2024年粤教沪科版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年粤教沪科版高一数学上册月考试卷627考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、函数f（x）=x2+2（1-a）x+2在区间（-∞；4]上是减函数，则实数a的取值范围（）

A.（-∞；-3]

B.（5；+∞）

C.[5；+∞）

D.{5}

2、设集合A.B.C.D.3、的值是（）A.B.C.D.4、【题文】已知函数若对于任意的函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.5、若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）A.4cm2B.2cm2C.4πcm2D.1cm2评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（1+x），则当x＞0时，f（x）=____．7、已知函数则____8、已知y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在（-∞，0]上是增函数，若f（a）≥f（2），则a的取值范围是____．9、【题文】函数的定义域为____．10、【题文】已知(a>0)，则____.11、函数f（x）=+的定义域为____（用集合或区间表示）．12、函数f（x）=ax+1+1的图象恒过定点P，则点P的坐标是______．13、化简：=______．14、在数列中，则实数a=______，b=______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)15、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．16、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．17、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．18、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．19、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．20、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．21、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．评卷人得分四、解答题(共1题，共5分)22、【题文】（本题满分12分）

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中；

(1)求四棱锥S-ABCD的体积;

(2)求证：评卷人得分五、计算题(共1题，共7分)23、（2015秋•太原校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F，过点D作DG⊥AE，垂足为G，连结FG．若FG=，∠E=30°，则GE=____．评卷人得分六、综合题(共3题，共18分)24、如图，△ABC中，AB=5，BC=6，BD=BC；AD⊥BC于D，E为AB延长线上的一点，且EC交AD的延长线于F．

（1）设BE为x；DF为y，试用x的式子表示y．

（2）当∠ACE=90°时，求此时x的值．25、取一张矩形的纸进行折叠；具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折；折痕为MN，如图（1）所示；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上；折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；

第三步：沿EB′线折叠得折痕EF；如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．

（2）对于任一矩形；按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

（3）如图（5）；将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k（k＜0）

①问：EF与抛物线y=有几个公共点？

②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求的值．26、已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2+mx+4=0的两个正整数根之一，且另两边长为BC=4，AB=6，求cosA．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】

∵函数f（x）=x2+2（1-a）x+2的图象是。

开口向上；且以x=a-1为对称轴的抛物线。

故函数f（x）=x2+2（1-a）x+2在区间（-∞；a-1]上是减函数，在区间[a-1，+∞）上为增函数；

则a-1≥4；解得a≥5

故答案为：C

【解析】【答案】根据二次函数的图象和性质，判断出函数f（x）=x2+2（1-a）x+2在区间（-∞；a-1]为减函数；

又由函数f（x）=x2+2（1-a）x+2在区间（-∞；4]上是减函数，可得区间在对称轴的同一侧；

进而得到a-1≥4；解不等式即可得到实数a的取值范围．

2、B【分析】试题分析：所以考点：集合间的交集运算.【解析】【答案】B3、C【分析】试题分析：考点：两角差的余弦公式的运用.【解析】【答案】C4、D【分析】【解析】

试题分析：由于函数在上单调递减，则有在上恒成立，即不等式在上恒成立，即有在上恒成立，而函数在上单调递增，由于当时，函数

取得最大值，即所以故选D.

考点：1.函数的单调性；2.不等式恒成立【解析】【答案】D5、D【分析】【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为2；所以根据弧长公式，可得圆的半径为1；

所以扇形的面积为：×2×1=1cm2；

故选D．

【分析】结合弧长公式，求圆的半径，再利用扇形的面积公式，可得结论．二、填空题(共9题，共18分)6、略

【分析】

当x＞0时；-x＜0；

则f（-x）=-x（1-x）．

又f（x）是定义在R上的奇函数；所以当x＞0时，f（x）=-f（-x）=x（1-x）．

故答案为：x（1-x）．

【解析】【答案】当x＞0时；-x＜0，由已知表达式可求出f（-x），再由奇函数的性质可得f（x）与f（-x）的关系，从而可求出f（x）．

7、略

【分析】【解析】试题分析：因为所以==考点：本题主要考查分段函数的概念，指数函数、对数函数的图象和性质。【解析】【答案】．8、略

【分析】

∵y=f（x）是R上的偶函数；且在（-∞，0]上是增函数。

∴y=f（x）在[0；+∞）是减函数。

∵f（a）≥f（2）；

∴|a|≤2

∴a∈[-2；2]

