为0，分母不为0是分式值为0进行判断即可．【详解】解：∵分式的值为，∴且，解得，故选：A巩固训练4．若分式的值为0，则x的值为（

）A． B．0 C． D．3【答案】D【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子等于，且分母不等于．【详解】解：∵分式的值为0，∴，解得，故选D．5．若分式无意义，则满足的条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母等于零即可解答．【详解】解：若分式无意义，则，∴，∴当时，分式无意义．故选：C．6．若分式有意义，则x满足的条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为零求解即可．【详解】解：要使分式有意义，只须，即，故选：B题型三将分式的最高次项系数变为正数【例7】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可．【详解】解：．故选B．【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号．【例8】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分式的基本性质即可求解．【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得：，故选：C．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．巩固训练7．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数．【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==．故选D．【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号．8．若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝．【答案】【分析】根据分式的基本性质解答．【详解】原式＝．【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．9．不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正：(1)=,(2)=.【答案】,【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可.【详解】故答案为,.【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号.题型六分式的基本变形【例9】下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可．【详解】解：，故A选项错误；，故B选项错误；，故C选项正确；，故D选项错误．故选：C．【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键．【例10】下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是分式的基本性质，做题的根据是看是否符合分式的基本性质，特别要注意同乘或同除的数或整式是否为0．根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的值不变，即可得出答案．【详解】A、D是分子、分母同加或同减，不符合分式的基本性质，故选项A、D错误；B是分式的分子分母同乘以b，但b有可能为0，故选项B错误；C符合分式的基本性质，故选项C正确．故选：C．【例11】下列等式中，不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了约分，正确掌握分式的基本性质是解题关键．直接利用公式法以及提取公因式法将分子与分母分解因式，再利用分式的性质分别化简，进而判断即可．【详解】解：A.，等式不成立；B.，等式成立；C.，等式成立；D.，等式成立；故选A．巩固训练10．下列分式变形从左到右一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【详解】解：A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、当时，，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意；故选：D．11．下列分式与相等的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式的基本性质，正确利用分式的基本性质求出是解题关键．根据分式的性质，可化简变形．【详解】解：A.，故此选项符合题意；B.，故此选项不符合题意；

C.，故此选项不符合题意；

D.，故此选项不符合题意；故选：A．12．下列运算中，错误的是

（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的是分式的基本性质．利用分式的基本性质，逐一分析各选项，即可得到答案．【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意；B、，故本选项正确，不符合题意；C、，故本选项正确，不符合题意；D、，故本选项错误，符合题意；故选：D题型六利用分式的基本性质判断分式值的变化【例12】一个分数的分子扩大为原来的4倍，分母缩小为原来的，这个分数的值（

）A．扩大为原来的8倍 B．缩小为原来的C．不变 D．扩大为原来的2倍【答案】A【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键．分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，即可通过计算得到答案．【详解】设这个分数为，其中x，y均为正整数，当分数的分子扩大为原来的4倍，分母缩小为原来的时，这个分数为，即这个分数的值扩大为原来的8倍．故选A．【例13】如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（

）A．不变 B．扩大为原来的2倍C．扩大为原来的4倍 D．不能确定【答案】B【分析】本题考查分式的性质．将x，y都扩大为原来的2倍，再进行化简约分，即可得出结果．掌握分式的性质，是解题的关键．【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的2倍，则：，∴分式的值扩大为原来的2倍；故选B．【例14】把分式中的x和y都扩大10倍，分式的值（

）A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．不变 D．缩小10倍【答案】A【分析】本题主要考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，即可求解．【详解】解：，∴把分式中的x和y都扩大10倍，分式的值扩大10倍．故选：A巩固训练13．分式中x，y的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（

）A．不变 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的【答案】C【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质解决此题．根据分式的基本性质解决此题．【详解】解：分式中的和都扩大到原来的3倍，得到．∴分式的值扩大到原来的3倍．故选：C．14．如果把分式中的m，n都变为原来的2倍，那么分式的值（）A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍C．变为原来的 D．不变【答案】C【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质计算即可．【详解】解：，即分式的值变为原来的，故选：C．15．若在中的x和y都扩大到原来的2倍．那么分式的值（）A．缩小为原来的一半 B．不变C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍【答案】A【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键．根据分式的性质：分子分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，可得答案．【详解】解：把分中的x和y都扩大到原来的2倍，得出：，分式的值缩小为原来的，故选：A．题型六最简分式【例15】下列分式是最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；B、，是最简分式，故本选项符合题意；C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；D、，不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：B．【例16】下列分式中，最简分式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的约分等知识点，掌握最简分式的概念是解题的关键．根据“分子与分母没有非零次的公因式的分式叫最简分式”逐项判断即可．【详解】解：A.的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意；B.的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意；C.的分子分母没有有非零公因式，是最简分式，符合题意；D.的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意；故选：C．【例17】下列说法正确的是（

