中考数学考点考情分类专项复习重难点突破08 全等三角形8种模型一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、平行

重难点突破08全等三角形8种模型

（一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、

平行线中点模型与雨伞模型）

目录

题型01一线三等角模型（含一线三垂直模型）

题型02手拉手模型

题型03倍长中线模型

题型04平行线中点模型与雨伞模型

题型05截长补短模型

题型06婆罗摩笈多模型

题型07半角模型

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重难点题型突破N

题型01一线三等角模型（含一线三垂直模型）

【一线三垂直模型介绍】只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45。顶点作直线的

垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等.根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系.

已知（一线三垂直）图示结论（性质）

如图AB±BC,A

△ABD^ABCE,DE=AD+EC

AB=BC,CE_LDE,AD

±DE

T

EBL

如图AB1BC,A

△ABD^ABCE,DE=AD-EC

AB=BC,CE1DE,AD

±DE,A,

c

已知NAOC=NADB=

△ADB合ADEC

ZCED=90°,AB=DC

c

I)BE

延长DE交AC于点F,

AAABC^ADBE

已知NDBE二/ABC二

ZEFC=90°,AC=DE

上k

DErc

【一线三等角模型介绍】三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.

一线三等角类型:

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（同侧）已知NA=NCPD=NB=/c（,CP=PD

（异侧）已知NEAC二NABD=NDPC=Na,CP=PD

1.（2023・陕西西安•校联考模拟预测）小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探

究：在一个支架的横杆点。处用一根细绳悬挂一个小球4,小球A可以自由摆动，如图，。4表示小球静止

时的位置.当小明用发声物体靠近小球时，小球从。A摆到。8位置，此时过点B作8。104于点Z）,当小球

摆到OC位置时，。8与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE_L04于点E,测得

A

2.（2023・全国•九年级专题练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1,点A在直线DE上，旦=

△B4C=LAEC=90%像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角

”模型.

（1）用图2,RtZkA3。中，^ACB-900,CB-CA,直线经过点C,过A作A。±E。于点。，过B作BE±ED

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于点E.求证：△8EC三△CZM.

(2)如图3,在△48。中，。是8。上一点，Z,CAD=90°,AC=AD,

乙DBA=乙。AB,AB=2®求点C至边的距离.

(3)如图4,在回4BCD中，E为边BC上的一点，尸为边88上的一点.若

Z.DEF=乙B,AB=10,BE=6,求案的值.

3.(2U22•北京•校考一模)对于平面直角坐标系皿y中的图形M和点P,给出如下定义：将图形M绕点P顺时

针旋转90。得到图形N,图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”.例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图

形”.

讣

5-

4■

3-

2-

1-

5-4-3-2-10-1234Tx

-1-

-2-

-3-

-4_

-5-

图1备用图

⑴点A关于原点。的“垂直图形”为点8.

①若点4的坐标为(0,3),则点B的坐标为.

②若点B的坐标为(3,1),则点4的坐标为.

(2)£(-3,3),《(一2,3),GQ0),线段EF关于点G的“垂直图形”记为EH,点E的对应点为£,点尸的对应点

为V.

①求点£的坐标(用含Q的式子表示);

②若。0的半径为2,0〃上任意•点都在。。内部或圆匕直接写出满足条件的£7?'的长度的最大值.

4.(2021•浙江嘉兴•校考一模)阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两

个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型"如图①：在中，4CB=90。，AC=BC,分别过A、

B向经过点C直线作垂线，垂足分别为。、E,我们很容易发现结论：AAD8ACEB.

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(1)探究问题：如果4CM8C,其他条件不变，如图②，可得到结沦；△AQCS^CEB.请你说明理由.

(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线)，=%与直线CO交于点M(2,1),且两直线夹角为a,

且tana=1,请你求出直线CD的解析式.

