备战2024年高考数学大一轮数学(人教A版理)-第九章-§9-13-圆锥曲线中定点与定值问题

第九章平面解析几何§9.13圆锥曲线中定

点与定值问题例1

(12分)(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B

两点.(1)求E的方程；[切入点：待定系数法设椭圆方程、代点](2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足

.证明：直线HN过定点.[关键点：利用直线MN的斜率不存在找到定点]题型一定点问题求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).思维升华跟踪训练1

(2023·郑州质检)已知椭圆C：

＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点.(1)求椭圆C的方程；又a2－b2＝c2，则a＝2，(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M?由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝t(－2<t<2)，若直线l的斜率存在，不妨设直线l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0.易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)·4k2t＋(4＋k2t2)(1＋2k2)＝0，整理得k2(3t2－8t＋4)＝0，因为k不恒为0，题型二定值问题例2

(2022·蚌埠模拟)已知双曲线C：

＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线.(1)求双曲线C的标准方程；∵虚轴长为4，∴2b＝4，即b＝2，∵直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线，(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：

为定值.由题意知，A(－1,0)，B(1,0)，由题可知，直线l的斜率不能为零，故可设直线l的方程为x＝ny＋2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.思维升华跟踪训练2

(2022·郑州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的

.(1)求曲线C的方程；(2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方程联立得

消去y整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0，Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立，课时精练1.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)与圆O：x2＋y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为

F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.(1)求抛物线C的方程；1234基础保分练(2)过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上.12341234设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，得x2－4kx－4＝0，所以x1x2＝－4，所以点P在y＝－1上，结论得证.1234(2)设Q(1,0)，直线x＝t(t∈R)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，证明：直线AD过定点M.12341234显然直线BQ的斜率不为零，设直线BQ：x＝my＋1，B(x1，y1)，D(x2，y2)，A(x1，－y1)，依题意得m2－3≠0，且Δ＝4m2＋8(m2－3)>0，即m2>2且m2≠3，1234令y＝0，1234所以直线AD过定点M(3,0).1234综合提升练1234所以曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(不含左右顶点).(2)过点D(2,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝3的垂线，垂足为G，过点O作OM⊥QG，垂足为M.证明：存在定点N，使得|MN|为定值.12341234由(1)知直线l与x轴不重合，可设l：x＝my＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，Δ＝24m2＋24>0，1234则直线QG的方程为y－y1＝2y1(x－3)，1234因为OM⊥QG，所以△OHM为直角三角形，12344.(2022·杭州质检)如图，已知椭圆C1：

＝1，A(－2,0)，B(2,0)，P为椭圆C2上的动点且在第一象限，直线PA，PB分别交椭圆C1于E，F两点，连接EF交x轴于Q点，过B点作BH交椭圆C1，C2于G，H点，且BH∥PA.(1)证明：kBF·kBG为定值；拓展冲刺练12341234(2)证明：直线GF过定点，并求出该定点；1234当直线GF的斜率存在时，设GF的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，则Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，1234约去k2并化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2不符合题意，舍去)，此时直线GF