专题1共顶点模型-【压轴必刷】2024中考数学压轴大题之经典模型培优案含答案

【压轴必刷】2024中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题1共顶点模型

经典例题

X________________________________________Z

【例1】把两个等腰直角“BC和MOE按如图1所示的位置摆放，将境点A按逆时针方向旋转，如

图2,连接80,EC,设旋转角为”0。＜。＜360。).

图1图2

(1)当。石_LAC时，4力与的位置关系是,AE与BC的位置关系是.

(2)如图2,当点。在线段5E上时，求NBEC的度数；

(3)若AAbO的外心在边BD上，直接写出旋转角a的值.

【例2】已知RtZ\A3C中，AB=AC,"AC=90。,点O为直线8c上的一动点(点O不与点8、C重合),

以AQ为边作RtZXAOE,AD=AEf连接CE.

(1)发现问题：如图①，当点。在边BC上时，

①请写出3。和CE之间的数量关系,位置关系：

②线段CE、CD、BC之间的关系是；

(2)尝试探究：如图②，当点。在边的延长线上且其他条件不变时，(1)中CE、CD、之间存在的数

量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展延伸：如图③，当点。在边C8的延长线上且其他条件不变时，若BC=6,CE=1,则线段A。的长

为•

图3

【例3】有如下一道作业题：

如图1,四边形A8CO是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF,DF.

求证：ABCE法△OCK

(1)请你完成这道题的证明:

图1

(2)如图2,在正方形人BCO中，点N是边C加上一点，CM=CN,连接DM,连接产C.

①求证：ZBFC=45°.

②把广。绕点F逆时针旋转90。得到”P,连接CP(如图3).求讦：BF=CP+DF.

【例4】已知等边一45C,。为边BC中点，”为边AC上一点(不与A,C重合)，连接DW.

图1图2

(1)如图1,点E是边AC的中点，当M在线段4E上(不与A,E重合)时，将DM绕点。逆时针旋转120。得

到线段。尸，连接3户.

①依题意补全图1;

②此时与3尸的数量关系为：,/DBF=。.

(2)如图2,若DM=2MC,在边A8上有一点N,使得=直接用等式表示线段BN,ND,CD

之间的数量关系，并证明.

【例5】如图1,在RlZ\AC8中，ZACB=90°,AB=2BC,点M,产分别为边AB,4c的中点，点。在边

AC上，且CD=2AQ,点N为CO的中点，过点。作。七〃AB交8C于点E,点G为。石的中点.将4

OCE绕点C顺时针旋转，旋转角为明连接MG,FN.

(1)问题发现

FN

当a=0°时，二77=77；直线MG与直线尸N相交所成的较小夹角的度数为30°.

(2)类比探究

当0。VaV360°时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请

说明理由.

(3)拓展应用

若AB=4,直线MG和直线尸N交于点O,在旋转的过程中，当点。与点N重合时，请直接写出线段尸N

的长.

培优训练

1.ZkACB和都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,将△CDE绕点O旋转.

⑴如图1,当点8落在直线。E上时，若AC=26,CE=10夜，求破的长；

(2)如图2,直线3D、AE交于点F,再连接C尸，求证：近CF=EF+DF;

(3)如图3,AC=8,8=4,G为石。中点，连接AG,8G,以AG直角边构造等腰用,过H作_LAB

交A8于点/,连接G/，当”/最小时，直接写出G/的长度.

2.在■43。中，AB=ACt点O是直线6C上一点(不与8,C重合)，以AO为一边在A。的右侧作二4OE,

{JAD=AE,ZDAE=ZBAC,连接C£

(1)(请直接写出你的结论)如图1，当点。在线段8c上：

①如果N84C=90。，则N8CE=_。；

②如果N8AC=100。，则N5CE=_。；

(2)设NR4C=a,ABCE=p.

①如图2,当点。在线段BC上移动，则服尸之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点。在直线BC上移动，则。、夕之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论.

3.有公共顶点A的正方形4BCO与正方形AEG尸按如图1所示放置，点E,尸分别在边AB和AD上，DE,

M是B尸的中点

(观察猜想)

(1)线段OE与4M之间的数量关系是位置关系是；

(探究证明)

(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45。，点G恰好落在边AB上，如图2,线段。石与4M之间

的美系是否仍然成立？并说明理由.

