2023-2024学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）第十二章 二次根式（知识归纳+题型突破）（解析版）

第十二章二次根式（知识归纳+题型突破）了解二次根式的概念，最简二次根式的概念理解二次根式的性质，了解二次根式的加减乘除法则，会进行简单的四则运算1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质①（）2=a（a≥0）；②=│a│=；③=·（a≥0，b≥0）；④（b≥0，a>0）．5．分母有理化及有理化因式：把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．题型一二次根式有意义的条件【例1】函数自变量的取值范围是（

）A． B． C． D．且【答案】A【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，分母不能为0；根据二次根式的被开方数是非负数，分母不能为0列出不等式即可解答．【详解】解：依题意可得：，解得：，故选：A．【例2】若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．根据二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，可得答案．【详解】解：∵；∴，；解得：；故选：C．【例3】函数中，自变量x的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】C【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．根据被开方数大于等于0和分式的分母不等于0的条件可得且，求解不等式组，即可得出答案．【详解】解：由题意得：且，解得：且，故选：C．巩固训练1．若代数式有意义，则x的取值范围．【答案】且【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．根据分式和二次根式有意义的条件得出不等式组，求解即可．【详解】解：由题意，得，解得：且．故答案为：且．2．试写出一个x值使得二次根式有意义：．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义，被开方式大于或等于0即可得到答案【详解】解：∵二次根式有意义，∴，解得：，故答案为：（答案不唯一）．3．函数的自变量x的取值范围是．【答案】/【分析】本题考查求函数的自变量的取值范围，分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数非负，分式的分母不为0．【详解】解：由题意可得，且，解得：，故答案为：．4．函数中，自变量x的取值范围是．【答案】【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．掌握被开方数为非负数，分式的分母不能为0是解题关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解答即可．【详解】解：∵，∴，且，∴且，∴x的取值范围为,故答案为：．题型二简单二次根式的求值【例4】当时，二次根式的值是．【答案】【分析】本题主要考查了化简二次根式，把代入二次根式中利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：当时，，故答案为：．【例5】当时，二次根式的值为．【答案】3【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：3．【例6】当时，二次根式的值是．【答案】【分析】将代入待求式子，根据根号具有括号的作用，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出被开方数即可．【详解】解：当时，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．巩固训练5．当时，二次根式的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可．【详解】解：当时，原式，故选：B．题型三求二次根式中的参数【例7】已知是整数，则自然数m的最小值是（）A．2 B．3 C．8 D．11【答案】B【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论．【详解】解：由题意得：，解得，又因为是整数，∴是完全平方数，当时，即，当时，即，当时，即，当时，即，综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，故答案选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．【例8】若是一个整数，则正整数m的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值．【详解】∵是一个整数,且m是正整数，,∴m的最小值为3，此时的值是整数3.故选C．【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．巩固训练6．若实数m满足，则m的取值范围是．【答案】/【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键．【详解】解：由题意可知：，解得：，故答案为：．7．计算：如果，那么；．【答案】5【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即．【详解】解：∵，，∴，∴，∴；∵，∴，∴；故答案为：5，．【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知是解题的关键．8．若是整数，则正整数的最小值是．【答案】4【分析】根据二次根式有意义的条件和m为正整数，得出，即可得出m的值．【详解】解：∵有意义，∴，解得：，∵m是正整数，∴，∴，∵是整数，∴，解得：，∴正整数的最小值是4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．题型四二次根式的性质化简【例9】下列选项中，化简正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式的性质、乘方等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质与化简以及乘方逐项判断即可．【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；B、，故此选项正确，符合题意；C、，故此选项错误，不符合题意；D、，故此选项错误，不符合题意．故选：B．【例10】计算：（）A． B． C．8 D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的性质，先得到，再进一步化简，即可作答．【详解】解：依题意，故选：C【例11】化简：的结果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意判断出a的符号，再把二次根式进行化简即可．【详解】∵有意义，∴，且∴∴．故选：B．巩固训练9．（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】本题考查了二次根式的化简，理解算术平方根的意义是关键．是4的算术平方根，据此即可求解．【详解】是4的算术平方根，则．故选：A．10．计算：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的相关知识．【详解】解：，故答案为：．11．已知那么．【答案】81【分析】先求出x值，再求平方即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：81．