(3)拓展应用：如图④，在矩形ABC。中，48=4,8c=5,点E为8c边上一个动点，连接AE,将线段4E

绕点正顺时针旋转90。，点A落在点尸处，当点P在矩形ABCQ外部时，连接PC,PD.若△QPC为直角

三角形时，请你探究并直接写出8E的长.

5.(2022下•安徽淮北•九年级校联考阶段练习)数学模型学习与应用.【学习】如图\^BAD=W,AB=AD,

凤？_14。于点。，DEE.由乙1+42=乙2+乙。=90°,得N1=N。；5L/.ACB=Z.AED=90°,

可以通过推理得到△ABC^ADAE.我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；

(I)【应用】如图2,点B,P,。都在直线/上，并且NABP=Z.APC=乙PDC=a.若BP=x,AB=2,BD=5,

用含x的式子表示CD的长；

(2)【拓展】在△48。中，点。，E分别是边3C,AC上的点，连接A。，DE,LB=LADE=zC,AB=5,

BC=6.若△CDE为直角三角形，求CO的长；

⑶如图3,在平面直角坐标系XQY中，点A的坐标为(2,4),点8为平面内任一点.aAOB是以OA为斜边

的等腰直角三角形，试直接写出点8的坐标.

6.(2021上•山东青岛•九年级统考期中)【模型引入】

我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅

速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题.

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【模型探究】

如图，正方形ABC。中，E是对角线8。上一点，连接AE,过点E作EF_LAE,交直线C8于点F.

（1）如图1,若点尸在线段8c上，写出E4与E/的数量关系并加以证明；

（2）如图2,若点尸在线段的延长线上，请直接写出线段BC,BE和8r的数量关系.

【模型应用】

（3）如图3,正方形44C3中，48=4,£为C。上一动点，连接AE交8。于F,过/作于/，过

〃作HG_L8O于G.则下列结论：®AF=FHx②NH4E=45。；③BD=2FG；④ACE〃的周长为8.正确

的结论有一个.

（4）如图4,点E是正方形A8CD对角线8。上一点，连接AE,过点E作£/U_AE,交线段BC于点F,

交线段AC于点M,连接AF交线段BD于点H.给出下列四个结论，®AE=EF；②&DE=CF：③5MEM

=SAMCF；®BE=DE+y[2BF；正确的结论有一个.

【模型变式】

（5）如图5,在平面直角坐标系中，四边形OBCO是正方形，且。（0,2）,点E是线段延长线上一点，

M是线段上一动点（不包括点0、B）,作MN_LOM,垂足为M,交NC8E的平分线与点N,求证：MD

=MN

（6）如图6,在上一间的条件下，连接QN交8c于点凡连接FM,则NFMN和NNMB之间有怎样的数

量关系？请给出证明.

【拓展延伸】

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（7）已知NMON=90。，点A是射线ON上的一个定点，点4是射线0M上的一个动点，且满足。8>04点

C在线段0A的延长线上，且AC=OB.如图7,在线段BO上截取BE,使3E=OA,连接CE.若NOBA+NOCE

=/,当点8在射线OM上运动时，口的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请

说明理由.

（8）如图8,正方形A8CQ中，A。=6,点E是对角线AC上一点，连接。E,过点E作EFJ_ED,交AB

于点F，连接DF,交AC于点G,将AEFG沿EF翻折，得到△EFM,连接ZW,交EF于点N,若点尸是

A8边的中点，则△EDM的面积是.

7.（2022上•吉林长春•七年级长春市第四十五中学校考期中）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模

型的研究学习，解决下列问题：

［模型呈现］如图1,^BAD=90°,AB=AD,过点B作BC1/1C于点C,过点。作QE14C于点£求证：

BC=AE.

［模型应用］如图2,4EJ.=AB,BC工CDnBC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所

围成的图形的面积为-

［深入探究］如图3,/-BAD=LCAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且3cl力广于点尸，DE与

直线8F交于点G.若8c=21,AF=12,则△AOG的面积为.

