2025年苏教版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年苏教版高一数学下册阶段测试试卷87考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若有以下说法：

①相等向量的模相等；

②若和都是单位向量，则=

③对于任意的和|+|≤||+||恒成立；

④若∥∥则∥．

其中正确的说法序号是（）

A.①③

B.①④

C.②③

D.③④

2、函数的零点所在的大致区间是（）A.B.C.D.3、【题文】若点和点到直线的距离依次为和则这样的直线有（）A.条B.条C.条D.条4、下列函数中，既是奇函数，又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A.y=x﹣1B.y=x2C.y=x3D.y=5、如图中阴影部分表示的集合是（）

A.B∩CUAB.A∩（CUB）C.CU（A∩B）D.CU（A∪B）6、要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（）A.40mB.20mC.305mD.（20-40）m7、已知数列{an}

满足：an+1>2an鈭�n鈭�1(n>1.n隆脢N*)

给出下述命题：

垄脵

若数列{an}

满足：a2>a1

则an>n鈭�1(n>1,n隆脢N*)

成立；

垄脷

存在常数c

使得an>c(n隆脢N*)

成立；

垄脹

若p+q>m+n(

其中pqmn隆脢N*)

则ap+aq>am+an

垄脺

存在常数d

使得an>a1+(n鈭�1)d(n隆脢N*)

都成立。

上述命题正确的个数为(

)

A.1

个B.2

个C.3

个D.4

个评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、【题文】函数f(x)＝ln的图象只可能是__________．9、【题文】设集合若Æ．则实数的取值范围是____．10、函数y=sin的周期为____11、已知⊥||=2，||=3，且3+2与λ-垂直，则实数λ的值为______．12、定义运算如果：并且f(x)＜m对任意实数x恒成立，则实数m的范围是____________．13、鈻�ABC

的内角ABC

的对边分别为abc.

若a2+c2鈭�b2=acc=2

点G

满足|BG鈫�|=193

且BG鈫�=13(BA鈫�+BC鈫�)

则sinA=

______．评卷人得分三、计算题(共8题，共16分)14、在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过____小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．15、已知x1、x2是方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为x轴上的两点，其横坐标分别为x1、x2（x1＜x2）．O为坐标原点；P点在y轴上（P点异于原点）．设∠PAB=α，∠PBA=β．

（1）若α；β都是锐角；求k的取值范围．

（2）当α、β都是锐角，α和β能否相等？若能相等，请说明理由；若不能相等，请证明，并比较α、β的大小．16、关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根，则a的取值范围是____．17、一组数据：13，15，18，16，21，13，13，11，10．它们的众数是____，中位数是____．18、（2009•瑞安市校级自主招生）如图，把一个棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去了7个小正方体），所得到的几何体的表面积是____．19、如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=15，AE为过点A的直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=9，则DE=____．20、如果菱形有一个角是45°，且边长是2，那么这个菱形两条对角线的乘积等于____．21、计算：

①﹣（）﹣（π+e）0+（）

②2lg5+lg4+ln．评卷人得分四、证明题(共2题，共4分)22、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．23、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．评卷人得分五、解答题(共4题，共28分)24、某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（Ⅲ）从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.25、【题文】如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面

(1)求证：⊥平面

(2)求二面角余弦值的大小；

(3)求点到平面的距离．26、【题文】已知圆C与圆相外切，并且与直线相切于点求圆C的27、计算：

（1）

（2）．评卷人得分六、作图题(共1题，共9分)28、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】

根据定义；大小相等且方向相同的两个向量相等．

因此相等向量的模相等；故①正确；

因为单位向量的模等于1；而方向不确定．

所以若和都是单位向量，则不一定有=成立；故②不正确；

根据向量加法的三角形法则，可得对于任意的和

都有|+|≤||+||成立，当且仅当和方向相同时等号成立；故③正确；

若=则有∥且∥但是∥不成立；故④不正确．

综上所述；正确的命题是①③

故选：A

【解析】【答案】根据向量相等的定义，可得①正确；根据单位向量的定义，得到②不正确；根据向量加法法则，可得不等式|+|≤||+||恒成立；从而③正确；根据零向量与任意非零向量平行，可得④不正确．由此即可得到本题的答案．

2、B【分析】因为根据零点存在性定理可知，f(2)=ln2-1<0,f(e)=1->0,故可知零点的大致区间为选B.【解析】【答案】B3、C【分析】【解析】

试题分析：以点为圆心，以为半径长的圆的方程为以点为圆心，且以为半径的圆的方程为则直线为两圆的公切线，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条；故选C.