(3)若正方形ABCO的边长为4,将其沿E尸翻折，点。的对应点G恰好落在8C边上，直接写出OG+。”

的最小值__________

4.(1)问题：如图1,在即ZkABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合).连接

AD,过点4作4E_L4O,并满足AE=4。，连接则线段8。和线段CE的数量关系是，位置关系

是;

⑵探索：如图2,当。点为8C边上一点〔不与点用C重合)，RQA8C与股h4。七均为等腰直角三角形，

NBAC=NOAE=90。，AB=AC,AD=AE.试探索线段B。、CD.OE之间满足的等量关系，并证明你的结

论；

(3)拓展：如图3,在四边形ABCD中，NABC=N4C8=NAOC=45。，若BD=3,8=1,则线段AD的

长为

5.己知：等腰A5c和等腰阳△?1£)£：中，AB=AC,AE=AD,N84C=NEAO=90°.

⑴如图1,延长DE交5c于点尸，若N5AE=68。，则NZWC的度数为；

(2)如图2,连接EC、BD,延长E4交8。于点M,若N4EC=90。，求证：点M为BD中点;

(3)如图3,连接EC、BD,点G是CE的中点，连接4G,交BD于点、H,4G=9,”G=5,直接写出AAEC

的面积.

6.如图，点A,M,B在同一直线上，以为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC和等边三角形48Z),

连接CM,DM,过点M作MN=OM,交BC边于点G,交08的延长线于点N.

(1)求证：/BCM=/BDM；

(2)求NCMN的度数：

(3)求证：AM=BN.

7.问题发现

(1)如图①，已知△A8C,以月氏AC为边向AABC外分别作等边和等边△ACE,连接CO,BE.试探

窕与3E的数量关系，并说明理由.

问题探究

(2)如图②，四边形AOCZ)中，ZAZ?C=45°,NCAD=90。,AC=AD,AB=2BC=60.求UO的长.

问题解决

(3)如图③，MBC中，AC=2,BC=3,NAC8是一个变化的角，以48为边向MBC外作等边AAB。，连

接CD试探究，随着NAC8的变化，8的长是否存在最大值，若存在求出8长的最大值及此时N4C8

的大小；若不存在，请说明理由.

8.在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角

形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”

兴趣小组进行了如下探究：

(1)如图1,两个等腰三角形二A6C和..乂小中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE,连接8力、CE,

如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似

大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△4)8全等的三角形是,此线4。和CE

的数量关系是.

⑵如图2,两个等腰百角三角形.ABC和中，AB=AC,AE=AD,NR4C=ND4E=90°,连接3。、

CE,两线交于点尸，请判断线段3。和CE的关系，并说明理由.

9.在学习全等三角形知识时,数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点

的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对

全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型这个数学兴趣小组进行了如下操作：

(I)如图1.在AABC和AAOE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=400(AB>AD)t连接80,CE,当点E

落在A8边上，且O,E,C三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△A80全等的三角形是,

ZBDC的度数为.

(2)如图2.在AABC和AAOE中，AB=AC,AD=AEfZBAC=ZDAE=90°f连接8D,CE,当点B,。，E在

同一条直线上时，请判断线段E)和CE的关系，并说明理由.

(3)如图3,已知△ABC,请画出图形：以AB,AC为边分别向AABC外作等边三角形ABD和等边三角形4CE(等

边三角形三条边相等，三个角都等于60。)，连接BE,CD,交于点P,请直接写出线段BE和CO的数量关

系及NBPD的度数.

10.如图1,在A4BC中，CA=CB,N4C8=90。.点。是AC中点，连接过点4作AE_L8D交8及

的延长线于点E,过点。作C凡LBD于点尸.

(I)求证：N£A/J=NCH。；

(2)求证：BF=2AE,

(3)如图2,将△5。尸沿5c翻折得到AACG,连接AG,请猜想并证明线段AG和A3的数量关系.

ABB

图1图2

11.如图，在四边形A8CO中，ZA=ZABC=90°,AB=BC=12cm,AD=10cm.点P从点A出发，以3cm/s

的速度沿AB向点2匀速运动设运动时间为"s).

(1)如图①，连接瓦)、CP,当3D_LCP时，求/的值；

(2)如图②，当点尸开始运动时，点Q同时从点C出发，以acm/s的速度沿C8向点8匀速运动，当尸、。两点

中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.当与尸全等时，求〃和，的值；

(3)如图③，当(2)中的点Q开始运动时，点〃同时从点。出发，以L5cm/s的速度沿D4向点A运动，连接CM,

Q

交。。于点E.连接AE当=时，SADE=SCDEf请求出此时。的值.