8.12020上•河南安阳•八年级统考期末）（1）如图①.已知：在△力8c中，乙BAC=90。,AB=AC,直线m经

过点A,直线m,CE1直线机，垂足分别为点。、E.则线段DE、BD与CE之间的数量关系是：

C

01图3

（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△4?。中，AB=AC,D,A,E三点都在直线机上，并且有=

^AEC=^BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；

若不成立，请说明理由.

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（3）拓展与应用：如图③，D,E是。，A,E三点所在直线〃?上的两动点（。，A,E三点互不重合），点

F为乙8AC平分线上的一点，且和△4CF均为等边三角形，连接80、CE.若乙80月=乙AEC=力C,

试判断ADEF的形状，并说明理由.

9.（2023上•湖南长沙•八年级统考阶段练习）如图，在平面宜角坐标系中，点8（。力）是第二象限内一点.

（1）若a、b满足等式3+3/+|b-2|=0,求点8的坐标：

（2）如图1,在（1）的条件下，动点C以每秒2个单位长度的速度从。点出发，沿x轴的负半轴方向运动，

同时动点A以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿），轴的正半轴方向运动，设运动的时间为，秒，当/

为何值时，△4BC是4B为斜边的等腰直角三角形；

⑶如图2,C、A分别是x轴负半轴和y轴上正半轴上一点，且A/IBC是以力B为斜边的等腰直角三角形，若

石是线段OC上一点，连接BE交/C于点D,连接71E,当4E=CE,^OAE=45°,①求证：8E平分立48。；②

设的长为m△/!£）口的面积为S.请用含〃的式子表示S.

10.（2022上•江苏南京•八年级校考阶段练习）己知，在△48C中，AB=AC,D,A,E三点都在直线机上，

且DE=9cm,Z.BDA=Z.AEC=Z.BAC.

DAE巾DAE巾D—AE加

图①图②图③

（1）如图①，若4B14C,则80与4E的数量关系为,CE与AO的数量关系为；

⑵如图②，判断并说明线段BO,CE与OE的数量关系；

（3）如图③，若只保持NBO4=44EC,BO=EF=7cm,点A在线段DE上以2cm/s的速度由点。向点E运

动，同时，点C在线段E尸上以xcm/s的速度由点E向点产运动，它们运动的时间为t（s）.是否存在x,使

得△ABO与△区4c全等？若存在，求出相应的/的值：若不存在,请说明理由.

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题型02手拉手模型

【模型介绍】两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个

经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”.

文字说明：1）点A为共用顶角顶点，看作头

2）线段AR、AC为等腰AABC的两腰.看作两条手臂

线段AM、AN为等腰AAMN的两腰，看作两条手臂

3）点B与点M看作左手，线段看作左手拉左手

点C与点N看作右手，线段CN看作右手拉右手

解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”;

②连接对应端点;

③SAS证明全等.

已知图示结论（性质）

如图，直线AB的同一侧作AABCM1)AABM^AACN2)BM=CN

和AAMN都为等边三角形（A、B、3)ZMEN=Z2=60°(拉手线的夹角等于顶角)

N三点共线），连接BM、CN,两4)AANFgAAMD5)AAPC^AADB6)

者相交于点E

连接DF,DF〃BN7)连接AE,AE平分N

I?•••

BAN

BEN8)存在3组四点共同

9)EN=EM+EA,EB=EC+EA,EA=ED+EF

如图，AABC和AAMN都为等边M1)AABM也AACN2)BM=CN

三角形（A、B、N三点不共线），3)ZM0N=60°(拉手线的夹角等于顶角)

连接BM、CN,两者相交于点0

4)连接AO,A0平分NBON

5)存在2组四点共圆

N6)ON=OM+OA,OB=OC+OA

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连接BD,CE,则BD与CE的数量关系为

(2)当△/JOE旋转至如图|2所示的位置时•，取BC,DE的中点M,N,连接MN,BD.试问：答的值是否随△力OE

的旋转而变化？若不变，请求出该值：若变化，请说明理由.