考点：1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线【解析】【答案】C4、C【分析】【解答】解：对于A，y=x﹣1是奇函数；在（﹣∞，0）上单调递减的，所以不符合题意；

对于B，y=x2是偶函数；所以不符合题意；

对于C，y=x3是奇函数；在（﹣∞，0）上单调递增的，所以满足题意；

对于D，y=是非奇非偶的函数；所以不符合题意．

故选：C．

【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性，对选项中的函数进行判断即可．5、A【分析】解：由已知中的Venn图可得：

阴影部分的元素属于B；但不属于A；

故阴影部分表示的集合为CUA∩B=B∩CUA；

故选：A

根据Venn图分析阴影部分与集合A；B的关系，进而可得答案．

本题主要考查Venn图的识别和判断，正确理解阴影部分与已知中两个集合的关系，是解答的关键．【解析】【答案】A6、A【分析】解：由题题意，设AB=x，则BD=x，BC=x

在△DBC中；∠BCD=120°，CD=40；

∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC•CD•cos∠DCB

即：（x）2=（40）2+x2-2×40•x•cos120°

整理得x2-20x-800=0；解之得x=40或x=-20（舍去）

即所求电视塔的高度为40米．

故选：A．

设出AB=x；由题意将BD；DC用x来表示，然后在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即可得到电视塔的高度．

本题给出实际应用问题，求电视塔的高度．着重考查了解三角形的实际应用的知识，考查了运用数学知识、建立数学模型解决实际问题的能力．【解析】【答案】A7、A【分析】解：隆脽an+1>2an鈭�n鈭�1(n>1.n隆脢N*)

隆脿an+1鈭�an>an鈭�n鈭�1(n>1,n隆脢N*)

或an鈭�1鈭�an>an鈭�n+1(n>1,n隆脢N*).

隆脿

数列函数{an}

为增函数；且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大；

或数列函数{an}

为减函数；且连接相邻两点连线的斜率逐渐减小．

对于垄脵

若a2>a1

则数列函数{an}

为增函数，隆脿an>n鈭�1(n>1,n隆脢N*)

成立；命题正确；

对于垄脷

若数列函数{an}

为减函数，则命题错误；

对于垄脹

若数列函数{an}

为减函数，则命题错误；

对于垄脺

若数列函数{an}

为减函数，则命题错误．

故选：A

．

由an鈭�1+an+1>2n(n>1,n隆脢N*)

得an+1鈭�an>an鈭�n鈭�1(n>1,n隆脢N*)

或an鈭�1鈭�an>an鈭�n+1(n>1,n隆脢N*).

然后结合函数的单调性逐一核对四个命题得答案．

本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是对题意的理解，是中档题．【解析】A

二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】【解析】因为函数的定义域为-1<1,那么排除2,3，在原点附件选择一个数，特殊点法可知函数的图像只能是第一个图像，因此可知选①.【解析】【答案】①9、略

【分析】【解析】因为集合交集为空集，那么利用数轴标根法可知，实数k的取值范围是k-4,故答案为k-4。【解析】【答案】10、4π【分析】【解答】函数y=sin的周期为=4π；

故答案为：4π．

【分析】由条件利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为得出结论．11、略

【分析】解：因为与垂直。

∴（）•（）=0即3=0

∴12λ-18=0

∴λ=

故答案为

两个向量垂直的充要条件为两向量的数量积为零．

考查两向量垂直的充要条件．【解析】12、略

【分析】解：∵

=sinx+cosx=∈[-]；

∵f(x)＜m对任意实数x恒成立；

∴m＞．

故答案为：m＞．【解析】13、略

【分析】解：a2+c2鈭�b2=ac

即为cosB=a2+c2鈭�b22ac=12

由0鈭�<B<180鈭�

可得B=60鈭�

点G

满足|BG鈫�|=193

且BG鈫�=13(BA鈫�+BC鈫�)

可得BG鈫�2=19(BA鈫�+BC鈫�)2=19(BA鈫�2+BC鈫�2+2BA鈫�?BC鈫�)=19(c2+a2+2accosB)

=19隆脕(4+a2+2a?2?12)=199

解得a=3(鈭�5

舍去)

由a2+c2鈭�b2=ac

可得b=a2+c2鈭�ac=9+4鈭�6=7

由正弦定理可得，bsinB=asinA

可得sinA=asinBb=3隆脕327=32114

．

故答案为：32114

．

运用余弦定理可得B=60鈭�

再由向量的平方即为模的平方和数量积的定义，解方程可得a=3

由余弦定理可得b

再由正弦定理计算即可得到所求值．

本题考查三角形中的正弦定理和余弦定理的运用，考查向量的数量积的定义及性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．【解析】32114