【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法．12．已知，化简：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．根据的取值范围得出，，根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．【详解】解：∵，∴，，∴，故答案为：．13．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：．【答案】a【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，绝对值的性质，二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可知，，再化简即可．【详解】解：由数轴可知，，∴，∴，故答案为：a．题型五最简二次根式的判断【例12】下列根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，即“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式”，由此即可求解，掌握最简二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；B、，不是最简二次根式，不符合题意；C、是最简二次格式，符合题意；D、是三次根式，不符合题意；故选：C．【例13】下列二次根式中，是最简二次根式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母，且不含能开方开的尽的因数或因式，进行判断即可．【详解】解：下列二次根式中，是最简二次根式的有，共2个；故选A．巩固训练14．下列式子中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数因数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可．【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；B、，不是最简二次根式，不符合题意；C、，不是最简二次根式，不符合题意；D、，不是最简二次根式，不符合题意；故选A。15．下列式子中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【详解】A．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，B．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，C．，被开方数中含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，D．，是最简二次根式，故该选项符合题意，故选：D．16．化为最简二次根式的结果为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的化简，解题关键是熟练运用二次根式性质进行化简，准确进行计算．【详解】，故选：B．17．下列式子是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A．是最简二次根式，故此选项符合题意；B．不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．故选：A．题型六最简二次根式化简【例14】下列各式化成最简二次根式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断是解此题的关键．【详解】解：A.，化简不正确；B.，化简不正确；C.，化简不正确；D.，化简正确；故选D．巩固训练18．计算：【答案】【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可．【详解】解：；故答案为：．19．化简：．【答案】【分析】本题考查的是化为最简二次根式，把被开方数的分子分母都乘以5，再化简即可．【详解】解：，故答案为：题型七二次根式乘法【例15】计算：【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的运算、平方差公式等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题的关键．根据平方差公式和二次根式运算法则求解即可．【详解】解：原式．【例16】计算：(1)(2)【答案】(1)3；(2)2.【分析】本题考查的是二次根式的乘除法及应用平方差公式进行二次根式计算，掌握二次根式的乘除法法则及平方差公式是解题的关键．（1）根据二次根式的乘除法法则计算即可．（2）根据平方差公式计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：巩固训练20．计算：．【答案】1【分析】本题考查二次根式的混合运算和平方差公式，根据平方差公式去括号，再根据二次根式的运算法则进行计算即可，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．【详解】解：，故答案为：1．21．计算的结果是．【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘法，利用二次根式乘法运算及二次根式性质求解即可得到答案，掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：，故答案为：．22．计算：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘法，先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可，解题关键是掌握二次根式的乘法法则．【详解】解：,故答案为：．23．计算：．【答案】2【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，熟知二次根式的乘法运算法则是正确解题的关键.根据二次根式的乘法公式：，进行计算即可．【详解】解：；故答案为：2．题型八二次根式除法【例17】．【答案】2【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算，即可求解．【详解】解：原式．故答案为：．【例18】计算：．【答案】【分析】本题考查二次根式的除法，利用二次根式的除法法则进行计算，是解题的关键．【详解】解：原式；故答案为：．巩固训练24．计算：÷=【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，被开方数先相除，然后化成最简二次根式就出结果．【详解】解：原式＝．故答案为：．25．计算：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法法则求解即可．【详解】解：，故答案为：．题型九二次根式乘除法混合【例19】计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键．（1）根据二次根式的除法法则可解决问题．（2）根据二次根式的除法法则可解决问题．【详解】（1）（2）【例20】计算：【答案】【分析】本题考查的是二次根式的乘除运算，先化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，即可求解．【详解】解：原式．【例21】计算：．【答案】【分析】本题考查了平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根等知识．熟练掌握平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根是解题的关键．利用平方差公式计算二次根式的乘法，根据二次根式的除法计算，求算术平方根，最后合并同类项即可．【详解】解：．巩固训练26．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键；（1）按照从左至右的顺序进行计算即可；（2）按照从左至右的顺序进行计算即可；【详解】（1）解：原式；（2）原式