12.(1)如图1,已知ACAB和ACQE均为等边三角形，。在AC上，七在C8上，易得线段和BE的数量

关系是.

(2)将图1中的aCOE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F.

①判断线段A£＞和8E的数量关系，并证明你的结论；

②图2中NA尸B的度数是—.

(3)如图3,若ACAB和△COE均为等腰直角三角形，ZABC=ZDEC=90°,AB=BC,DE=EC,直线AD

和直线8E交于点尸，分别写出万的度数，线段4。、BE间的数量关系.

13.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,NA=30°,点。为A4中点，点P为直线BC上的动点(不与

点3、点C重合)，连接OC、OP,将线段OP绕点P逆时针旋转60°,得到线段P。，连接BQ.

(1)如图1,当点P在线段BC上时，请直接写出线段8Q与CP的数量关系.

(2)如图2,当点P在C8延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理

由；

(3)如图3,当点P在BC延长线上时，若NBPO=45°,AC=V6,请直接写出8。的长.

14.在RIZX48C中，N4CB=90°,NA=30°,点。是AB的中点，DEA.BC,垂足为点E,连接CO.

(1)如图1,求。E与BC的数量关系是凫J.

(2)如图2,若P是线段C8上一动点(点P不与点8、。重合)，连接。P,将线段OP绕点。逆时针旋转

60’,得到线段DF,NPO尸=60°,连接BF,请猜想OE、BF.BP三者之间的数量关系，并证明你的

结论；

(3)若点尸是线段C8延长线上一动点，按照(2)中的作法，请猜测BF,BP三者之间的数量关系，并

证明你的结论.

15.(1)观察理解：如图①，/XABC中，ZACB=90°,4C=BC,直线/过点。，点A,8在直线/同侧，

BDLLAEJJ,垂足分别为O,E,求证：XAEC9XCDB.

(2)理解应用：如图②，AE1AB,且4E=A8,BC1CD,且BC=C7),利用(1)中的结论，请按照图中所

标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积5=50；

(3)类比探究：如图③，中，ZACB=90°,4C=4,将斜边A8绕点4逆时针旋转90°至AS,

连接B'C,则SA"，C=8.

(4)拓展提升：如图④，等边△E3C中，EC=BC=3cm,点。在8c上，EOC=2cm,动点尸从点E沿

射线EC以\cmts速度运动，连结OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.若点尸恰好

落在射线所上，求点P运动的时间⑶(画出示意图)

A

16.已知等腰与等腰RtZXCOE,AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°.

(1)如图1,当点。在AC上，点E在8c延长线时，连接AE、8D,找出4E与08的关系，并说明理由：

(2)材料：材料：图2,当点。不在AC上，点E不在BC延长线上时，连接A。、BE,点M为4。中点，

连接MC,并延长MC交BE与N,我们可以证明MNLBE：辅助线和证明方法为：过点D作DG"AC

交CM的延长线于G,易证△AMCg/\OMG(A45),再证明△GOCg/\BCE(5AS),从而得到NCNE=90°,

MN上BE；

问题：把等腰RtZXOCE绕点C转至如图3位置，点M是线段A。的中点，问MN与8七的位置关系是否

发生改变？如果没有，请在图3画出辅助线，并说明理由.

17.某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究：在△ABC中，ZBAC

=90°,AB=ACt点D为直线BC上一动点(点。不与8,C重合)，以AD为腰作等腰直角三角形DAF,

使/OA/=90°,连接。尸.

(1)观察猜想

如图1,当点。在线段8C上时，

①CF与BC的位置关系为CRLXC:

@CF,DC,8C之间的数量关系为8C=QC+C-(直接写出结论):

(2)数学思考

如图2,当点O在线段C8的延长线上时，(1)中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若

不成立，请你写出正确结论再给予证明.

(3)拓展延伸

如图3,当点。在线段8C的延长线上时，将△。4尸沿线段。尸翻折，使点A与点E重合，连接CE,若

已知4CQ=8C,ACS请求出线段CE的长.

18.在ZiABC中，N8AC=90°,AB=AC,点。为直线上一动点(点。不与B,C重合)，以A。为边

在A。的右侧作正方形AQER连接CF.