三、计算题(共8题，共16分)14、略

【分析】【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．【解析】【解答】解：如下图所示；

设经过x小时后；观测站及A；B两船恰成一个直角三角形；

则BC=3x；AC=12x；

在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2=OB2；

在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2=AO2；

在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2=AB2=（15x）2；

∴122+（3x）2+122+（12x）2=（15x）2；

解得：x=2或-2（舍去）．

即经过2小时后；观测站及A；B两船恰成一个直角三角形．

故答案为：2．15、略

【分析】【分析】（1）由于x1、x2是方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实根，由于得到其判别式是正数，由此可以确定k的取值范围，而A、B为x轴上的两点，其横坐标分别为x1、x2（x1＜x2），O为坐标原点，P点在y轴上（P点异于原点）．设∠PAB=α，∠PBA=β，若α、β都是锐角，由此得到点A、B在原点两旁，所以x1•x2＜0；这样就可以解决问题；

（2）若α=β，则x1+x2=0，由此得到k=3，所以判别式是正数，所以的得到α≠β；然后利用根与系数的关系即可得到α、β的大小关系．【解析】【解答】解：（1）∵x1、x2是方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为x轴上的两点，其横坐标分别为x1、x2（x1＜x2）．

∴△=k2-10k-7＞0得k＜5-4或k＞5+4；

若α；β都是锐角；

∴点A；B在原点两旁；

∴x1•x2＜0；

∴k＜-4；

（2）设α=β；

则x1+x2=0；

∴k=3；

所以α≠β；

因为x1+x2=k-3＜-7＜0；

所以|x1|＞|x2|；

所以OA＞OB；

则PA＞PB，在△PAB中，有α＜β．16、略

【分析】【分析】先把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2-（x2+2x）a+x3-1=0，然后利用求根公式解得a=x-1或a=x2+x+1；于是有

x=a+1或x2+x+1-a=0，再利用原方程只有一个实数根，确定方程x2+x+1-a=0没有实数根，即△＜0，最后解a的不等式得到a的取值范围．【解析】【解答】解：把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2-（x2+2x）a+x3-1=0；

则△=（x2+2x）2-4（x3-1）=（x2+2）2；

∴a=，即a=x-1或a=x2+x+1．

所以有：x=a+1或x2+x+1-a=0．

∵关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根；

∴方程x2+x+1-a=0没有实数根；即△＜0；

∴1-4（1-a）＜0，解得a＜．

所以a的取值范围是a＜．

故答案为a＜．17、略

【分析】【分析】本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解析】【解答】解：13出现的次数最多；故众数是13；

按照从小到大的顺序排列为10；11，13，13，13，15，16，18，21；

∴中位数是13；

故答案为13、13．18、略

【分析】【分析】如图所示，一、棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，那么每个小正方形的边长是1，所以每个小正方面的面积是1；二、正方体的一个面有9个小正方形，挖空后，这个面的表面积增加了4个小正方形，减少了1个小正方形，即：每个面有12个小正方形，6个面就是6×12=72个，那么几何体的表面积为72×1=72．【解析】【解答】解：如图所示；周边的六个挖空的正方体每个面增加4个正方形，减少了1个小正方形，则每个面的正方形个数为12个，则表面积为12×6×1=72．

故答案为：72．19、略

【分析】【分析】要求DE，求AE，AD即可：求证△ABD≌△ACE，即可得AD=CE，直角△AEC中根据AE=得AE，根据DE=AE-AD即可解题．【解析】【解答】解：在直角△AEC中；∠AEC=90°；

AC=15，CE=9，则AE==12；

∵∠BAD+∠CAD=90°；∠ABD+∠BAD=90°；

∴∠ABD=∠CAE；

∴

△ABD≌△CAE；

∴AD=CE=9；

∴DE=AE-AD=AE-AD=3．

故答案为3．20、略

【分析】【分析】利用三角函数先求出菱形的高，再根据菱形的面积等于底乘以相应高求出面积，然后根据菱形面积的两种求法可知两条对角线的乘积就等于面积的2倍．【解析】【解答】解：根据题意，菱形的高=2sin45°=；

∴菱形的面积=2×=2；

∵菱形的面积=×两对角线的乘积；

∴两对角线的乘积=4．

故答案为4．21、解：①﹣（）﹣（π+e）0+（）

=﹣﹣1+2

=2．

②2lg5+lg4+ln

=lg25+lg4+

=lg100+

=【分析】【分析】利用指数和对数的运算性质和运算法则求解．四、证明题(共2题，共4分)22、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．23、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．五、解答题(共4题，共28分)24、略

【分析】试题分析：（1）解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据中，比较明显的有组距、间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于1，因此频率之和为1；（2）最高矩形的底边的中点的横坐标即是众数，中位数左边和右边的小长方形的面积和相等的；（3）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举.试题解析：解（Ⅰ）成绩落在[70，80）上的频率是0．3，频率分布直方图如下图．（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）为1-0．01×10-0．015×10=75﹪平均分：45×0．1+55×0．15+65×0．15+75×0．3+85×0．25+95×0．05=71（Ⅲ）成绩是70分以上（包括70分）的学生人数为（0．03+0．025+0．005）×10×60=36所以所求的概率为考