2025高考数学一轮复习-2.5-指数与指数函数-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-2.5-指数与指数函数-专项训练【A级基础巩固】1．若代数式eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意义，则eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,(x－2)4)＝()A．2 B．3C．2x－1 D．x－22．已知2a＝5，log83＝b，则4a-3b＝()A．25 B．5C．eq\f(25,9) D．eq\f(5,3)3．(多选)函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象可能是()4．函数f(x)＝xa-2与g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是()A．0＜a＜2 B．0≤a＜1C．1≤a＜2 D．1＜a≤25．已知a＝2eq\s\up6(\f(4,3))，b＝4eq\s\up6(\f(2,5))，c＝5eq\s\up6(\f(1,3))，则()A．c＜b＜a B．a＜b＜cC．b＜a＜c D．c＜a＜b6．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f(x)＝eq\f(P,1＋akx＋b)(P＞0，a＞1，k＜0)的形式．已知f(x)＝eq\f(5,1＋2kx＋b)(x∈N)描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)变化的规律．若刚栽种时该果树的高为1m，经过一年，该果树的高为2.5m，则该果树的高度超过4.8m，至少需要(附：log23≈1.585)()A．3年 B．4年C．5年 D．6年7．已知函数f(x)＝ex－eq\f(1,ex).若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是________．8．已知0≤x≤2，则函数y＝4eq\s\up6(x－\f(1,2))－3×2x＋5的最大值为________．9．当0＜x＜eq\f(1,2)时，方程ax＝eq\f(1,x)(a＞0且a≠1)有解，则实数a的取值范围是________．10．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))eq\s\up12(x)－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．11．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a＞0且a≠1)是奇函数．(1)求实数k的值；(2)若f(1)＜0，判断函数f(x)的单调性；若f(m2－2)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．若0＜a＜1，b＞0，且ab－a－b＝－2，则ab＋a－b的值为()A．2eq\r(2) B．±2eq\r(2)C．－2eq\r(2) D．eq\r(6)2．已知x∈(1，2)，a＝2eq\a\vs4\al(x2)，b＝(2x)2，c＝22x，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．b＞a＞c D．c＞a＞b3．已知常数a>0，函数f(x)＝eq\f(2x,2x＋ax)的图象经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p，\f(6,5)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q，－\f(1,5))).若2p＋q＝36pq，则a＝________．4．已知函数f(x)＝ex-1－e1-x＋x，则不等式f(2－x)＋f(4－3x)≤2的解集是________．5．已知函数f(x)＝eq\f(1,4x)－eq\f(λ,2x-1)＋4(－1≤x≤2).(1)若λ＝eq\f(3,2)，求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围．参考答案【A级基础巩固】1．解析：由eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意义，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,2－x≥0，))解得eq\f(1,2)≤x≤2，所以x－2≤0，2x－1≥0，所以eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,(x－2)4)＝eq\r((2x－1)2)＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.答案：B2．解析：由题意知b＝log83＝log233＝eq\f(1,3)log23.又2a＝5，所以4a-3b＝22(a-3b)＝22a-6b＝(2a)2·2-6b＝25×2－2log23＝25×2log23-2＝25×3-2＝eq\f(25,9).答案：C3．解析：当a＞1时，y＝ax－a为增函数，且过点(1，0)，当x＝0时，y＝1－a＜0，故A不正确，B正确；当0＜a＜1时，y＝ax－a为减函数，且过点(1，0)，当x＝0时，y＝1－a∈(0，1)，故C正确，D不正确．答案：BC4．解析：若函数f(x)＝xa-2在(0，＋∞)上单调递减，则a－2＜0，即a＜2.若函数g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)在(0，＋∞)上单调递减，则eq\f(4,a)＞1，即0＜a＜4.所以若函数f(x)＝xa-2与g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)均在(0，＋∞)上单调递减，则0＜a＜2.又[1，2)(0，2).答案：C5．解析：因为a＝2eq\s\up6(\f(4,3))＝4eq\s\up6(\f(2,3))，b＝4eq\s\up6(\f(2,5))，所以a＝4eq\s\up6(\f(2,3))＞4eq\s\up6(\f(2,5))＝b.因为163＞55，所以16eq\s\up6(\f(1,5))＞5eq\s\up6(\f(1,3))，所以4eq\s\up6(\f(2,5))＞5eq\s\up6(\f(1,3))，即b＞c.综上所述，a＞b＞c.答案：A6．解析：由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(0)＝\f(5,1＋2b)＝1，,f(1)＝\f(5,1＋2k＋b)＝2.5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝2，))故f(x)＝eq\f(5,1＋2-2x+2).