(1)观察猜想

如图1,当点。在线段上时，

①BC与C户的位置关系为：BCLCF；

②BC,CD,CF之间的数量关系为：BC=CF+CD.(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考

如图2,当点。在线段C8的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立,

请你写出正确结论再给予证明，

(3)拓展延伸

如图3,当点D在线段3。的延长线上时，延长交。尸于点G,连接GE.若AB=2>TLCD=\,请

求出GE的长.

19.已知，在△ABC中，N84C=90°,A8=AC,点。为直线BC上一动点(点。不与8、C重合)，以AO

为边在AD的上边作正方形ADEF,连接CF.

(1)观察猜想：如图1,当点D在线段上时，①8C与C尸的位置关系为：8CJb；②8C、CD.

CF之间的数量关系为：CF=BC-CD.

(2)数学思考：如图2,当点。在线段C8的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线上写

出正确的结论.①BC与C尸的位置关系为：BCLCF；@BC.CD、C77之间的数量关系为：CF

=CD-BC.

⑶如图3,当点0在线段笈。的延长线上时，延长BA交CF于点.G.连接GC,若已知48=2或.CD=\BC,

请求出DG的长(写出求解过程).

20.已知，在△4BC中，N8AC=90°,NABC=45°,AB=4C,点O为直线BC上一动点(点。不与B,

。重合)，以40为边作正方形AOE尸，连接CE

(1)观察猜想

如图1,当点。在线段上时可以证明△48。g△ACF,贝IJ,

①BC与C户的位置关系为：BCLCF.

②BC,DC,CF之间的数量关系为：BC=DC+CF；

(2)类比探究

如图2,当点。在线段8C的延长线上时，其他条件不变，(1)中①，②结论是否仍然成立？若成立，请

给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明.

(3)拓展延伸

如图3,当点。在线段8C的反向延长线上时，且点A、尸分别在直线3C的两侧，其他条件不变.

①RC、DC.C•三条线段之间的数量关系为：.

②若正方形AOE尸的边长为2,对角线AE、。尸相交于点0,连结0C,则0C的长度为

21.如图，在RtZ\A8C中，NA=90°,AS=AC=4y/2.一动点尸从点8出发，沿方向以每秒1个单

位长度的速度匀速运动，到达点。即停止，在整个运动过程中，过点P作PQ_L8C与RtZXABC的直角

边相交于点。，延长尸。至点Q,使得PD=。。，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE.设

运动时间为，秒”>0)

(1)在整个运动过程中，判断PE与A3的位置关系是

(2)如图2,当点。在线段AB上时，连接AQ、AP,是否存在这样的匕，使得4P=PQ?若存在，求出对

应的f的值；若不存在，请说明理由；

(3)当1=4时，点。经过点A：当/=学时，点£在边48上.设△A4C与△2(处重叠部分的面积为S,

请求出在整个运动过程中S与，之间的函数关系式，以及写出相应的自变量/的取值范围，并求出当4V

W学时S的最大值.

22.【问题情境】

如图I,P是。。外的一点，直线尸0分别交。0于点A、B

小明认为线段勿是点尸到。0上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在。。上任意取一个不

同于点A的点C,连接。C、CP,则有0PV0C+PC,SPOP-0C<PC,由04=0C得OP-QAVPC,

即PA<PC,从而得出线段PA是点P到。。上各点的距离中最短的线段

小红认为在图1中，线段P3是点P到。。上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请

说明理由

如图3,在RlAABC中，NACB=90°,AC=BC=2,以8C为直径的半圆交A8于。，P是诙上的一

个动点，连接AP,则AP的最小值是—而一］_

【构造运用】

如图4,在边长为4的菱形A8CO中，NA=60°,M是A。边的中点，N是A8边上一动点，将

沿所在的直线翻折得到MN,连接A'C,请求出A'CK度的最小值

解：由折叠知A'M=AM,又M是AD的中点，可得MA=MA'=MD,做点A'在以A。为直径的圆

上，如图5,以点M为圆心，MA为半径画0M,过M作MH_LCD,垂足为H(请继续完成本题的后续解

题过程)

［深度运用］

如图6,△ABC、△EFG均是边长为4的等边三角形，点。是边BC、E尸的中点，直线AG、尸C相交于

点M,当△EFG绕点。旋转时，则线段长的最小值和最大值分别是，旧-?_和，依+?_.

