函数满分通关20讲学生版

目录第1讲 函数的定义域 3考点一 求给定解析式的函数的定义域 3考点二 求抽象函数的定义域 4考点三 已知函数定义域求参数 5第2讲 函数的解析式与分段函数 6考点一 求函数的解析式 7考点二 分段函数求值 8考点三 求参数或自变量的值或范围 9第3讲 函数的单调性 10考点一 确定函数的单调性或单调区间 12考点二 比较函数值或自变量的大小 13考点三 解函数不等式 13考点四 求参数的取值范围 14第4讲 函数的最值(值域) 15考点一 单调性法 15考点二 图象法 16考点三 换元法 17考点四 基本不等式法 18第5讲 函数的奇偶性 19考点一 判断函数的奇偶性 20考点二 已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值 21考点三 已知函数的奇偶性，求函数的值 22考点四 已知函数的奇偶性，求函数的解析式 22考点五 与奇函数相关的函数的求值 23第6讲 函数的周期性 24考点一 已知函数的周期性(显性的)，求函数值 24考点二 已知函数的周期性(隐性1)，求函数值 25考点三 已知函数的周期性(隐性2)，求函数值 26第7讲 函数奇偶性与周期性的综合问题 27考点一 已知函数的奇偶性与周期性，求函数值 27考点二 已知函数的奇偶性，周期性(隐性)，求函数值 28考点三 已知函数的奇偶性与周期性，函数的零点问题 29第8讲 函数奇偶性与单调性的综合问题 30考点一 奇偶性与单调性的判断 30考点二 比较函数值的大小 31考点三 解不等式(抽象函数) 32考点四 解不等式(具体函数) 34第9讲 函数的奇偶性、周期性与单调性的综合问题 35考点一 奇偶性、周期性与单调性的判断 35考点二 比较函数值的大小 36考点三 奇偶性(对称性)、周期性与单调性等的多项判断 37第10讲 幂函数 39考点一 幂函数的图象及其应用 40考点二 幂函数性质的综合应用 43第11讲 指数式、对数式的运算 45考点一 指数式的运算 45考点二 对数式的运算 47第12讲 指数函数 49考点一 指数函数的图象及应用 49考点二 指数函数的性质及应用 53第13讲 对数函数 55考点一 对数函数图象辨析 55考点二 对数函数图象的应用 58考点三 对数函数的性质及应用 59第14讲 函数的图象 62考点一 作函数的图象 66考点二 函数图象的识别 66第15讲 函数图象的应用 71考点一 利用函数图象研究函数的性质 71考点二 利用函数图象解决方程根的问题 72考点三 利用函数图象解不等式 73第16讲 函数的零点问题(1) 74考点一 函数零点所在区间的判定问题 75考点二 简单函数(方程)零点(解)的个数判断 77第17讲 函数的零点问题(2) 79考点一 复杂函数(方程)零点(解)的个数判断 79考点二 已知简单函数的零点情况求参数的取值范围 81第18讲函数的零点问题(3) 82考点一 已知y＝f(x)±b型函数零点的情况，求参数b的取值范围 82考点二 已知y＝f(x)±g(x，a)型函数零点的个数，求参数a的取值范围 83第19讲函数的零点问题(4) 84考点一 与零点相关的等式问题 84考点二 与零点相关的不等式问题 86第20讲 函数的零点问题(5) 88考点一 确定复合函数零点的个数或方程解的个数 88考点二 已知函数零点的个数，求参数的取值范围 89第1讲 函数的定义域1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3．复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．考点一 求给定解析式的函数的定义域【方法总结】常见函数定义域的类型【例题选讲】[例1](1)函数y＝ln(1－x)1的定义域是()＋x1A．[－1，0)∪(0，1) B．[－1，0)∪(0，1] C．(－1，0)∪(0，1] D．(－1，0)∪(0，1)－x2＋2x＋3(2)函数y＝的定义域为()lg(x＋1)A．(－1，3]B．(－1，0)∪(0，3]C．[－1，3]D．[－1，0)∪(0，3](3)y＝x－1－log2(4－x2)的定义域是()2xA．(－2，0)∪(1，2)B．(－2，0]∪(1，2)C．(－2，0)∪[1，2)D．[－2，0]∪[1，2](4)函数f(x)＝1的定义域为(2－2x＋)log3xA．{x|x<1}B．{x|0<x<1}C．{x|0<x≤1}D．{x|x>1}函数f(x)＝1－|x－1|(a>0且a≠1)的定义域为________．ax－1【对点训练】1．下列函数中，与函数y＝1的定义域相同的函数为()3xA．y＝1B．y＝lnxC．y＝xexD．y＝sinxxxsinx2．函数y＝log2(2x－4)＋1的定义域是()x－3A．(2，3)B．(2，＋∞)C．(3，＋∞)D．(2，3)∪(3，＋∞)13．函数f(x)＝2x－1＋的定义域为()x－2A．[0，2)B．(2，＋∞)C．[0，2)∪(2，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)4．函数f(x)＝10＋9x－x2的定义域为()lg(x－1)A．[1，10]B．[1，2)∪(2，10]C．(1，10]D．(1，2)∪(2，10]1＋15．函数y＝lnx＋1－x2的定义域为________．考点二 求抽象函数的定义域【方法总结】求抽象函数定义域的方法【例题选讲】[例2](1)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )A．(－1，1)B．－1，－1C．(－1，0)1，12D．2x(2)已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f2＋f(x－1)的定义域为()A．(－2，0)B．(－2，2)C．(0，2)D．－1，02(3)已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋)8－2x的定义域为(A．[0，1]B．[0，2]C．[1，2]D．[1，3]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．1，2，则y＝f(log2x)的定义域为________．(5)若函数y＝f(2x)的定义域为2【对点训练】6．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3，则函数f(3x－2)的定义域为( )A．1，5B．－1，5C．[－3，1]3337．设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为()A．(－9，＋∞)B．(－9，1)C．[－9，＋∞)

1，1D．3D．[－9，1)8．已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[0，1]，则函数f(2x＋1)的定义域是()log2(x＋1)A．[1，2]B．(－1，1]C．－1，0D．(－1，0)29．若函数f(x＋1)的定义域为[0，1]，则f(2x－2)的定义域为()A．[0，1]B．[log23，2]C．[1，log23]D．[1，2]考点三 已知函数定义域求参数【方法总结】解决已知定义域求参数问题的思路方法【例题选讲】[例3](1)若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为_________．(2)若函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是( )A．[0，4) B．(0，4) C．[4，＋∞) D．[0，4]若函数f(x)＝2x22axa1的定义域为R，则a的取值范围为________．mx－1(4)若函数y＝mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是()A．0，3B．0，3C．0，3D．0，34444【对点训练】10．函数y＝ln(x2－x－m)的定义域为R，则m的范围是________．11．若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．12．