由f(x)＝eq\f(5,1＋2-2x+2)＞4.8，解得x＞eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)log23≈3.3，故该果树的高度超过4.8m，至少需要4年．答案：B7．解析：因为f(x)＝ex－eq\f(1,ex)，定义域为R，f(－x)＝e－x－eq\f(1,e－x)＝eq\f(1,ex)－ex＝－f(x)，所以f(x)＝ex－eq\f(1,ex)为奇函数．又因为f(x)＝ex－eq\f(1,ex)在R上为增函数，所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)，即a－2≤－a2，则a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.答案：[－2，1]8．解析：设2x＝t，0≤x≤2，则1≤t≤4，y＝4eq\s\up6(x－\f(1,2))－3×2x＋5＝eq\f(1,2)t2－3t＋5＝eq\f(1,2)(t－3)2＋eq\f(1,2)，故当t＝1，即x＝0时，函数有最大值eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)9．解析：依题意，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，y＝ax与y＝eq\f(1,x)有交点，作出y＝eq\f(1,x)的图象，如图，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1，,a\s\up6(\f(1,2))＞2，))解得a＞4.答案：(4，＋∞)10．解：(1)因为f(x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b·a＝6，,b·a3＝24，))所以a2＝4.又a>0，所以a＝2，b＝3，所以f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)－m≥0恒成立，即m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)在x∈(－∞，1]上恒成立．又因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)均为减函数，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)也是减函数，所以当x＝1时，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)有最小值eq\f(5,6).则m≤eq\f(5,6)，故m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,6))).11．解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，经检验，k＝2符合题意，∴k＝2.(2)由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1).∵f(1)＜0，∴a－eq\f(1,a)＜0.又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，而y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减，故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，不等式f(m2－2)＋f(m)＞0可化为f(m2－2)＞f(－m)，∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1，∴实数m的取值范围是(－2，1).INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．解析：根据题意，由ab－a－b＝－2，得(ab－a－b)2＝a2b＋a-2b－2＝4，即a2b＋a-2b＝6，则(ab＋a－b)2＝a2b＋a-2b＋2＝6＋2＝8，所以ab＋a－b＝2eq\r(2)(负值舍去).答案：A2．解析：因为a＝2eq\a\vs4\al(x2)，b＝(2x)2＝22x，c＝22x，所以只需比较x2，2x，2x在x∈(1，2)时的大小即可．令y1＝x2，y2＝2x，y3＝2x，在同一平面直角坐标系中作出这三个函数在(1，2)上的图象，如图所示，由图可知，当x∈(1，2)时，2x＞2x＞x2.又函数f(t)＝2t在R上是增函数，所以22x＞22x＞2x2，即b＞c＞a.答案：B3．解析：因为f(x)＝eq\f(2x,2x＋ax)＝eq\f(1,1＋\f(ax,2x))，且其图象经过点P，Q，则f(p)＝eq\f(1,1＋\f(ap,2p))＝eq\f(6,5)，即eq\f(ap,2p)＝－eq\f(1,6)，①f(q)＝eq\f(1,1＋\f(aq,2q))＝－eq\f(1,5)，即eq\f(aq,2q)＝－6，②①×②得eq\f(a2pq,2p＋q)＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，所以a2＝36，解得a＝±6.因为a>0，所以a＝6.答案：64．解析：由题意，设g(x)＝f(x)－1＝ex-1－eq\f(1,ex-1)＋(x－1)(x∈R)，令h(x)＝g(x＋1)＝ex－eq\f(1,ex)＋x，其定义域为R，且h(－x)＝eq\f(1,ex)－ex－x＝－h(x)，所以h(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以g(x)的图象关于点(1，0)对称，则有g(2－x)＝－g(x)，易得g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．不等式f(2－x)＋f(4－3x)≤2，变形为f(2－x)－1＋f(4－3x)－1≤0，即g(2－x)＋g(4－3x)≤0，易得g(4－3x)≤g(x)，则有4－3x≤x，所以x≥1.所以不等式f(2－x)＋f(4－3x)≤2的解集是[1，＋∞).答案：[1，＋∞)5．解：(1)f(x)＝eq\f(1,4x)－eq\f(λ,2x-1)＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x)－2λ·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋4(－1≤x≤2).设t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，得g(t)＝t2－2λt＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)≤t≤2)).当λ＝eq\f(3,2)