【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：D4数列求和

D4数列求和【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】19．（本题满分12分）设数列是等差数列，数列的前项和满足且 （Ⅰ）求数列和的通项公式： （Ⅱ）设，设为的前n项和，求.【学问点】等差数列等比数列数列求和D2D3D4【答案解析】(1),.（2）（1）∵数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=（bn-1），∴b1=S1=(b1-1)，解得b1=3．

当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(bn-1)-(bn-1-1)，化为bn=3bn-1．

∴数列{bn}为等比数列，∴bn=3×3n-1=3n．∵a2=b1=3，a5=b2=9．设等差数列{an}的公差为d．

∴，解得d=2，a1=1．∴an=2n-1．综上可得：an=2n-1，bn=3n．

（2）cn=an•bn=（2n-1）•3n．

∴Tn=3+3×32+5×33+…+（2n-3）•3n-1+（2n-1）•3n，3Tn=32+3×33+…+（2n-3）•3n+（2n-1）•3n+1．

∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-（2n-1）•3n+1=-（2n-1）•3n+1-3=（2-2n）•3n+1-6．∴Tn=3+(n-1)3n+1．【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】20.（本小题满分13分）若数列的前项和为，对任意正整数都有.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和【学问点】数列的求和；对数的运算性质；数列与不等式的综合．B7D4D5【答案】【解析】（1）；（2）解析：(1)由，得，解得．…………2分由……=1\*GB3①，当时，有……=2\*GB3②，…………3分=1\*GB3①－=2\*GB3②得：，…………4分数列是首项，公比的等比数列…………5分，…………6分（2）由（1）知．…………7分所以…………9分当为偶数时，…………11分当为奇数时，所以…………13分【思路点拨】（1）由，得，解得，当时，有，两式相减可得数列是首项，公比的等比数列，进而得到通项公式；（2）依据条件得到的通项，然后对n分类争辩即可得到.【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】16.（本小题满分12分）在正项等比数列中，公比，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，当取最大值时，求的值.【学问点】数列的求和；等比数列的通项公式．D3D4【答案】【解析】（1）;（2）解析：，，是正项等比数列，，，..（2），且为递减数列当当取最大值时，【思路点拨】（1）利用等比数列的性质和通项公式即可得出；（2）利用等差数列的前n项和公式、二次函数的单调性即可得出．【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】20.(本小题满分12分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式;（2）设，是数列的前n项和，求使得对全部都成立的最小正整数m.【学问点】数列求和D4【答案解析】（Ⅰ）an＝6n－5（）（Ⅱ）10（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又由于点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,当且仅当≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.【思路点拨】依据数列求和公式求出通项公式，再依据裂项求和求出m的最小值。【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】20.（本小题满分13分）已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有，，成等差数列；（1）求数列的通项公式；（2）已知（），记，若对于恒成立，求实数的范围。【学问点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与函数的综合.D3D4D5【答案】【解析】(1)；(2)解析：（1）…………4分（2），………10分若对于恒成立，则，，，令，所以为减函数，…………13分【思路点拨】(1)设出等比数列的公比，利用对于任意的有，，成等差得代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列{an}的通项公式可求；(2)把（1）中求得的an和已知代入整理，然后利用错位相减法求Tn，把Tn代入后分别变量m，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法．【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】13.已知函数的部分图像如图，令则．【学问点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；数列的求和．C4D4【答案】【解析】0解析：由图象可知，T=，解得T=π，故有．函数的图象过点（，1）故有1=sin（2×+φ），|φ|＜，故可解得φ=，从而有f（x）=sin（2x+）．a1=sin（2×+）=1，a2=sin（2×+）=a3=sin（2×+）=﹣，a4=sin（2×+）=﹣1a5=sin（2×+）=﹣，a6=sin（2×+）=a7=sin（2×+）=1，a8=sin（2×+）=…观看规律可知an的取值以6为周期，且有一个周期内的和为0，且2022=6×335+4，所以有：a2022=sin（2×+）=﹣1．则a1+a2+a3+…+a2022=a2011+a2022+a2021+a2022=1+=0．故答案为：0．【思路点拨】先依据图象确定ω，φ的值，从而求出函数f（x）的解析式，然后分别写出数列an的各项，留意到各项的取值周期为6，从而可求a1+a2+a3+…+a2022的值．【数学文卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】19．（本题满分12分）设数列是等差数列，数列的前项和满足且 （Ⅰ）求数列和的通项公式： （Ⅱ）设，设为的前n项和，求.【学问点】等差数列等比数列数列求和D2D3D4【答案解析】(1),.（2）（1）∵数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=（bn-1），∴b1=S1=(b1-1)，解得b1=3．