若函数y＝ ax＋1 的定义域为R，则实数a的取值范围是________．ax2＋2ax＋32讲函数的解析式与分段函数1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．3．函数的三种表示方法的优缺点优点缺点解析法简明扼要，规范准确(1)有些函数关系很难或不能用解析式表示；(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反值之间的数量关系映函数变化的全貌形象直观，能清晰地呈现函数作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定图象法的增减变化、点的对称关系、的函数值往往有误差最大(小)值等性质4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．5．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 求函数的解析式【方法总结】函数解析式的常见求法(1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换．(2)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．(3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．1(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如fx(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．【例题选讲】1xx2＋11[例1](1)已知f()＝＋，则f(x)＝__________；xx2x(2)已知f(21)＝lgx，则f(x)＝__________；x(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)＝f(x)＋x＋3，则f(x)＝__________；(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)＝__________；1若函数f(x)满足方程af(x)＋fx＝ax，x∈R，且x≠0，a为常数，a≠±1，且a≠0，则f(x)＝________．【对点训练】1．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________________．2．已知函数f(x－1)＝x，则函数f(x)的解析式为()x＋1A．f(x)＝x＋1B．f(x)＝xC．f(x)＝x－1D．f(x)＝1x＋2x＋1xx＋23．已知f(x1)＝x2＋1，则f(x)＝________________．xx24．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )A．g(x)＝2x2－3xB．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2xD．g(x)＝－3x2－2x5．定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝________________．16．已知f(x)满足2f(x)＋fx＝3x，则f(x)＝________．7．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝_____．考点二 分段函数求值【方法总结】求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值，直到求出具体值为止；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点；(4)求值时注意函数奇偶性、周期性的应用．【例题选讲】x＋1，x>2，[例2](1)已知函数f(x)＝x－2则f[f(1)]＝()x2＋2，x≤2，A．－1B．2C．4D．112(2)(全国Ⅱ)设函数f(x)＝1＋log2(2－x)，x<1，则f(－2)＋f(log212)＝()2x－1，x≥1，A．3B．6C．9D．12(3)已知f(x)＝log3x，x>0，(0<a<1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()ax＋b，x≤0A．－2B．2C．3D．－3(4)已知f(x)＝x－3，x≥9，则f(7)＝_______．f(f(x＋4))，x<9，1x，0＜x＜1，(5)(山东)设f(x)＝2(x－1)，x≥1，若f(a)＝f(a＋1)，则fa＝()A．2B．4C．6D．8【对点训练】8．设f(x)＝1－x，x≥0，则f(f(－2))＝()2x，x<0，A．－1B．1C．1D．34223sinπx，x≤0，29．已知函数f(x)＝f(x－1)＋1，x>0，则f3的值为()A．1B．－1C．1D．－122110．已知函数f(x)＝2x，x≥4，则f(1＋log25)的值为()f(x＋1)，x<4，A．11C．11B．21＋log5D．4220f(x－4)，x>2，11．已知函数f(x)＝ex，－2≤x≤2，则f(－2019)＝()f(－x)，x<－2，A．e2B．eC．1D．1e考点三求参数或自变量的值或范围【方法总结】已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f(x)＝2x，x≤0，则使f(x)＝2的x的集合是()|log2x|，x＞0，1，4B．{1，4}C．1，1D．1，1，4A．444(2)函数f(x)＝sinπx2，－1＜x＜0，满足f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值为()ex－1，x≥0A．1或－2B．－2C．1D．1或2222x＋1，x≤0，x－1(3)(全国Ⅲ)设函数f(x)＝2x，x>0，则满足f(x)＋f2>1的x的取值范围是________．(4)(全国Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是()1，x>0，A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1，0)D．(－∞，0)(5)设函数f(x)＝3x－1，x＜1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()2x，x≥1，A．2，1B．[0，1]C．2，＋∞D．[1，＋∞)33【对点训练】12．已知函数f(x)＝2x＋1，x≥0，且f(x0)＝3，则实数x0的值为________．3x2，x<0，13．已知函数f(x)＝log2x＋a，x>0，若f(a)＝3，则f(a－2)＝()4x－2－1，x≤0.A．－15B．3C．－63或3D．－15或316641614．已知函数f(x)＝x2＋x，x≥0，若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为()－3x，x<0.A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)log2(x＋1)，x≥1，15．已知函数f(x)＝1，x＜1，则满足f(2x＋1)＜f(3x－2)的实数x的取值范围是()A．(－∞，0]B．(3，＋∞)C．[1，3)D．(0，1)16．(全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()ln(x＋1)，x＞0.A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2，1]D．[－2，0]第3讲函数的单调性1．增函数、减函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任定义意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．2．