23.如图，在中，NACB=90°,AC=Scm,BC=4cm.D、E分别为边AB、8C的中点，连接

DE.点。从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动,到点B停止.点P在线段4。上以遍c/n/s的速度运

动，在折线。E-E8上以lcm/s的速度运动.当点。与点A不重合时，过点P作PQJ_AC于点Q,以

PQ为边作正方形PQMM使点M在线段A0上.设点P的运动时间为心).

(1)当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为「2)cM用含t的代数式表示).

(2)当点N落在48边上时，求f的值.

(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S(cm2),求S与/的函数关系

式.

(4)连接CD,当点N与点。重合时，有一点”从点M出发，在线段MN二以2.5c〃曲的速度沿M-N-

M连续做往返运动，直至点尸与点E重合时，点H停止往返运动：当点P在线段EB上运动时，点”始

终在线段MN的中点处，直接写出在点P的整个运动过程中，点“落在线段8上时f的取值范围.

24.如图①，在等腰△ADC和中，AB=AC,AD=AE,且NDA£=120°.

(1)求证：△ABOgZXACE；

(2)把△AOE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD,点M、尸、N分别为OE、DC.8C的中点，

连接MMPN、PM,判断△尸MN的形状，并说明理由；

(3)在(2)中，把△/1£)£：绕点A在平面内自由旋转，若AO=4,AB=6,请分别求出△尸MN周长的最小值

图①图②

25.综合与实践：

如图1,已知△ABC,AB=AC,点。、上分别在边AB、AC上，AD=AE,连接OC,点P、Q、M分别

为DE、BC、DC的中点.

(1)观察猜想

在图1中，线段PM与QM的数量关系是：

(2)探究证明

当NRAC=60°,把△AOE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，判断△PMQ的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸

当N6AC=90°,AB=AC=5fAD=AE=2f再连接BE,再取BE的中点N,把△4。七绕点A在平面内

自由旋转,如图3.

①请你判断四边形PMQN的形状，并说明理由:

②请直接写出四边形PMQN面积的最大值.

图1图3

26.【词题提出】如图1,AABC中，AB=AC,点。在AB上，过点。作OE/78C,交AC于E,连接CD,

F,G,"分别是线段CD,DE,BC的中点，则线段尸G,F〃的数量关系是FG=FH（直接写出结论）.

【类比探究】将图1中的AAOE绕点A旋转到如图2位置，上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；

若不成立，请说明理由.

【拓展延伸】如图3,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=5,5c=12,点E在8c上，且8七=闹，过

点E作项上LA-垂足为。，将犯绕点8顺时针旋转，连接AE,取4E的中点广，连接。立当AE

与AC垂直时，线段DF的长度为—V347106—（直接写出结

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专题1共顶点模型

经典例题

X________________________________________Z

【例1】把两个等腰直角“BC和MOE按如图1所示的位置摆放，将境点A按逆时针方向旋转，如

图2,连接80,EC,设旋转角为”0。＜。＜360。).

(1)当。石_LAC时，4力与的位置关系是,AE与BC的位置关系是.

(2)如图2,当点。在线段5E上时，求NBEC的度数；

(3)若AAbO的外心在边BD上，直接写出旋转角a的值.

【答案】(1)垂直,平行；(2)90。；(3)90。或270。

【分析】

(1)根据题意画出图形，利用三线合一性质可证明A。与3c垂直，再根据平行线的判定可证明AE与平

行；

⑵利用等腰三角形的性质证明"A。名△CAE,求出NADB=NAEC=135。，所以NBEC=NAEC-45。=90。；

(3)根据题意画出图形，由题意知，当△ABQ的外心在边BO上时，是以为斜边的直角三角形，所

以旋转角为90。或270°.