）A．分式是最简分式 B．根据分式的基本性质，可以变形为C．分式中的，都扩大为原来的3倍，分式的值不变 D．分式的值为零，则的值为【答案】A【分析】本题考查了分式的有意义的概念，最简分式的概念，分式的基本性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据分式的有意义的概念，最简分式的概念及分式的基本性质，即可判断答案．【详解】选项A，正确，符合题意；选项B，当时，x不能出现在分母上，B选项错误，不符合题意；选项C，当，都扩大为原来的3倍时，分式的值也扩大为原来的3倍，所以C选项错误，不符合题意；选项D，当分式的值为零时，，所以D选项错误，不符合题意；故选：A．巩固训练16．以下式子是最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了最简分式的定义和分式约分化简，即一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时，叫最简分式．根据分式约分的方法及最简分式的定义进行判断即可．【详解】A.，不是最简分式，故不符合题意；B.，不能再化简，是最简分式，符合题意；C.，不是最简分式，故不符合题意；D.，不是最简分式，故不符合题意；故选B．17．下列分式中最简分式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了最简分式的概念，根据最简分式的概念，可把各分式因式分解后，看分子分母有没有公因式.【详解】解：A.，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；

B.，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；

C.是最简分式，故该选项正确，符合题意；

D.，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．18．分式，，，中，最简分式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此判断即可．【详解】解：是最简分式，符合题意；，不是最简分式，不符合题意；是最简分式，符合题意；不是最简分式，不符合题意；故选：B．题型六最简公分母【例18】分式与的最简公分母是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了最简公分母的知识，求解所有分母的最大公因式是解题的关键．找系数的最大公因式，所有字母的最高次幂即可得最简公分母，进而可求解．【详解】解：分式与的最简公分母是．故选：D．【例19】分式与的最简公分母是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把第二个分式的分母分解因式，然后根据最简公分母的确定方法解答．本题考查了最简公分母的确定，解题的关键在于对分母正确分解因式．【详解】解：∵，∴与的最简公分母为，故D正确．故选：D．巩固训练19．分式与的最简公分母是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查最简公分母，解题的关键是：需要掌握最简公分母的定义．【详解】解：在分式与中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为：，故选：C．20．分式与的最简公分母是．【答案】/【分析】本题考查了最简公分母．根据找最简公分母的方法（系数找最小公倍数，相同次幂找最高次幂，对于只在一个分母中有的，连同它的指数也作为一个因式）找出最简公分母即可．【详解】解：分式与的最简公分母是．故答案为：．21．分式与的最简公分母为．【答案】【分析】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．按照公分母的定义进行解答．【详解】解：与的最简公分母为．故答案为：．题型六通分【例20】分式与通分后的结果是．【答案】，【分析】根据分式通分的方法求解即可．【详解】解：∵，，∴分式，分式．故答案为，．【点睛】此题考查了分式的通分，解题的关键是熟练掌握分式通分的方法．【例21】通分：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查通分，找到各分母的最简公倍数是解题的关键．（1）根据，，的最简公倍数为进行通分即可；（2）根据，，的最简公倍数为进行通分即可．【详解】（1）解：，，的最简公倍数为，；；；（2）解：，，的最简公倍数为，；；．【例22】通分：，．【答案】，【分析】本题考查了通分；把两个分母分别分解因式，找出最简公分母，再通分即可．【详解】解：最简公分母是，，．巩固训练22．通分：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)，，(2)，，【分析】本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂．（1）中最简公分母是，利用分式的性质变形即可；（2）中三个分式的分母分别为，，，把视为一个整体，确定最简公分母是．注意中的“”可放在分数线的前面．【详解】（1）解：∵最简公分母是，∴，，．（2）解：∵最简公分母是，∴，，．23．通分：(1)与；(2)与．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）最简公分母是，通分即可；（2）先把每个分母因式分解，最简公分母是，通分即可．【详解】（1）解：最简公分母是，，；（2）解：最简公分母是，，．【点睛】本题考查了分式的通分，解题关键是找准最简公分母．24．通分：(1)与；(2)，，；(3)，，；(4)，．【答案】(1)，(2)，，(3)，，(4)，【分析】（1）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；（2）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；（3）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；（4）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；【详解】（1）解：，．（2）解：，，．（3）解：，，．（4）解：，【点睛】本题主要考查了分式的通分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．题型六分式的加减运算【例23】计算：【答案】【分析】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法法则及因式分解是解题的关键．根据同分母分式的减法法则计算即可．【详解】解：原式【例24】计算：．【答案】【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，先把原式变形为，再利用平方差公式把分子分解因式，再分子与分母约分即可得到答案，【详解】解；【例25】计算的结果是（