常用结论结论1：增函数与减函数形式的等价变形y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔fx1－fx2>0；x1－x2y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔fx1－fx2<0．x1－x2结论2：单调性的运算性质(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与yfn(x)和ynf(x)具有相同的单调性．(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝f(1x)单调性相反．(5)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(6)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数．结论3：复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．简记：“同增异减”．结论4：奇函数与偶函数的单调性奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．结论5：对勾函数与飘带函数的单调性b(1)当a＞0，b＞0时，f(x)在(－∞，－ba]，[ba，＋∞)上是增函数，在[－ba，0)，(0，ba]上是减函数；(2)当a＜0，b＜0时，f(x)在(－∞，－ba]，[ba，＋∞)上是减函数，在[－ba，0)，(0，ba]上是增函数；飘带函数：f(x)＝ax＋bx(ab＜0)(1)当a＞0，b＜0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；(2)当a＜0，b＞0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；考点一 确定函数的单调性或单调区间【方法总结】确定函数的单调性或单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数确定函数的单调性或单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义确定函数的单调性或单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性确定函数的单调性或单调区间．【例题选讲】[例1](1)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()1A．y＝－xB．y＝x2－xC．y＝lnx－xD．y＝ex－x(2)x(0∞)x1≠x2(x1x)·[f(x)f(x)]<0”()下列函数中，满足，∈，＋且，1－21－2的是A．f(x)＝2B．f(x)＝|x－1|C．f(x)＝－xD．f(x)＝ln(x＋1)x(3)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是()A．3，＋∞B．1，3和[2，＋∞)C．(－∞，1]和3，2D．－∞，3和[2，＋∞)2222函数y＝x2＋x－6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．函数y＝log1(x2－3x＋2)的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．2【对点训练】11．给定函数①y＝x2，②y＝log1(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1．其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是()2A．①②B．②③C．③④D．①④2．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是()1A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－D．f(x)＝－|x|x＋13．若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”，则f(x)的解析式可以是( )A．f(x)＝(x－1)2B．f(x)＝exC．f(x)＝1D．f(x)＝ln(x＋1)x4．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()A．[1，2]B．[－1，0]C．[0，2]D．[2，＋∞)1，x>0，5．设函数f(x)＝0，x＝0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是( )－1，x<0，A．(－∞，0]B．[0，1)C．[1，＋∞)D．[－1，0]6．函数y＝(1)2x23x1的单调递增区间为()3A．(1，＋∞)B．－∞，31，＋∞D．3，＋∞44C．2)7．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为(A．(－∞，1]

B．[3，＋∞)

C．(－∞，－1]

D．[1，＋∞)8．(全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(

)A．(－∞，－2)

B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)

D．(4，＋∞)考点二 比较函数值或自变量的大小【方法总结】比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．【例题选讲】[例2](1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)1(2)(天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－flog2，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小5关系为()A．a<b<cB．b<a<cC．c<b<aD．c<a<b(3)已知函数f(x)＝log2x＋1，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则()1－xA．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0(4)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0．设a＝1ln，b＝(lnπ)2，c＝lnπ，则()πA．f(a)>f(b)>f(c)B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(c)>f(a)>f(b)D．f(c)>f(b)>f(a)(5)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥0【对点训练】9．已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，－1设a＝f2，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>bB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>c1π10．已知函数f(x)在R上单调递减，且a＝33.1，b＝3，c＝ln1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()3A．f(a)＞f(b)＞f(c)B．f(b)＞f(c)＞f(a)C．f(c)＞f(a)＞f(b)D．f(c)＞f(b)＞f(a)考点三 解函数不等式【方法总结】含“f”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．【例题选讲】1[例3](1)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f 3的x的取值范围是( )1，21，21，21，2A．33B．33C．23D．