．27．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查实数的混合运算和利用平方根解方程．掌握实数的混合运算法则和利用平方根解方程的方法是解题关键．（1）先简二根式再合并同类二次根即可；（2）先简二根式再合并同类二次根，再根据平方差公式求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：．题型十同类二次根式【例22】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么．【答案】5【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解．【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，，解得：，故答案为：5．【例23】若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是．【答案】8【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“利用同类二次根式的定义求解字母参数的值”是解本题的关键．由同类二次根式的定义可得，再解方程即可．【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：．故答案为：8．巩固训练28．下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，二次根式的性质；把选项中不是最简二次根式的化为最简二次根式即可判断．【详解】解：，，则与是同类二次根式，故选：C．29．下列各式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义即可解答．【详解】解：A．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意；B．与是同类二次根式，故本选项正确，符合题意；C．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意；D．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意．故选：B．30．下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先把各二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念解答即可．【详解】A、与被开方数不同，故不是同类二次根式；B、与被开方数相同，故是同类二次根式；C、与被开方数不同，故不是同类二次根式；D、与被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：B．题型十一二次根式的加减运算【例24】化简的结果是（

）A． B．3 C．3 D．【答案】D【分析】本题考查二次根式的运算，涉及到最简二次根式与同类二次根式的概念，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．先根据二次根式加减运算法则进行化简，然后再利用加减运算法则进行计算即可．【详解】解：＝＝．故选：D．【例25】若a，b为有理数，且，则．【答案】/【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，实数的性质．熟练掌握二次根式的化简，合并同类二次根式，实数的性质，是解题的关键．实数的性质：如果两个实数相等，那么这两个实数的有理数部分和无理数部分分别相等．先把等式的左边化简，合并同类二次根式，再利用实数的性质可得答案．【详解】∵，且，∴，∴，，∴．故答案为：．【例26】计算：．【答案】【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式．故答案为：．巩固训练31．计算：．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的加减、二次根式分母有理化．先分母有理化，再合并，即可求解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：．故答案为：32．计算：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【详解】解：原式33．计算：．【答案】【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，二次根式的化简用加减运算．先计算乘方，化简二次根式和绝对值，再计算加减即可．【详解】解：原式．题型十二比较二次根式大小【例27】比较大小：（填“”，“”或“”）【答案】【分析】本题考查了实数的大小比较，先把转化成，比较被开方数的大小即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：，∵，∴，即，故答案为：．【例28】比较大小：2；．【答案】＜＜【分析】本题考查了实数的大小比较，根据两个正无理数比较，被开方数大的仍然大，两个负无理数相比较，绝对值大的反而小，计算即可．【详解】∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：＜，＜．【例29】比较大小：．（用、或连接）【答案】【分析】本题考查二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案．【详解】解：，，且，，即，故答案为：．巩固训练34．比较大小：（填写“”，“”或“”）．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，把两个二次根式都平方，根据平方越大，对应的二次根式越大进行求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．35．比较大小：（填“>”或“<”或“=”）．【答案】【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键．【详解】解：∵，而，∴，故答案为：．36．比较大小（用，，号填写）．【答案】【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较与的平方即可得出结果．【详解】解：∵，，，∴．故答案为：．37．比较大小：．【答案】【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得．【详解】解：，∵，，即，故答案为：．题型十三分母有理化【例30】分母有理化：．【答案】【分析】本题考查了分母有理化，根据，分子和分母同时乘上，化简即可作答．【详解】解：依题意，故答案为：【例31】的有理化因式是．【答案】/【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答．【详解】解：∵，∴的有理化因式是，故答案为：．【例32】计算＝．【答案】【分析】利用分母有理化的方法化简即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查分母有理化和二次根式的乘除法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．巩固训练38．的有理化因式是．【答案】【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式和有理化因式的意义是解题的关键．利用平方差公式和有理化因式的意义解答即可．【详解】的有理化因式是．故答案为：．39．的有理化因式为．【答案】/【分析】本题考查了有