）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．根据分式加减运算法则进行计算即可．【详解】解：．故选：C．【例26】已知，则的值为（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】B【分析】本题考查分式的加法运算，掌握通分的技巧和完全平方公式是解题关键．先已知等式通分去分母化简为，代入变形后的第二个分式中即可．【详解】解：∵，∴，得，∴．故选：B．巩固训练25．计算的正确结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式，故选：A．26．化简式子的结果为（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把分式同分，再加减即可．【详解】解：原式故选：B．27．计算：=．【答案】1【分析】此题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式运算法则是关键，根据同分母分式加减法法则计算，并把结果化成最简形式即可．【详解】解：，，故答案为：1．28．计算：．【答案】2【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．直接按同分母分式加减运算法则计算即可．【详解】解：．故答案为2．题型六分式的化简求值【例27】先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．【详解】解：，当时，原式．【例28】化简：【答案】【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的基本性质和运算法则即可求解．【详解】解：原式．【例29】先化简，再求值：，其中：【答案】，【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的乘除混合运算法则进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，把代入原式得：．巩固训练29．先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查了分式的化简求值，先把分式化简后，再把的值代入求出分式的值即可．【详解】解：原式．当时，原式．30．先化简，再求值，其中满足．【答案】，【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【详解】解：原式．满足当时，则原式31．先化简，后求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．先算小括号里面的，再算括号外面的，最后代入求值．【详解】解：原式．当时，原式．题型六分式方程的定义【例30】下列方程中是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了分式方程的定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用分式方程的定义分析得出答案．【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项错误；B、，是一元一次方程，故此选项错误；C、是一元二次方程，故此选项错误；D、，是分式方程，正确．故选：D．【例31】下列是关于x的分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【详解】解：A、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；B、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；C、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；D、分母中含未知数，是分式方程，符合题意；故选：D．巩固训练32．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是关于x的分式方程有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可．【详解】解：①分母中不含有未知数，是整式方程；②分母中含有未知数，故是分式方程；③不是等式，故不是方程；④分母中含有未知数，故是分式方程．⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程；⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程；综上所述：分式方程有②④，共2个，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．33．下列方程不是分式方程的是（