23已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A．(－1，2) B．(1，4) C．(－∞，－1)∪[4，＋∞) D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)(5)(全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－1，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()1＋x21，1B．－∞，1－1，1D．－∞，－11，＋∞A．33∪(1，＋∞)C．333∪3【对点训练】111．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f2＝0，则满足flog1x>0的x的集合为________．912．已知函数f(x)＝lnx＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．13．设函数f(x)＝2x，x<2，若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(B)x2，x≥2.A．(－∞，1]B．(－∞，2]C．[2，6]D．[2，＋∞)14．(全国Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是()1，x＞0，A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1，0)D．(－∞，0)15．已知f(x)＝x2－4x＋3，x≤0，不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围－x2－2x＋3，x>0，是________．考点四 求参数的取值范围【方法总结】求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．求参数时需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．【例题选讲】[例4](1)如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么a的取值范围是________．已知函数f(x)＝x－ax＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．(3)若函数f(x)＝a|b－x|＋2的单调递增区间是[0，＋∞)，则实数a，b的取值范围分别为__________．ax2－x－1，x≤1，(4)已知函数f(x)＝4是R上的单调函数，则实数a的取值范围是()logax－1，x>11，11，1C．0，11，1A．42B．422D．2已知函数f(x)＝log1(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．2【对点训练】16．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A．－1，＋∞B．－1，＋∞C．－1，0D．－1，04444x＋a－117．若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．x＋218．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝2m在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范围是(D)x＋1A．(－∞，0)∪(0，1]B．(－1，0)∪(0，1]C．(0，＋∞)D．(0，1]19．已知f(x)＝(2－a)x＋1，x<1，满足对任意x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)>0成立，那么a的取值范围是ax，x≥1，x1－x2________．－x2－ax－5，x≤1，20．已知函数f(x)＝a，x>1是R上的增函数，则实数a的取值范围是()xA．[－3，0)B．(－∞，－2]C．[－3，－2]D．(－∞，0)21．设函数f(x)＝－x2＋4x，x≤4，若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是log2x，x>4.()A．(－∞，1]B．[1，4]C．[4，＋∞)D．(－∞，1]∪[4，＋∞)22．已知f(x)＝x－xa(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．23．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1．(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．第4讲 函数的最值(值域)1．最大值与最小值的定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得(2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得

满足：f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．2．常用结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．考点一 单调性法【方法总结】利用函数的单调性求最值的方法如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性(增、减)即可快速求出函数的最值(值域)．(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．(5)在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于或，则要估计当x+或x时，函数值是向一个常数无限接近还是也趋近于或(即函数图象是否有水平渐近线)，同样若fx的定义域抠去了某点或有一侧取不到边界，如xa,b，则要确定当xa时，fx的值是接近与一个常数(即临界值)还是趋向或（即函数图象是否有竖直渐近线），这样可以使得值域更加准确．【例题选讲】[例1](1)已知函数f(x)＝x＋2，则函数f(x)在x∈[2，8]上的最大值为________．x1函数f(x)＝3x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )A．－1B．1C．6D．12a1，21，2(4)若函数f(x)＝－＋b(a>0)在2上的值域为2，则a＝________，b＝________．x(5)设函数f(x)＝2x在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则m2＝()Mx－2A．2B．3C．3D．83823【对点训练】1．函数f(x)＝2在[－6，－2]上的最大值是________；最小值是________．x－1x＋2－3，x≥1，2．已知函数f(x)＝x则f(x)的最小值是________．lg(x2＋1)，x<1，3．已知函数f(x)＝x＋x2．(1)写出函数f(x)的定义域和值域；(2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值．4．已知f(x)＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)．x(1)当a＝12时，用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．考点二 图象法【方法总结】即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．(1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．fx的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该fx函数的图像，从而利用图像求得函数的值域．