【详解】

解：⑴如图，设AC与OE交于点”，

在等腰直角A4BC和△4DE中,

ZBAC=ZDAE=90°,AD=AE,AB=AC,NB=NC=45。,

VDF1AC,

/."AH—zlEAH—ZDAE-450,

：.ZBAD=ZBAC-ZD4W=45°,

：.ZBAD=ZDAHf

：.ADLBCt

VZ£AH=ZC=45°,

：.AE//BCt

故答案为：垂直，平行；

(2)在等腰直角^AOE中，AD=AE,ND4E=90。,

在等腰直角△斗伙？中，AB=AC,NA4C=90。,

,:NBAD=ABAC-ZDAC=900-ZDAC,

ZCAE=ZDAE-ZDAC=90°-NO4C,

：.ZBAD=ZCAE,

又・・・AB=AC,AD=AEt

•••△BAO丝△C4E(SA5),

・•・ZADB=NAEC=180。-ZADE=135°,

NBEC=ZAEC-45°=135°-45°=90°：

(3)如图，

因为AABD的外心在边BD上时，AAB。是以BD为斜边的直角三角形,

所以旋转角为90。或270°.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是熟练掌握旋转

的性质，能够根据题意画出图形.

【例2】已知RtZXABC中，AB=AC,N84C=90。，点。为直线8c上的一动点(点O不与点6、。重合)，

以AO为边作Rt^AQE,AD=AE,连接CE.

(1)发现问题：如图①，当点。在边8C上时，

①请写出30和CE之间的数量关系,位置关系;

②线段CE、CD、5c之间的关系是；

(2)尝试探究：如图②，当点。在边8C的延长线上且其他条件不变时，(1)中CE、CD、8c之间存在的数

量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展延伸：如图③，当点。在边C8的延长线上且其他条件不变时，若BC=6,CE=\,则线段AO的长

为.

图3

【答案】(1)①BO=CE,BDA.CE.②BC=CE+CD.

(2)不成立，CE=BC+CD.

(3)5

【分析】

(1)①根据全等三角形的判定定理证明OgZiCA£根据全等三角形的性质证明；

②根据全等三角形的对应边相等证明即可；

(2)证明△84。丝△CAE,根据全等三角形的性质解答即可；

(3)根据△BAO@Z\CAE得到BD=CE=1,再证明AOCE是直角三角形，利用勾股定理求出。E,即可求出4。

的长度；

【详解】

(1)①解：结论：BD=CE,BD工CE,

理由：VZABC=ZACB=45°fZADE=ZAED=45°f

:.ZBAC=ZDAE=90°,

：,ZBAD=ZCAE,

在△朋。和ACAE中，

AB=AC

<ABAD=ZCAE,

AD=AE

,△BAD父△CAE,

:・BD=CE,NACE=NB=45°,

AZBCE=90°,即BZ)_LCE,

故答窠为：BD=CE；BD上CE；

②证明：・・・8O=C£

・•・BC=BD+CD=CE+CD；

故答案为：BC=CE+CD.

图②

图③

(2)解：(1)中3C、CE、CO之间存在的数量关系不成立，新的数量关系是CE=8C+C。,

理由：•：NBAC二NDAE=90。,

：.ZBAD=ZCAE,

在△胡。和ACAE中，

AB=AC

«NBAD=NCAE,

AD=AE

：./\BAD^/\CAE,

：,BD=CE,

：.CE=BC+CD；

(3)解：VZ5AC=ZDAE=90°,

：.ZBAD=ZCAE,

在△RA。和ACAE中，

AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

,△BAZ)也△CAE,

；・BD=CE=1,NABO=NACE=135。，

•・•N4C8=45。，

JZDCE=90°,

在R/AOCE中，CD=BD+BC=1,CE=1,

•*-DE=Ven2+CE2=^72+l2=5V2:

:.AD=5>/2x—=5;

2

故答案为：5.

【点睛】

本题考查三角形综合题，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关

键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

【例3】有如下一道作业题：

如图1,四边形48co是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CM,DF.

求证：ABCEmADCF.

(1)请你完成这道题的证明:

图1

(2)如图2,在正方形A8CO中，点N是边8上一点，CM=CN,连接OM,连接rC.

①求证：ZBFC=45°.

②把FC绕点尸逆时针旋转90。得到FP,连接CP(如图3).求证：BF=CP+DF.

【答案】⑴见解析；⑵①见解析；②见解析

【分析】

⑴由正方形的性质可知CB=CD,ZBCZ>90°,再根据题意推出NBCE=NZ)CE以及CE=CF,从而利用“SAP

证明全等即可；

(2)①根据题意可先证明△BCNgZ\OCM,从而推出NCBN二NCOM,然后作CG_LC尸交8尸于G点，再证明

ABCG/ADCF,即可得到ACFG为等腰直角三角形，从而得出结论；②作CQ_LC尸交8尸于。点，结合①

的结论，可得4Q=/",然后结合题意证明四边形。2尸产为平行四边形，即可得到CP=2”,从而证得结论.