(3)M,N分别为8C,DE的中点，连接MN.若A8=3同，AD=6,当△力DE旋转至8,D,£三点在同一

条直线上时，请直接写出MN的值.

12.(2023下•江西抚州•九年级校考阶段练习)在AABGF,AB=AC,=a,点P是平面内不与点4

C重合的任意一•点,连接PC,将线段PC绕点P旋转a得到线段PD,连接4P、CD、BD.

图3

(1)当a=60。时,

①如图1,当点P在△ABC的边8c上时，线段PC绕点P顺时针旋转a得到线段PD,则4P与8。的数量关系是

②如图2,当点P在△ABC内部时，，线段PC绕点P顺时针旋转a得到线段PD,①中4P与8。的数量关系还成立

吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；

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(2)当a=90。时，

①如图3,线段PC绕点P顺时针旋转a得到线段PD.试判断”与8。的数量关系，并说明理由：

②若点A,C,P在一条直线上，且力C=3PC,线段PC绕点户逆时针旋转a得到线段。尸，求当的值.

••AP

13.(2023・河南洛阳・统考模拟预测)综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展

数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形

成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为、、手拉手''图形.

图1图2图3

⑴操作判断已知点。为^COE的公共顶点，将^CDE绕点C顺时针旋转a。<a<360°),连接6。，

AE,如图1,若△48C和4CDE均为等边三角形，请完成如下判断：

①线段BD与线段AE的数量关系是；

②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是：

(2)迁移探究如图2,若乙ABC=LEDC=90°,Z.BAC=乙DEC=30°,其他条件不变，则(1)中的结论是

否都成立？请说明理由；

(3)拓展应用：如图3,^LBAC=Z-DEC=90°,AB=AC,CE=DE,BC=2CD=4x^2,当点B,D,E三

点共线时，请直接写出3。的长.

14.(2023•河南郑州•郑州市第八中学校考二模)由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图

形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这

种模型称为“手拉手模型

(1)【问题发现】

如图1所示，两个等腰直角三角形△ABC^£^ADE^,AB=AC,AE=AD,Z.BAC=^DAE=90°,连接8。、

CE,两线交于点P,8。和CE的数量关系是:BD和CE的位置关系是

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(2)【类比探究】

如图2所示，点。是线段48上的动点，分别以4P、8P为边在力B的同侧作正方形4PCD与正方形P8",连

接DE分别交线段BC、PC于点M、N.

①求乙DMC的度数；

②连接4C交DE于点儿直接写出察的值：

⑶【拓展延伸】

如图3所示，已知点C为线段AE上一点，AE=6,ZMBC和为AE同侧的两个等边三角形，连接BE交

CDTN,连接力。交BCFM,连接MN,直接写出线段MN的最大值.

15.(2022・青海・统考中考真题)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底

角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

⑴问题发现：

如图1,若△48C和△4)E是顶角相等的等腰三角形，BC,分别是底边.求证：BD=CE；

图1

(2)解决问题：如图2,若a/lCB和aDCE均为等腰直角三角形，乙1CB==90。，点A,D,E在同一

条直线上，CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断NAE8的度数及线段CM,AE,BE之间的数量

关系并说明理由.

图2

16.(2019・山东济宁・统考三模)背景材料:

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在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形

构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手

模型.

例如：如图1,两个等腰直角三角形△ABC和△ADE,ZBAC=ZEAD=90°,AB=AC,AE=AD,如果

把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大

手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到△ABDgZXACE.

W44©

mi图2图3图4

学习小组继续探究：

（1）如图2,已知AABC,以AB,AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,请作出一个手

拉手图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并连接BE,CD,证明BE=CD；

（2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在AABC中AB>AC,DE〃BC,将三

角形ADE旋转一定的角度（如图3）,连接CE和BD,证明△ABDs/SACE.

