2025年湘教版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高二数学下册月考试卷72考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、三次函数f（x）=ax3-1在R上是减函数；则（）

A.a=1

B.a＞0

C.

D.a＜0

2、在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C所对的边，且acosB=bcosA；则该三角形一定是（）

A.等边三角形。

B.直角三角形。

C.等要直角三角形。

D.等腰三角形。

3、已知若为满足的一随机整数，则是直角三角形的概率为（）A.B.C.D.4、【题文】角的终边过点P（4，－3），则的值为A.4B.－3C.D.5、三棱锥中，AB=BC=2，PA⊥底面ABC，且PA=2，则此三棱锥外接球的半径为()A.B.C.2D.6、已知向量=（1，y，-2），=（-2，2，z），若∥则y+z=（）A.5B.3C.-3D.-5评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)7、函数f（x）=1-lnx在x=1处的切线方程是____．8、将边长为的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记＝则的最小值是________．9、【题文】若在△ABC中，||＝3，||＝5，||＝4，则|5＋|＝____.10、【题文】已知为等差数列，为其前n项和，若则____

____11、【题文】已知则____．12、长方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AB垂直的棱有______条．13、通过模拟试验，产生了20

组随机数：68303013705574307740442278842604334609526807970657745725657659299768607191386754

，如果123456

恰有三个数在其中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为______．14、在平面直角坐标系xoy

中，已知点A(0,鈭�2)

点B(1,鈭�1)P

为圆x2+y2=2

上一动点，则|PB鈫�||PA鈫�|

的最大值是______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共21分)21、已知函数（a≠0，a∈R）

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）当a＞0时；若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，求a的取值范围．

22、三角形ABC的两顶点A（-2，0），B（0，-2），第三顶点C在抛物线y=x2+1上；求三角形ABC的重心G的轨迹．

23、【题文】设等比数列前项和为若求数列的公比参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】

因为三次函数f（x）=ax3-1在R上是减函数；所以a≠0且f'（x）≤0恒成立．

因为f'（x）=3ax2，所以由f'（x）=3ax2≤0；

得a＜0；

故选D．

【解析】【答案】求导数，利用导数和单调性的关系判断，要使三次函数f（x）=ax3-1在R上是减函数；则f'（x）≤0恒成立．

2、D【分析】

∵acosB=bcosA；由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA；

即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0；

又-π＜A-B＜π；

∴A-B=0；即A=B；

∴a=b；

则△ABC的形状是等腰三角形；

故选D

【解析】【答案】利用正弦定理化简已知的等式，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（A-B）的值为0，由A和B都为三角形的内角，得出A-B的范围，进而利用特殊角的三角函数值得出A-B=0，即A=B，利用等角对等边可得a=b；即三角形为等腰三角形．

3、A【分析】试题分析：由得即因为是整数，故而保证是直角三角形的的取值为故概率为故选择A，注意是古典概型而不是几何概型.考点：平面向量的运算及关系和古典概型中的概率计算.【解析】【答案】A4、C【分析】【解析】因为|OP|=5,所以【解析】【答案】C5、B【分析】【解答】根据已知中底面△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球∵△ABC是边长为2的等腰直角三角形，外心在斜边的中点上，利用∴△ABC的外接圆半径r=球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1，得到球的半径为故可知答案选B.

【分析】本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R属于基础题。6、B【分析】解：∵∥∴存在实数λ使得．

∴解得y=-1，z=4．

∴y+z=3．

故选：B．

利用向量共线定理即可得出．

本题考查了向量共线定理，属于基础题．【解析】【答案】B二、填空题(共8题，共16分)7、略

【分析】

∵f（x）=1-lnx，∴f′（x）=-

x=1时；f′（1）=-1，f（1）=1

∴函数f（x）=1-lnx在x=1处的切线方程是y-1=-（x-1）；即y=2-x

故答案为：y=2-x．

【解析】【答案】求导函数；确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．

8、略

【分析】如图，AE=x，则ED=x，BC=1，BE=1-x，梯形的周长为（3-x），面积为＝=求导得得或3（舍去）,函数只有一个极值点就是最值点，代入得____【解析】【答案】____9、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于△ABC中，||＝3，||＝5，||＝4，三边长可知满足勾股定理，则那么有BC为斜边，AC,AB为直角边，那么结合向量的模的平方等于向量的平方可知，|5＋|＝4

