经济数学课件：边际成本和收益的计算

边际成本和收益的计算名言恩格斯在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。故事有一个人，他的名字叫杰米扬，他特别会做汤，所以他也以此为荣，每当客人到他家做客的时候，杰米扬必然要给客人做汤。这一天，他的一个朋友来他家做客，他给朋友调制了一盆味道非常好的汤。朋友很快就喝完了盛上来的第一碗汤。还没等朋友说话呢，杰米扬马上大声说，真是美味的汤，再来一碗，说着立刻为朋友盛上了第二碗汤，朋友和杰米扬一边聊天一边喝汤，一会这碗汤也被喝了下去。杰米扬马上为朋友盛来了第三碗汤，朋友说喝不下去了，杰米扬却说，我的汤很好喝，喝吧！朋友勉强又喝下了这第三碗汤。杰米扬没等朋友说话呢，就说再喝一碗吧，多么好喝的汤啊！结果朋友连饭也没吃，酒也没喝，被杰米扬的汤吓得落荒而逃……目录边际成本问题及解决方案1.微软数学使用初步率2.边际分析典型案例3.进一步学习的数学知识：导数4.第一节边际成本问题及解决方案一、问题引入从杭州开往南京的长途车即将出发。无论哪个公司的车，票价均为50元。一个匆匆赶来的乘客见一家国营公司的车上尚有空位，要求以30元上车，被拒绝了。他又找到一家也有空位的私人公司的车，售票员二话没说，收了30元允许他上车了。哪家公司的行为更理性呢？第一节边际成本问题及解决方案二、典型问题解决方案成本函数(costfunction)：是指生产一定数量的产品所需要的全部经济资源投入（包括劳动力、原材料、设备等）的价格或费用的总额。它由固定成本和可变成本组成。一般情况下，成本用表示，产品产量用表示，则成本是产量的函数，用表示。第一节边际成本问题及解决方案案例1：我们以成本函数为例，考查产量

（1）在处的变化率；（2）在处的变化率。第一步：求：

第一节边际成本问题及解决方案第二步：求平均变化率第三步：求极限，当无限趋近0时，函数的值无限趋近

，即第一节边际成本问题及解决方案所以，成本函数在处的变化率为同理，成本函数在处的变化率为定义1：设函数在点的某个邻域内有定义，且存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记作，，或并称函数在点处可导。第一节边际成本问题及解决方案定义2：设函数在区间内的每一点都可导，则称函数在区间内可导。这时对于区间内的每一个值，都有惟一确定的导数值与之对应，这样就构成了一个新的函数，称为函数对的导函数，记作，，或即在不至于引起混淆的情况下,导函数也简称为导数。第一节边际成本问题及解决方案

概念2：边际函数(marginalfunction)

设函数在处存在导数，则称导数为函数的边际函数。称在处的值为边际函数值。用边际函数来分析经济量的变化，就称为边际分析。

概念3：边际成本(marginalcost)

设生产某种产品的总成本函数为，当总成本函数可导时，其导数叫做产量为时的边际成本。第一节边际成本问题及解决方案边际成本

的经济意义为：在产量为时再生产一个单位产品，总成本的“近似”改变量为。第二节微软数学使用初步一、微软数学软件简介微软数学(MicrosoftMathematics)是一款适合于学生和教师的计算软件，从微软官方网站可以免费下载该软件。它的强大功能主要体现在7个方面：①强大的多种解方程、不等式或方程组的功能；②常用数学与科学公式和方程库；③向导式解答及提供相关计算；④直观形象的图形计算器；⑤三角形计算器；⑥单位转换器；⑦手写输入。第二节微软数学使用初步图3-1MicrosoftMath的主界面第二节微软数学使用初步二、利用微软数学求导数案例1：求的导数第一步：在主界面左侧的计算器键盘中依次点击【微积分】→

【】第二步：在右侧工作表输入窗口的括号“()”中输入函数

图3-2输入函数第二节微软数学使用初步第三步：单击工作表右下角的【输入】，显示求导结果为图3-3输出结果第二节微软数学使用初步三、利用微软数学进行二维绘图案例2：作一次函数的图像。第一步：单击主界面的【绘图】按钮。第二步：在展开的【方程和函数】下拉菜单中选择“二维”

及“笛卡尔坐标”。

第三步：单击第一个输入框。第二节微软数学使用初步第四步：输入框以放大的形式出现，在这个放大的输入框内输入函数表达式单击【输入】图3-4输入函数第二节微软数学使用初步第五步：单击【图形】按钮，出现如图3-5所示的函数图像。图3-5一次函数图像第二节微软数学使用初步案例3：作二次函数的图像图3-6二次函数图像第二节微软数学使用初步四、综合应用案例案例4：生产某产品件时的总成本函数为（百元），求产量为100件时的边际成本。解求函数的导数第一步：在工作表中输入图3-7输入函数第二节微软数学使用初步第二步：点击【输入】按钮得(百元／件)，所以，产量为100件时的边际成本为(百元/件)(元／件)