学以致用：

（3）如图4,四边形ABCD中，ZCAB=90°,ZADC=ZACB=a,lana=-,CD=5,AD=I2.请在图

4

中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长.

17.（2023.黑龙江大庆•统考中考真题）如图，在△ABC中，将46绕点A顺时针旋转a至4B',能4。绕点A逆

时针旋转口至4c<0。<a<180°,0°<p<180°）,得到△AB'C',使cBAC+乙B'AU=180°,我们称△AB'C

是AABC的“旋补三角形”,△48C的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.下列结论正

确的有.

①乙AB'C'面积相同;

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®BC=2AD；

③若＜8=AC,连接88'和CC',则乙夕8c+乙CC旧=180°；

®^AB=AC,AB=4,BC=6,则8'C'=10.

18.(2022•江苏淮安・统考二模)在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两

个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置

变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型这个数学兴趣小组进行了如

下操作:

(1)如图1、两个等腰直角三角形/ABC和AAOE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=^DAE=90°,连接8Q,

CE,两线交于点P,和aABD全等的三角形是,8。和CE的数量关系是.

(2)如图2,点P是线段回上的动点，分别以人尸，BP为边在A8的同侧作正方形APCO与正方形尸跖尸，

连接OE分别交线段AC,PC于点M,M

①求ZQMC的度数；

②连接八C交。石于点从直接写出器的值.

bC

(3)如图3,已知点C为线段AE上一点，AE=8cm,△A3C和△CDS为AE同侧的两个等边三角形，连接8E

交CD于N,连接A。交8。于M,连接线段MN的最大值是.

19.(2020・吉林长春•统考一模)［问题提出］

(1)如图①，△48C、△ACE均为等边三角形，点。、E分别在边48、AC上.将△?!£)£l绕点A沿顺时针方向

旋转，连结80、CE.仕图②中证明△408三△AEC.

［学以致用］

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（2）在（1）的条件下，当点D、E.C在同一条直线上时，4ED8的大小为一度.

［拓展延伸］

（3）在（1）的条件下，连结CO.若8。=6,4。=4,直接写出^。庆?的面积5的取值范围.

20.（2022・山东烟台•统考中考真题）

图1图2图3

⑴【问题呈现】如图1,△ABC和△A3E都是等边三角形，连接3。，CE.求证：BD=CE.

（2）【类比探究】如图2,△A8C和△AOE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.连接BO,CE.请

直接写出差的值.

CC

（3）【拓展提升】如图3,△A8C和△AOE都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,且患=器=*连接8。，

CE.

①求尝的值;

Ch

②延长CE交8。于点凡交人8于点G.求sin/BFC的值.

21.（2020・广东深圳•统考中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放

（点E,A,。在同一条直线上），发现8E=OG且8£_LOG.小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形4EFG绕点4按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到吗？如果能，请给出证明.如

若不能，请说明理由：

（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形A8C。，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图

2）试问当N£AG与NBA。的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由；

（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形A4CQ,且装=枭=泉AE=4,A8=8,将矩形绕点A

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按顺时针方向旋转（如图3）,连接QE,6G.小组发现：在旋转过程中，/32+。£2是定值，请求出这个定

值.

22.（2022♦浙江湖州•统考中考真题）已知在公aA8C中，NAC8=90。,."分别表示的对边,a>b.记

△48C的面积为S.

（1）如图1，分别以AC,C8为边向形外作正方形ACOE和正方形8GFC.记正方形ACDE的面根为S1，正方

形BGPC的面积为$2.

①若&=9,S2=16,求S的值；

②延长£4交G8的延长线于点N.连结FN,交BC于点M,交AB于点H.若/77_LAB（如图2所示），求

证：52—Si=2S.