）A． B．C．D．【答案】C【分析】本题考查分式的定义，解答的关键是熟知分式的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．【详解】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程，不符合题意；B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程，不符合题意；C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程，符合题意；D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程，不符合题意；故选：C．题型六解分式方程【例32】解方程：．【答案】【分析】本题考查了解分式方程，先去分母然后解关于的一次方程，最后检验，即可求解．【详解】解：原方程去分母得：，解得：，检验：将代入，得，故原方程的解为．【例33】解方程：．【答案】【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．先通过去分母化成整式方程，然后检验即可解答即可．【详解】解：，去分母得:，去括号得:，移项得:，合并同类项，得．【例34】解分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解分式方程，关键是利用了转化的思想，把分式方程化为整式方程，解分式方程注意要检验．（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）整理得：去分母，得：去括号，得移项，合并同类项得将系数化为1，得检验：把代入，所以是原分式方程的解．（2）去分母，得：去括号，得移项，合并同类项得将系数化为1，得检验：把代入，所以是原分式方程的解．巩固训练34．解方程：．【答案】无解【分析】本题考查解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母，得．解得．检验：当时，．不是原分式方程的解，原分式方程无解．35．解分式方程：．【答案】无解【分析】本题考查的是解分式方程，解答此类方程时一定要进行验根．先去分母，把分式方程化为整式方程，求出的值，再把的值代入分式方程的分母进行检验即可．【详解】解：原方程可化为：，解得，把代入得，，故是原分式方程的增根，原方程无解．36．解分式方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)无解【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤，正确的计算，是解题的关键．（1）去分母，转化为整式方程，求解后，检验即可；（2）去分母，转化为整式方程，求解后，检验即可．【详解】（1）解：方程两边同乘，得．解得．检验：当时，．所以，原分式方程的解为；（2）方程两边同乘，得．解得．检验：当时，．所以，原分式方程无解．题型六分式方程增根问题【例35】已知关于x的分式方程有增根，则方程的增根为．【答案】【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．根据分式方程的增根的定义进行求解即可．【详解】解：∵分式方程有增根，∴，解得，故答案为：．【例36】若分式方程有增根，则．【答案】1【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数．先将分式方程转化为整式方程，根据增根是使整式方程成立，使分式方程无意义的方程的解，得到，把代入整式方程，求出的值即可．掌握增根的定义，是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵方程有增根，∴，∴，∴；故答案为：1．巩固训练37．如果关于x的方程有增根，则．【答案】/0.5【分析】此题考查了分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值代入整式方程求解即可．【详解】方程两边同时乘以得：即，∵原方程有增根，∴，解得：，将代入得：，故答案为：．38．解关于的方程有增根，则的值为．【答案】【分析】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．根据题意可得，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．【详解】解：，，，∵分式方程有增根，∴，∴，∴，故答案为：．题型六列分式方程【例37】某服装店用4.5万元购进某种品牌的服装，由于销售状况良好，服装店又调拨11万元资金购进该种服装，但这次的单价比第一次的单价贵20元，购进服装的数量比第一次的2倍还多50件，求该服装第一次的单价．为解决此问题，设该服装第一次的单价为元，根据题意列出方程，其中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设该服装第一次的单价为元，表示第二次的单价，再分别表示两次购买的数量，根据购进服装的数量比第一次的2倍还多50件列方程即可．【详解】解：该服装第一次的单价为元，则第二次的进价为元，由题意，得故选：B【例38】为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意、找到等量关系成为解题的关键．由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可．【详解】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为，∴汽车的速度为，根据题意得：．故选：B．【例39】九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【详解】解：规定时间为天，慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，又快马的速度是慢马的倍，可列出方程．故选：A．巩固训练39．甲、乙两地相距240千米，高铁开通运营后，在两地间行驶的平均车速提高了，时间比原来缩短了70分钟．设原来的平均车速为千米/小时，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据告诉公路开通前后长途客车平均车速间的关系，可得出新修的高速公路开通后的平均速度为千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合新修的高速公路开通后时间比原来缩短了70分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：∵高铁开通运营后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了，且原来的平均车速为x千米/小时，∴高铁开通运营后的平均速度为千米/小时．根据题意得：，即．故选：A．40．某校组织全体同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每分钟撤离的人数比第一次的多60，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了20分钟，若设第一次平均每分钟撤离人，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了列分式方程，设第一次平均每分钟撤离人，则第二次平均每分钟撤离人，根据“结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了20分钟”列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．