故答案为：[-2；2]

【解析】【答案】利用偶函数在对称区间上的单调性相反得到f（x）的单调性；利用单调性去掉抽象不等式的对应f，解不等式得到解集．

9、略

【分析】【解析】

试题分析：函数的定义域一般是使函数式有意义的自变量的取值范围．本题中因此即．

考点：函数的定义域．【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

故填4【解析】【答案】411、[﹣1，1）∪（1，2）∪（2，+∞）【分析】【解答】解：由解得﹣1≤x＜1或1＜x＜2或x＞2．∴函数f（x）=+的定义域为[﹣1；1）∪（1，2）∪（2，+∞）．

故答案为：[﹣1；1）∪（1，2）∪（2，+∞）．

【分析】由根式内部的代数式大于等于0，0指数幂的底数不为0，分式的分母不为0联立不等式组求解．12、略

【分析】解：令x+1=0得x=-1；

∴f（-1）=a0+1=2．

∴P（-1；2）．

故答案为（-1；2）．

令x+1=0即可解出P点坐标．

本题考查了指数函数的性质，属于基础题．【解析】（-1，2）13、略

【分析】解：原式====1．

故答案为：1

原式利用诱导公式化简；约分后再利用同角三角函数间的基本关系变形，约分即可得到结果．

此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．【解析】114、略

【分析】解：由5，10，17，a-b；37知；

a-b=26；

由3，8，a+b；24，35知；

a+b=15；

解得，a=b=

故答案为：．

由不完全归纳法知a-b=26，a+b=15；从而解得．

本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．【解析】三、证明题(共7题，共14分)15、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．16、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．17、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=18、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．19、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．20、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．21、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．四、解答题(共1题，共5分)22、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（1）解：

（2）证明：

又

五、计算题(共1题，共7分)23、略

【分析】【分析】作DH∥AC交BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得∠B=∠ACB，再根据平行线的性质得∠BHD=∠ACB，则∠B=∠BHD，所以DB=DH，加上DB=CE，所以DH=CE，于是可根据“AAS”可证明△DHF≌△ECF，得到DF=EF，则GF为斜边DE上的中线，所以DE=2GF=2，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可求出GE．【解析】【解答】解：作DH∥AC交BC于H；如图；

∵AB=AC；

∴∠B=∠ACB；

∵DH∥AC；

∴∠BHD=∠ACB；∠E=∠EDH；

∴∠B=∠BHD；

∴DB=DH；

而DB=CE；

∴DH=CE；

在△DHF和△ECF中；

；

∴△DHF≌△ECF；

∴DF=EF；

∵DG⊥AC；

∴∠DGE=90°；

∵GF为斜边DE上的中线；

∴DE=2GF=2；

而∠E=30°；

∴DG=DE=；

∴GE=DG=．

故答案为．六、综合题(共3题，共18分)24、略

【分析】【分析】（1）过B作BG∥AF交BCEC于G，则可以得到△CDF∽△CBG，接着利用相似三角形的性质得到，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得；又△EGB∽△EFA，由此利用相似三角形的性质即可求出y与x的函数关系；

（2）当∠ACE=90°时，则有∠FCD=∠DAC，由此得到Rt△ADC∽Rt△CDF，接着利用相似三角形的性质得到CD2=AD•DF，所以16=，从而得到，代入，即可求出x．【解析】【解答】解：（1）过B作BG∥AF交EC于G，

则△CDF∽△CBG；

∴；

∴；

在Rt△ABD中，可得；

又∵△EGB∽△EFA；

∴；

∴；

（2）当∠ACE=90°时；则有∠FCD=∠DAC；

∴Rt△ADC∽Rt△CDF；

∴；

∴CD2=AD•DF；

∴16=；

∴；

代入，有；

解得．25、略

【分析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；以及矩形性质得出∠AEF=60°，∠EAF=60°，即可得出答案；

（2）根据矩形的长为a，宽为b，可知时，一定能折出等边三角形，当＜b＜a时；不能折出；

（3）①由已知得出得到x2+8kx-8k=0，△=（8k）