（2）如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形4CD和等边三角形CBE,记等边三角形ACT）的面积

为工，等边三角形CBE的面积为S?.以A8为边向上作等边三角形/W/Y点。在AAB厂内），连结E凡CF.若

EFLCF,试探索Sz-Si与S之间的等量关系，并说明理由.

・题型03倍长中线模型

【模型介绍】当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二

倍,从而构造一对全等三角形（SA5）,并将已知条件中的线段和角进行转移.

已知图示结论（性质）

已知点D为AABC中BC边中点，A

1）连接EC,贝IJAABD要AECD,AB〃CE

延长线段AD到点E使AD=DE

2）连接BE,则AAD3AEDB,AC〃BE

E

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24.（2020上•北京朝阳•八年级统考期末）阅读下面材料：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图，A。为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点、F,AE=EF.求证：AC=BF.

经过讨论，同学们得到以下两种思路:

思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得思路二如图②，添加辅助线后并利用4E=E尸可证

△ADC^^GDB,再利用可以进一步证得得NG=NBFG=NAFE=NFAE,再依据A4S可

NG=NFAE=NAFE=NBFG,从而证明结论.以进一步证得△AOC之△GDB,从而证明结论.

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(1)①思路一的辅助线的作法是：;

②思路二的辅助线的作法是：.

(2)请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法(要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不

需要写出证明过程).

25.(2020上•河北邢台♦八年级校考期中)某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入.

图1图2图3

【探究与发现】

(1)如图1,AO是△力8c的中线，延长A。至点E,使连接8E,证明：△4CD三AEBD.

【理解与应用】

(2)如图2,是ADEF的中线，若£尸=5,DE=3,设£P=x,则x的取值范围是.

(3)如图3,A。是△力8c的中线，E、尸分别在AB、AC上，LDELDF,求证：BE+CF>EF.

26.(202。江苏徐州•统考模拟预测)(1)阅读理解:

如图①，在中，若AB=8,4C=5,求8c边上的中线AD的取值范围.可以用如下方法：将△4CD绕着

点。逆时针旋转180。得到AEB。,在△力BE中，利用三角形三边的关系即可判断中线4D的取值范围是

(2)问题解决：

如图②，在△43。中，。是3c边上的中点，OEL9F于点Q,DE交AB于前E,DF交AC于点F,连接E凡求

证：BE+CF>EF；

(3)问题拓展:

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如图③，在四边形力BCO中，48+乙。=180。，CB=CD,Z5CD=100°,以C为顶点作一个50。的角，角的两

边分别交48、40于£尸两点，连接ER探索线段BE,OF,E尸之间的数量关系，并说明理由.

图①

27.（2016.贵州贵阳•中考真题）阅读

（1）阅读理解：

图③

如图①，在△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转

180。得到AEBD）,把AB,AC,2AD集中在AARE中，利用三角形三边的关系即可判断.

中线AD的取值范围是

（2）问题解决:

如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE_LDF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接

EF,求证：BE+CF>EF：

（3）问题拓展:

如图③，在四边形ABCD中，ZB+ZD=I8O°,CB=CD,ZBCD=I4O°,以C为顶点作一个70。角，角的两

边分别交AB,AD于E,F两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明.

28.（2020上.山西吕梁•八年级统考期中）阅读下列材料，完成相应任务.

数学活动课上，老师提出了如卜.问题:

如图1,已知2L4BC中,AO是BC边上的中线.

求证：AB+AO2AD.

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智慧小组的证法如下:

证明：如图2,延长4。至E,使OE=AO,

丁力。是8c边上的中线・・・8D=CD

(BD=CD

在Z80E和4C04中｛4BDE=Z.CDA

(DE=DA

：,LBDEACDA(依据一)：.BE=CA

在Z48E中，AB+BE>AE（依据二）

：,AB-\-AC>2AD.

任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：;

依据2：.