图象法求函数最值的一般步骤【例题选讲】[例2](1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．(2)f(x)x2－x，0≤x≤2，f(x)________________2已知函数＝，x>2，函数的最大值为．最小值为．x－1对a，b∈R，记max{a，b}＝a，a≥b，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．b，a<b，定义mina,b,c为a,b,c中的最小值，设fxmin2x3,x21,53x，则fx的最大值是_____．fx,fxM(5)则称函数fMx为设函数yfx定义域为R，对给定正数M，定义函数fMxfxMM,2,2x0,M1，则yfMx的值域为()fx的“孪生函数”，若给定函数fxx02x1,A．2,1B．1,2C．,2D．,1【对点训练】5．函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值为________．最小值为________．1，x≥1，6．函数f(x)＝x的最大值为________．－x2＋2，x<17．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，b，a>b.g(x)}的最大值是________．8．若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是()3＋logax，x>2A．(1，2]B．(0，2]C．[2，＋∞)D．(1，22]考点三 换元法【方法总结】换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．(1)在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．(2)换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理(3)换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象．(4)换元也是将函数拆为两个函数复合的过程．在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种：①y＝af(x)，y＝logaf(x)，y＝sin[f(x)]：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定fx的范围，再求出函数的范围．②y＝f(ax)，y＝f(logax)，y＝f(sinx)：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为y＝f(t)的形式，然后求值域即可．当然要注意有些解析式中的项不是直接给出，而是可作转化：例如y＝4x－2x＋1－8可转化为y＝(2x)2－2·2x－8，从而可确定研究对象为t＝2x．【例题选讲】π 2π[例3](1)若x∈－6，3 ，则函数y＝4sin2x－12sinx－1的最大值为________，最小值为________．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________；函数y＝x－4－x2的值域为________．已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．【对点训练】||x|－1|9．若函数y＝ x2 在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝( )31911A．B．2C．D．164410．函数y＝2x＋1－2x的值域为__________．11．函数y＝x＋4＋9－x2的值域为__________．3，412．已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋1－2f(x)的值域为________．89考点四 基本不等式法【方法总结】基本不等式求最值的方法拼凑法：拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件．【例题选讲】[例4](1)若x>2，则y＝x－12＋x的最小值为________．函数f(x)＝x2＋4的值域为________．x已知x>－1，则y＝(x＋10)(x＋2)的最小值为________．x＋1(4)函数y＝2018－x＋x－2017的值域是()A．[0，2]B．[1，2]C．[1，2]D．[0，2]第5讲函数的奇偶性1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝关于y轴对称f(x)，那么函数f(x)是偶函数奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝关于原点对称－f(x)，那么函数f(x)是奇函数(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，那么f(0)＝0．结论2：如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．结论3：若函数y＝f(x＋b)是定义在R上的奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．结论4：若函数y＝f(x＋a)是定义在R上的偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．结论5：已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0．推论1：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c．推论2：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)max＋g(x)min＝2c．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇()奇＝偶，偶()偶＝偶，奇()偶＝奇．结论7：若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g(x)＝12[f(x)＋f(－x)]，h(x)＝12[f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x)．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y＝f[g(x)]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数；(2)函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数；(3)函数f(x)＝ax＋1(a>0且a≠1)是奇函数；ax－1(4)函数f(x)＝ax－a－x＝a2x＋1(a>0且a≠1)是奇函数；ax＋a－xa2x－1结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f(x)＝logam－x(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝logam＋x(a>0且a≠1)是奇函数；m＋x m－x(2)函数f(x)＝logaxx－＋mm(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝logaxx＋－mm(a>0且a≠1)是奇函数；(3)函数f(x)＝logamxmx－＋bb(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝logamxmx＋－bb(a>0且a≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝loga(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b对称．