当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(bn-1)-(bn-1-1)，化为bn=3bn-1．

∴数列{bn}为等比数列，∴bn=3×3n-1=3n．∵a2=b1=3，a5=b2=9．设等差数列{an}的公差为d．

∴，解得d=2，a1=1．∴an=2n-1．综上可得：an=2n-1，bn=3n．

（2）cn=an•bn=（2n-1）•3n．

∴Tn=3+3×32+5×33+…+（2n-3）•3n-1+（2n-1）•3n，3Tn=32+3×33+…+（2n-3）•3n+（2n-1）•3n+1．

∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-（2n-1）•3n+1=-（2n-1）•3n+1-3=（2-2n）•3n+1-6．∴Tn=3+(n-1)3n+1．【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】18.（本小题满分12分）已知数列的前项和，

(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)令，求数列的前项和．【学问点】数列及数列求和D1,D4【答案】【解析】(I)(II)解析：(Ⅰ)由

①

可得：．

同时

②

②-①可得：．——4分

从而为等比数列，首项，公比为．

．————————6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

————8分

故．—【思路点拨】由数列的前n项和公式与通项公式的关系可求出数列的通项公式，再依据数列的特点求出前n项和【数学文卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】19.（本小题满分12分）数列满足(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求数列的前项和【学问点】数列的求和；等差关系的确定．D2D4【答案】【解析】（1）见解析；（2）解析：（1）证：由已知可得，……………3分即……………4分所以是以为首项，1为公差的等差数列……………6分（2）解：由（Ⅰ）得，所以……………7分从而……………8分①②……………9分①-②得……………10分……………11分所以……………12分【思路点拨】（1）变形利用等差数列的通项公式即可得出．（2）“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【数学文卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】5.设等差数列的前n项和为，若则（）A．27B．36C．44D．54【学问点】数列的求和．D4【答案】【解析】B解析：∵等差数列的前n项和为，∴成等差数列．∴2（）=+．∴2×（15﹣3）=3+﹣15，解得=36．故选：B．【思路点拨】利用等差数列的前n项和为，可得成等差数列．即可得出．【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】21．（本小题12分）设数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．求证：.【学问点】数列的通项公式，数列求和等差数列D1D2D4【答案】【解析】（1），（2）略解析：（1），（）=即()当,得=6即（2）①，则，设①则②①-②得：2+=+因此.【思路点拨】遇到数列的前n项和与通项构成的递推公式，可先利用前n项和与通项之间的关系转化为项的递推公式进行解答，遇到与n项和有关的不等式，可考虑先求和再证明.【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】15．如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位.依此规律,则第个几何体的表面积是_______个平方单位.1515题图【学问点】归纳推理数列求和D4M1【答案】【解析】3n(n+1)解析：1.从上向下看，每层顶面的面个数为：第一层是1，其次层是2，第三层是3………第五层是5，共5个面；2.左边和右边还有底面的面积相等，5层时为，1+2+3+4+5=15个面3.剩下最终2个面了，这2个面的特征就是都有一个角，一个角有3个面，一共有第一层1个角，其次层2角，第三层3个角……第五层5个角，共有1+2+3+4+5=15个角,45个面；4.计算：1层时=62层时=（1+2）×3+（1+2）×3=9+9=183层时=（1+2+3）×3+（1+2+3）×3=18+18=36第n层时为（1+2+3+……+n）×3+（1+2+3+……+n）×3也就是6×（1+2+3+……+n）所以当n=5是，表面积为6×15=90故第n个几何体的表面积是3n(n+1)个平方单位【思路点拨】可先由n=1,2,3,4,5观看规律，进而得到一般性结论，即利用归纳推理得到一般性规律，再利用等差数列求和公式得到最终结果.【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（2