【详解】

(I)、•四边形A8co为正方形,

:.CB=CD,ZBCD=90°,即：NBCE+NECD=90°,

•••△CE广为等腰直角三角形,

：.CE=CF,NECF=90°,即：NECD+NOC尸=90°,

・•・ZBCE=ZDCF,

在ABCE与AOC尸中,

CB=CD

<ZBCE=/DCF

CE=CF

：.丛BCEmADCF(SAS)；

(2)①由正方形性质可知，NBCN=/DCM=90。,

在A3CN和中，

BC=DC

,NBCN=NDCM

CN=CM

:•△BCNWADCM(SAS),

：.ZCBN=ZCDM,

如图，作CG_LC"交Z?"于。点，贝ijNGC"=90。,

:.NBCG=/DCF,

在"CG和△OC”中，

Z.CBG=Z.CDF

<BC=DC

NBCG=NDCF

：.△BCG0△Ob(4SA),

：.CG=CF,

•••△CFG为等腰直角三角形，

JZBFC=45°；

②如图所示，作CQ_LC/交B尸于。点，

由①可知，ABCQWADCF,

：.BQ=DF,

且由①证明可知，ACQ尸为等腰直角三角形,

•・•尸P由尸。绕尸点旋转90。得到，

.•.△CFP为等腰直角三角形，

:.NP=NCQF=45°,ZQFP=Z2CP=90°+45°=135°,

・•・四边形CQF尸为平行四边形，

：.CP=QF,

•：BF=QF+BQ,

：.BF=CP+DF.

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平四边形的判定与性质等，熟练掌握图形的基本性质,

掌握儿何证明中的常见模型是解题关键.

【例4】已知等边二A8C,。为边3C中点，”为边AC上一点（不与A,C重合），连接。M.

图1图2

⑴如图1,点E是边4c的中点，当M在线段AE上（不与A,E重合）时，将DM绕点。逆时针旋转120。得

到线段。尸，连接B尸.

①依题意补全图1：

②此时EM与3厂的数量关系为：,/DBF=°.

（2）如图2,若DM=2MC,在边4?上有一点N,使得ZMW=12（F.直接用等式表示线段BN,ND,CD之

间的数量关系，并证明.

【答案】(1)①见解析；②=6尸，120；(2)CD=6N+；ND,证明见解析

【分析】

(1)①根据提示画出图形即可；②连接OE证明AOWE丝△。尸鸟即可得到结论；

(3)取线段4C中点E，连接石。.由三角形中位线定理得CE=^CA,BD=CD=^BC.根据

.•.4?。是等边三角形可证明。石=8。=。。=。£：,ZCED=ZEDC=ZB=60°,再证明二△aW得

BN=EM,ND=MD=2MC,进一步可得结论.

【详解】

解：⑴①补全图形如图1.

②线段EM与即'的数量关系为£M=8F：ZDBF=120°.

连接DE,

•••。为8c.的中点，乜为AC的中点，

JOE为A48C的中脱线，

：.DE=^AB,DE//AB

•J-A8C是等边三角形，

AB=BC=AC,Z4=ZB=ZC=60°.

•・・D为8C的中点，

BD=-BC=DE

2

,/DE//AB

/.ZCDE=ZABC=60°,ZCED=ZA=60°

・•・ZBDE=120°=4BDM+4EDM

,/ZBDM+ZBDF=12()°,DM=DF,

4BDF=4EDM

MDMEWADFB

:・EM=BF；ZDBF=ZDEM.

•・•ZCW=60°

ZDEM=120°

AZ£)BF=120°.

故答案为：EM=BF；/DBF=120°.

(2)证明：取线段AC中点E,连接EO.如图2.

•••点。是边8c的中点，点E是边AC的中点，

ADE=-BACE=-CA,BD=CD=-BC.

22t2

・・・ABC是等边三角形，

/.AB=BC=AC,Zfi=ZC=60°.

:.DE=BD=CD=CE,NCED=NEDC=NB=600.

：.ZBDE=120°,

，:ZAOW=12(F,

:.ZEDM=NBDN.

:.AEDMwABDN.

:・BN=EM,ND=MD=2MC,

,:EC=EM+MC,

：.CD=BN+-ND,

2

A

图2

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形中位线定理，正确作出辅助线构

造全等三角形是解答此题的关键.