2推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)f(2a－x)＝f(x)f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)f(2a－x)＝－f(x)f(2a＋x)＝－f(－x)考点一 判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝tanx＋πB．y＝x2＋e|x|C．y＝xcosxD．y＝ln|x|－sinx4(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()1A．y＝x＋sin2xB．y＝x2－cosxC．y＝2x＋D．y＝x2＋sinx2xex－ex(3)设函数f(x)＝，则下列结论错误的是()2A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数)(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是(A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝gx·fx是偶函数D．h(x)＝fx是奇函数2－x2－gx(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－xC．f(x)＝exD．f(x)＝xsinx1＋x9x＋12．函数f(x)＝的图象()3xA．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()－1A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2xD．y＝lgx＋14．已知f(x)＝x，g(x)＝x，则下列结论正确的是()22x－1A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数5．设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是()A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数考点二 已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则logab＝()2xA．1B．－1C．－1D．124(3)若函数f(x)＝x－1，0<x≤2，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝－1，－2≤x≤0，(4)已知函数f(x)＝a－2(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为()ex＋1A．(－1，1)B．(－2，2)C．(－3，3)D．(－4，4)(5)(全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，则a＝________．【对点训练】7．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.18．若函数f(x)＝x3(2x－1＋a)为偶函数，则a的值为________．9．函数f(x)＝x＋1x＋a为奇函数，则a＝________．x310．已知奇函数f(x)＝2x＋a，x＞0，则实数a＝________．4－2－x，x＜0，11．已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝( )A．1B．－1C．1D．7712．若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数g(x)＝bx＋ax，x∈[－4，－1]的值域为________．考点三 已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)(全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝____．(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(1)＝________．log3(x＋1)，x≥0，(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝g(x)，x<0，，则g(－8)＝()A．－2B．－3C．2D．3【对点训练】13．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝()A．2B．4C．－2D．－414．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝lnx，则f(f(1))的值为________．e215．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)＝()A．－6B．6C．4D．－416．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝log3x＋1，x≥0，则g(f(－8))＝()gx，x＜0，A．－1B．－2C．1D．2考点四 已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．对于奇函数可在x以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)(全国Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝( )A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1(2)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________．(3)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )A．ex－e－xB．1(ex＋e－x)C．1(e－x－ex)D．1(ex－e－x)222【对点训练】17．已知f(x)是奇函数，且x∈(0，＋∞)时的解析式是f(x)＝－x2＋2x，若x∈(－∞，0)，则f(x)＝________．18．函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝( )A．－2x B．2－x C．－2－x D．2x19．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________．20．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________．考点五 与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)max＋g(x)min＝2c进行秒杀．【例题选讲】1[例5](1)已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg2)＋f(lg)等于()2A．－1B．0C．1D．2(2)(全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________．(3)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，设g(x)＝f(x)＋sinx＋x2，若g(10)＝2019，则g(－10)的值为()A．－2219B．－2019C．－1919D．－1819(4)已知函数f(x)＝asinx＋bln1－x＋t，若f(1)＋f(1)＝6，则实数t＝()221＋xA．－2B．－1C．1D．3(5)已知函数f(x)＝2|x|＋1＋x3＋2的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于()2|x|＋1A．0B．2C．4D．8【对点训练】121．已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________．x22．已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A．3B．0C．－1D．－223．对于函数f(x)＝asinx＋bx3＋cx＋1(a，b，c∈R)，选取a，b，c的一组值计算f(1)，f(－1)，所得出的正确结果可能是( )A．2和1 B．2和0 C．2和－1