【详解】解：设第一次平均每分钟撤离人，则第二次平均每分钟撤离人，由题意得：，故选：B．41．劳动课上，八（1）班同学分成两组练习包饺子，女生组包300个饺子与男生组包200个所用的时间相同，已知女生组每分钟比男生组多包30个，若设女生组每分钟包个，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式方程的应用，设女生组每分钟包个，则男生组每分钟包个，根据等量关系即可列出方程.【详解】解：设女生组每分钟包个，则男生组每分钟包个，由题意可得：故选：A．42．为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙每小时多骑行2千米，设甲每小时骑行x千米，根据题意列出的方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程的建模能力．题目已经设甲每小时骑行x千米，则乙每小时骑行千米，根据题意可得等量关系：甲匀速骑行30千米的时间=乙匀速骑行25千米的时间，再根据路程、速度、时间之间的关系和题目中的等量关系列出方程即可．【详解】解：设甲每小时骑行x千米，则乙每小时骑行千米，根据题意得：，故选：A．题型六用分式方程解决实际问题【例40】端午节是中华民族的传统佳节，人们素有吃粽子的习俗．某超市在节前准备购进、两种品牌的粽子进行销售，据了解，用元购买品牌粽子的数量比用元购买品牌粽子的数量多袋，且每袋品牌粽子的价格是每袋品牌粽子价格的倍，求每袋品牌粽子的价格．【答案】每袋品牌粽子的价格为元．【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设每袋品牌粽子的价格为元，则每袋品牌粽子的价格为元，利用数量总价单价，结合用元购买品牌粽子的数量比用元购买品牌粽子的数量多袋，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每袋品牌粽子的价格．【详解】解：设每袋品牌粽子的价格为元，则每袋品牌粽子的价格为元，依题意得：，解得：．经检验，是原方程的解，且符合题意．答：每袋品牌粽子的价格为元．【例41】我县教育体育局向全县中小学生推出“悦读悦写”的分享活动．甲、乙两学校的同学分别乘车从距离活动地点40千米和20千米的两地同时出发，参加分享活动．甲学校同学乘坐车的速度是乙学校同学乘坐车的速度的1.2倍，乙学校同学比甲学校同学提前20分钟到达活动地点，求两个学校同学乘坐车的速度分别是多少？【答案】甲学校同学乘坐车的速度为48千米/时，乙学校同学乘坐车的速度为40千米/时【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙学校同学乘坐车的速度为千米/时，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案．【详解】解：设乙学校同学乘坐车的速度为千米/时，则甲学校同学乘坐车的速度为千米/时，根据题意，得：，解得：经检验：是原方程的解，（千米/时）答：甲学校同学乘坐车的速度为48千米/时，乙学校同学乘坐车的速度为40千米/时．【例42】赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年赣南脐橙需求量猛增，某水果批发商用40000元购进一批赣南脐橙后，该水果批发商又用90000元购进第二批这种赣南脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元．(1)该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱多少元？(2)为运输两批水果从市到相距的市，批发商租用了甲、乙两种货车来运输两批赣南脐橙，其中甲货车运输第一批，乙货车运输第二批，已知甲、乙货车的速度比为，两车先后出发，当甲车到达市后乙车立即出发，两车共用4.5小时，求甲、乙两货车的速度．【答案】(1)80元(2)甲货车的速度为，乙货车的速度为．【分析】本题考查分式方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用：（1）设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元，找准等量关系，列分式方程，解方程即可；（2）设甲货车的速度为，乙货车的速度为，找准等量关系，列分式方程，解方程即可．【详解】（1）解：设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元，依题意得，解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意．答：该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱80元．（2）设甲货车的速度为，乙货车的速度为，根据题意得，解得经检验，是原分式方程的解，且符合题意．∴，∴甲货车的速度为，乙货车的速度为．【例43】某班级为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费300元，购买排球共花费450元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多10个，求跳绳的单价．【答案】跳绳的单价是15元【分析】本题主要考查分式方程的应用，设跳绳的单价为x元，则排球的单价为元，根据题中“购买跳绳的数量比购买排球的数量多10个”列方程即可解答，正确找到数量关系列出方程是解题的关键。【详解】解：设跳绳的单价为x元，则排球的单价为元，根据题意，得，解得，经检验是原分式方程的解，且符合题意．答：跳绳的单价是15元．巩固训练43．为赓续中华优秀文脉，促进文明交流互鉴，某社区准备聘请甲、乙两支施工队参与布置一条长为1200米的宣传长廊．已知甲队单独布置完成工程比乙队单独布置完成工程多用10天，乙队每天布置的数量是甲队每天布置的数量的1.5倍．(1)求甲、乙两支施工队每天分别布置完成多少米宣传长廊？(2)现将宣传长廊布置任务交给乙队并要求25天内完成．乙队布置若干天后因接到其它布置任务，经社区同意将余下布置任务全部交给甲队完成．求在转交给甲队之前乙队至少要布置多少天才能按时完成全部任务？【答案】(1)甲施工队每天分别布置40米宣传长廊，则乙两支施工队每天分别布置60米宣传长廊；(2)在转交给甲队之前乙队至少要布置10天，才能按照村委会要求按时完成【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．（1）设甲施工队每天分别布置x米宣传长廊，则乙两支施工队每天分别布置米宣传长廊，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲队单独布置完成工程比乙队单独布置完成工程多用10天，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲施工队每天修路的长度，再将其代入中，即可求出乙施工队每天修路的长度；（2）设在转交给甲队之前乙队施工y天，根据要求25天内完成修路任务，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【详解】（1）解：设甲施工队每天分别布置x米宣传长廊，则乙两支施工队每天分别布置米宣传长廊，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，∴．答：甲施工队每天分别布置40米宣传长廊，则乙两支施工队每天分别布置60米宣传长廊；（2）设在转交给甲队之前