归纳总结：上述方法是通过延长中线A。，使。2=40,构造了一对全等二角形，将H3,AC,A。转化到一

个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之

间的关系.

任务二：如图3,AB=3,4c=4,贝必。的取值范围是；

D

图3

任务三：如图4,在图3的基础匕分别以AB和/1C为边作等腰直角三角形，在RSABE中，4B4?=90。,

AB=AE；RtA4c尸中，LCAF=90°,AC=AF.连接EE试探究E尸与4。的数量关系，并说明理由.

D

图4

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题型04平行线中点模型与雨伞模型

【平行线中点模型介绍】平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三

角形，并将已知条件中的线段和角进行转移。

已知图示结论（性质）

已知AB/7CD,点E,F分别

PEAPOEAQOF

在直线AB、CD上，点0为线A•一、-----7~*笈

.X

段EF的t点，延长PO交CD

于点Q

C^----------

FQ

如图AP平分NBAC,BD1AP,

AAABD2AACD,AB=AC,BD=CD

垂足为点D,延长BD交AC于

点C

/P\

P

29.（2021上•江苏苏州•八年级统考期中）如图，ZkABC中，AC=BC,NAC8=90。，AZ）平分NBAC交8c

于点。，过点B作BE_LA。，交4）延长线于点E,尸为4B的中点，连接CR交A。于点G,连接BG.

（1）线段8E与线段4。有何数量关系？并说明理由；

（2）判断△3EG的形状，并说明理由.

30.（2021上•江苏南京•八年级统考期中）如图，△中，A8=4C,ZBAC=90°,CO平分N4CB,BE_LC7）,

垂足E在C。的延长线上.求证：BE=^CD.

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D.

31.（2018下•四川成都・七年级统考期末）如图1,点4是直线MN上一点，点8是直线PQ上一点，且

MN//PQ.NM4B和N4BQ的平分线交于点C.

（1）求证：BC1AC；

（2）过点C作直线交MN于点。（不与点4重合），交PQ于点E,

①若点⑦在点4的右侧，如图2,求证：AD+BE=AB；

②若点。在点4的左侧，则线段A。、BE、力8有何数量关系？直接写出结论，不说理由.

图1图2

32.（2020・全国•九年级专题练习）如图，己知等腰直角三角形4BC中，4B=90。，8尸平分N/BC,

CD_LBO交的延长线于点。，试说明：BF=2CD.

题型05截长补短模型

模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，

可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指

将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。

图解：已知线段AB、CD、EF,简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法

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ABAGBAB

CDCDCDH

・■••••

EFEFEF

截长法补短法

截长法：在线段AB上，截取AG=CD,判断线段GB和线段EF长度是否相等

补短法：延长线段CD至点H,使DH=EF,判断线段AB和线段GH长度是否相等

33.(2020上•山东济南•八年级统考期末)【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加

方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短

边相等，从而解决问题.

数量关系.

解题思路：延长。。到点£,使CE=BD,连接4E,ZBAC+ZBDC=180°,可证NA8D=NACE易证

得AABDgaACE,得出△AO£是等边三角形，所以从而探寻线段D4、DB、0c之间的数量关

系.根据上述解题思路，请直接写出。A、DB、QC之间的数量关系是：

【拓展延伸】

(2)如图2,在RAABC中，ZBAC=90°,AB=AC.若点。是边BC下方一点，ZBDC=90°,探索线段。4、

DB、OC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图3,两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离

PQ的长为cm.

34.(2022上•湖北孝感•八年级统考期中)如图，在五边形力8CDE中MB=4E,S平分"CO,乙以。=-^BAE.

2

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B

E

(1)求证：CD=BC+DE；

(2)若48二75。，求NE的度数.

35.(2022上•湖北孝感•八年级统考期中)如图，在四边形4BCD中，4c与交于点0,4C平分BO平

分/CB4,^ADC+乙BCD=240°.

⑴求乙40B的度数；

(2)求证：0