【例5】如图1,在RtZXACB中，NAC8=90°,AB=2BC,点、M,尸分别为边AB,AC的中点，点。在边

AC上，且CO=24O,点N为CO的中点，过点。作。后〃AB交BC于点E,点G为OE的中点.将^

OCE绕点C顺时针旋转，旋转角为a,连接MG,FN.

当a=°0时,嬴=一5—；直线"G与直线硒相交所成的较小夹角的度数为

（2）类比探究

当0°Va<360°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请

说明理由.

（3）拓展应用

若A8=4,直线MG和直线FN交于点O,在旋转的过程中，当点。与点加重合时，请直接写出线段印

的长.

【分析】（1）首先证明点C,点G,点M三点共线，由直角三角形的性质可求GM=CM-CG=*A8—，）E=

.BDE),直线MG与直线FN相父所成的较小夹角的度数为30°,由中点的定义可得尸N=R7・NC=

字(AB-函，即可求解；

(2)通过证明△CDAS/XCGM,可得GA/二冬。，由三角形中位线定理可得昨加)，可得结论，由相

似三角形的性质可得NAOC=NMGC,由三角形的内角和定理和外角的性质可得NfT7G=3O°；

(3)分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可得NGJ_C。，ZCDG=ZDCG=30°,利用直角三角形的性

质可求NG的长，由勾股定理可求MN的长，即可求解.

【解析】(l)：NAC8=90°,AB=2BC,

・・sin/G48=而=于

・・./CAB=30°,

・・・AC=V5sc,

YDE//AB,

・・・/C£>E=NC48=30°,

：.DE=2CE,CD=V3CE,

如图I,连接CG,CM,

01

•••RtZXOCE中，点G是。E中点,

：.CG=DG=GE=^1DE,

・・・/COE=NOCG=30°,

•••RlAACB中，点M是AB中点,

:・AM=BM=CM=却?，

・・・/C48=NACM=30°,

・•./ACM=NDCG,

・••点C,点G,点M三点共线，

:.GM=CM-CG=^AB-^DE=-DE),直线MG与直线FN相交所成的较小夹角的度数为30°,

•・•点F是AC的中点，点N是。。的中点，

・JC=；AC=孰用C7V=1C7>=5E,

:,FN=FC-NC=M-DE),

.FNW

GM2

故答案为：今，30°；

2

(2)仍然成立，

理由如下：如图，连接A。，CM,CG,延长MG交NF于H,设GM与DE交于点、I,

如图1,":CD=2AD,

：.CD=^AC,

,:DE〃AB,

CDDE2

•••—―~~,

ACAB3

：.DE=^AB,

•?CG=1OE,CM=

.CG2

••=二,

CM3

.CGCD2

**CM~AC~3

如图2,VZACM=ZDCG,

:,乙DCA=4DCM,

：・2CDAs4CGM,

CMGM

•t•9

ACAD

•.9=而

:,GM=RAD,

•・•点N是CO的中点，点尸是AC的中点,

,4漏=5

3

•：XCDAsACGM,

:.^ADC=NMGC,

VZADC+ZDAC+ZDC4=180°,Z.WGC+ZGCF+ZG/C=180°,

:.乙G1C=ZDAC+ZDCG=ZDAC+300,

•:NF"AD,

:•乙DAC=/NFC,

VZG/C=/CFN+4FHG,

：.ZDAC+300=NCFNMFHG,

/.ZF/7G=3O°；

(3)如图3,当点G在线段MN上时，连接40,CG,CM,

图3

■:CG=DG,DN=CN,

1NGLCD,NCOG=NOCG=30°,

：.BC=2,AC=2\[3,AM=CM=2,

7

^

・•・CI)=0=¥

・・・CN=孥,

VZDCG=30°,NG上CD,

:・NC=WNG,

:・NG=*2,

•:MN=>/CM2-CN2

…一2n2

若点N在线段GM上时,

A历,

・.・M。G=-2—F2

..FNy13

*GM~2'

：.FN=^-GM=yf2+~

综上所述：线段尸N的长为或一字或式+冬

培优训练

1.AACB和△，/)£：都是等腰直角三角形，ZACB=NDCE=900,将ACDE绕点D旋转.

⑴如图1,当点3落在直线OE上时，若AC=26,CE=T06,求鸵的长；

(2