D．2和－224．已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝( )A．－5B．－1C．3D．425．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．326．设函数f(x)＝(x＋1)2＋sinx的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．x2＋127．设函数f(x)＝(ex＋e－x)sinx＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝()A．0B．2C．4D．828．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N＝( )A．2019B．2020C．4040D．403829．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝()A．4B．2C．1D．0x＋π2tx2＋2tsin＋x430．若关于x的函数f(x)＝(t≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．2x2＋cosx第6讲 函数的周期性1．周期函数的定义对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的一个周期为2a；结论2：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为2a；结论3：若f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；结论4：若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a；结论5：若f(x＋a)＝f(1x)，则f(x)的一个周期为2a；结论6：若f(x＋a)＝－f(1x)，则f(x)的一个周期为2a；结论7：若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．结论8：若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．结论9：若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一 已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1](1)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝__________．221(2)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，f(x)＝4x－2，－2≤x≤0，则ff4＝x，0<x<1，________．x＋a，－1≤x<0，(江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝|25－x|，0≤x<1，其中a∈R．若f(5)＝f(9)，则f(5a)的值是________．22cosπx，0<x≤2，2(4)(江苏)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝|x＋1|，－2<x≤0，则f(f(15))2的值为________．(5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809【对点训练】1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．ax＋1，－1≤x<0，2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝bx＋2，0≤x≤1，其中a，b∈x＋113R．若f2＝f2，则a＋3b的值为________．－，，n个f3．已知函数f(x)＝21x0≤x≤1如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝f{f[f(x)]}，那么f2019(2)的x－1，1<x≤2，值为()A．0B．1C．2D．34．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝__________．5．(山东)已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当11x>1时，fx＋2＝fx－2．则f(6)＝()2A．－2B．－1C．0D．26．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝()A．0B．2C．3D．4考点二 已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝1，－1＜x≤0，则下列函数值为1的－1，0＜x≤1，是()A．f(2.5)B．f(f(2.5))C．f(f(1.5))D．f(2)(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2018)的值为( )A．2018B．－2018C．0D．4(3)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝1，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2022)＝__________．f(x)(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－1，则f(2020)＝________．3，且对任意的x都有f(x＋2)＝－f(x)(5)已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1．则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)f(x)的值为________．【对点训练】7．函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(5)的值为()2A．1B．1C．－1D．－124428．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝－f(x)．当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A．－2B．2C．－98D．989．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2019)＝()A．5B．1C．2D．－2210．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且f(2)＝4，则f(2014)＝()A．0B．－4C．－8D．－1611．已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝1，则f(2018)＝()3－f(x)A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋312．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－1，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f－11＝________．2f(x)考点三 已知函数的周期性(隐性2)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