由边际成本可知，生产第101件产品所花费的成本为800元，这与实际成本804元已很接近。第二节微软数学使用初步案例5：求成本函数为的边际成本函数，以及产量分别为50、100、200时的边际成本，并指出它们的经济意义。解第一步：在工作表中输入图3-9输入函数第二节微软数学使用初步第二步：点击【输入】按钮得，即于是，产量为50、100、200时的边际成本分别为第二节微软数学使用初步它们的经济意义是:在产量分别为50、100、200时的基础上再生产一个单位产品，总成本的增加分别为17.5、10、40。第二节微软数学使用初步边际成本函数是二次函数，图形为开口向上的抛物线注意：微软数学二维绘图的方程必须包含变量或，因此边际成本函数输入时变成。第三节边际分析典型案例一、问题引入有一个房地产老板投资5000万元去建一栋30层的房子，预期投资回报率为25%，但建到第29层的时候就没钱了，于是他就到民间放贷人那里去借500万元，月息为5%（如果折算成年息就是60%，这样的利率绝不是危言耸听，而是现实存在的），这样的利率看起来很高，但实际上是没有关系的。为什么投资回报率只有25%的房地产投资项目可以承担起年息60%的高利贷呢？有了边际分析法，算算边际收益，你就会理解投资者即使投资回报率很低的项目有时也可以承担起高利息的。第三节边际分析典型案例二、典型案例概念1：边际收益(marginalbenefit)：设销售某种产品个单位时的总收益函数为。当总收益函数可导时，其导数叫做销量为时的边际收益。边际收益

的经济意义为：当销量为个单位产品时，再销售一个单位产品，总收益的增量为。第三节边际分析典型案例案例1：销售某商品台的收益函数为（元），试求：（1）边际收益函数；（2）销量为200台时的边际收益。解（1）边际收益函数为（元／台）（2）销量为200台时的边际收益为（元／台）第三节边际分析典型案例案例2：设某产品的收益函数为（元），试求：（1）边际收益函数；（2）产量分别为9000、10000、11000台时的边际收益，并说明其经济意义。解（1）边际收益函数为（元／台）（2）（元）（元）（元）第三节边际分析典型案例经济意义为：当产量为9000个单位时，若再增加一个单位产品，收益增加20元；当产量为10000个单位时，若再增加一个单位产品，收益没有增加；当产量为11000个单位时，若再增加一个单位产品，收益减少20元。第三节边际分析典型案例概念2：边际利润(marginalprofit)：设销售某种商品个单位时的利润函数为。当可导时，称为销售量为时的边际利润。因于是可得即边际利润等于边际收入与边际成本之差。边际利润

的经济意义为：当销量为个单位产品时，再销售一个单位产品，总利润的增量为。案例3：某工厂生产一种产品，每天的总利润（元）与产量（吨）之间的关系为：求时的边际利润，并解释所得结果的经济意义。解边际利润函数为当，（元）。它表示在每天生产10吨的基础上，再多生产1吨，总利润将增加150元。当，（元）。它表示在每天生产25吨的基础上，再多生产1吨，总利润没有变化，这一吨产量并没有产生利润。第三节边际分析典型案例当，（元）。它表示在每天生产30吨的基础上，再多生产1吨，总利润就要减少50元。第三节边际分析典型案例从上例可以看出，生产决策者不能只盲目地追求产量，还需根据利润的变化情况，确定适当的产量指标。第四节进一步学习的数学知识：导数一、导数概念定义1：设函数在点的某个邻域内有定义，且存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记作，，或并称函数在点处可导。第四节进一步学习的数学知识：导数定义2：设函数在区间内的每一点都可导，则称函数在区间内可导。这时对于区间内的每一个值，都有惟一确定的导数值与之对应，这样就构成了一个新的函数，称为函数对的导函数，记作，，或即在不至于引起混淆的情况下,导函数也简称为导数。第四节进一步学习的数学知识：导数求函数的导数,可分为三步:（1）求出对应于自变量增量的函数增量：（2）算比值：（3）求极限：第四节进一步学习的数学知识：导数例1：求常数函数的导数（为常数）解（1）求增量：（2）算比值：（3）取极限：第四节进一步学习的数学知识：导数例2：求函数的导数及在点处的导数.解（1）求增量：（2）算比值：（3）取极限：即从而得第四节进一步学习的数学知识：导数如：一般地,对于幂函数（为实常数）;;类似地，可得下列导数公式：第四节进一步学习的数学知识：导数定理1设函数在点处可导,则函数、

、在点处也可导,且二、导数的四则运算法则

推论1当（常数）,则第四节进一步学习的数学知识：导数推论2例1设，求解例2设，求解第四节进一步学习的数学知识：导数例3设，求解例4设，求解

第四节进一步学习的数学知识：导数即类似可得例5解设，求即类似可得第四节进一步学习的数学知识：导数例6解设，求

第四节进一步学习的数学知识：导数定理2如果函数在点处可导,而