考点：|5＋|2=25||2+10||||(-cosB)+||2=160,那么可知。

点评：考查了向量的数量积的性质的运用，属于基础题。【解析】【答案】410、略

【分析】【解析】∵∴∴∴

【考点定位】本小题主要考查等差数列的基本运算，考查通项公式和前n项和公式的计算【解析】【答案】1，11、略

【分析】【解析】

试题分析：因为故答案为．

考点：三角函数的恒等变形公式.【解析】【答案】．12、略

【分析】解：如图；

∵棱AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1；

∴与棱AB垂直的棱有AD、AA1、BC、BB1、DD1、A1D1、CC1、B1C1共8条．

故答案为：8．

由题意画出图形；由长方体的结构特征结合线面垂直的性质得到与棱AB垂直的棱的条数．

本题考查长方体的结构特征，考查线面垂直的性质，是基础题．【解析】813、略

【分析】解：四次射击中恰有三次击中目标的随机数有30132604572565766754

所以四次射击中恰有三次击中目标的概率约为520=25%

．

故答案为：25%

．

确定四次射击中恰有三次击中目标的随机数；即可求出四次射击中恰有三次击中目标的概率．

本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．【解析】25%

14、略

【分析】解：隆脽P

为圆x2+y2=2

上一动点，隆脿

设P(2cos娄脠,2sin娄脠)(0鈮�娄脠<2娄脨)

．

隆脽

点A(0,鈭�2)

点B(1,鈭�1)

隆脿PB鈫�=(1鈭�2cos娄脠,鈭�1鈭�2sin娄脠)PA鈫�=(0鈭�2cos娄脠,鈭�2鈭�2sin娄脠)

隆脿|PB鈫�||PA鈫�|=(1鈭�2cos娄脠)2+(1+2sin娄脠)2(2cos娄脠)2+(2+2sin娄脠)2=1鈭�12鈰�鈭�1鈭�2cos娄脠鈭�3鈭�2sin娄脠

把鈭�1鈭�2cos鈭�3鈭�2sin娄脠

看成是点(鈭�1,鈭�3)

与圆x2+y2=2

一点P(2cos娄脠,2sin娄脠)

的斜率问题．

设k=鈭�1鈭�2cos鈭�3鈭�2sin娄脠

求k

的最小值可得|PB鈫�||PA鈫�|

的最大值．

设过(鈭�1,鈭�3)

的直线方程为：y+3=k(x+1)

即kx鈭�y+k鈭�3=0

圆心到直线的距离等于半径：即d=2=|k鈭�3|k2+1

解得k=鈭�7

或1.

即k

的最小值为鈭�7

．

隆脿|PB鈫�||PA鈫�|

的最大值为322

．

故答案为：322

．

由题意，设P(2cos娄脠,2sin娄脠)

利用向量坐标运算求出和两点之间的距离公式，转化为斜率问题即可求出．

本题考查了圆的参数方程和三角函数的有界限的运用.

计算量大，属于中档题．【解析】322

三、作图题(共6题，共12分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共21分)21、略

【分析】

（Ⅰ）当a＞0时，由得x＞0；当a＜0时由得-1＜x＜0

综上：当a＞0时函数f（x）的定义域为（0；+∞）；

当a＜0时函数f（x）的定义域为（-1；0）（3分）

（Ⅱ）=（5分）

令f'（x）=0时，得lnax=0，即

①当a＞0时，时f'（x）＞0，当时；f'（x）＜0；

故当a＞0时，函数的递增区间为递减区间为

②当-1≤a＜0时；-1＜ax＜0，所以f'（x）＞0；

故当-1≤a＜0时；f（x）在x∈（-1，0）上单调递增．

③当a＜-1时，若f'（x）＜0；若f'（x）＞0；

故当a＜-1时，f（x）的单调递增区间为单调递减区间为．

综上：当a＞0时，f（x）的单调递增区间为单