【三维设计】2021-2022学年新课标A版数学选修1-2习题-第二章-推理与证明推理与证明

2.1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理归纳推理[提出问题]如图(甲)是第七届国际数学训练大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，假如把图(乙)中的直角三角形依此规律连续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成数列{an问题1：试计算a1，a2，a3，a4的值．提示：由图知：a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝eq\r(OA\o\al(2,1)＋A1A\o\al(2,2))＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，a3＝OA3＝eq\r(OA\o\al(2,2)＋A2A\o\al(2,3))＝eq\r(\r(2)2＋12)＝eq\r(3)，a4＝OA4＝eq\r(OA\o\al(2,3)＋A3A\o\al(2,4))＝eq\r(\r(3)2＋12)＝eq\r(4)＝2.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{an}的通项公式an吗？提示：能猜想出an＝eq\r(n)(n∈N*)．问题3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？提示：全部三角形的内角和都是180°.问题4：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由个别事实推出一般结论．[导入新知]1．归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．[化解疑难]归纳推理的特点(1)由归纳推理得到的结论具有猜想的性质，结论是否正确，还需经过规律证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，假如归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越牢靠.类比推理[提出问题]问题1：在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四周体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四周体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．问题2：三角形的面积等于底边与高乘积的eq\f(1,2)，那么在四周体中，如何表示四周体的体积？提示：四周体的体积等于底面积与高乘积的eq\f(1,3).问题3：以上两个推理有什么共同特点？提示：依据三角形的特征，推出四周体的特征．问题4：以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理．[导入新知]1．类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．2．类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理．[化解疑难]对类比推理的定义的理解(1)类比推理是两类对象特征之间的推理．(2)对象的各共性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的，假如两个对象有些性质相像或相同，那么它们另一些性质也可能相像或相同．(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的学问动身，通过类比提出新问题和获得新发觉．数、式中的归纳推理[例1]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－eq\f(2,3)，且Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．[解]当n＝1时，S1＝a1＝－eq\f(2,3)；当n＝2时，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－eq\f(4,3)，所以S2＝－eq\f(3,4)；当n＝3时，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,4)，所以S3＝－eq\f(4,5)；当n＝4时，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(6,5)，所以S4＝－eq\f(5,6).猜想：Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2)，n∈N*.[类题通法]归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：试验、观看→概括、推广→猜想一般性结论．该过程包括两个步骤：(1)通过观看个别对象发觉某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．[活学活用]将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910…依据以上排列的规律，求第n行(n≥3)从左向右数第3个数．解：前(n－1)行共有正整数[1＋2＋…＋(n－1)]个，即eq\f(n2－n,2)个，因此第n行第3个数是全体正整数中第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n2－n,2)＋3))个，即为eq\f(n2－n＋6,2).图形中的归纳推理[例2](1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31C．32 D．36(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是由于个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．[解析](1)选B法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.[答案](1)B(2)28[类题通法]解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．[活学活用]如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为()A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)C．n2 D．n解析：选B第一个图形共有12＝3×4个顶点，其次个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点.类比推理[例3]设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列．[解析]由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则T4＝beq\o\al(4,1)q6，T8＝beq\o\al(8,1)q1＋2＋…＋7＝beq\o\al(8,1)q28，T12＝beq\o\al(12,1)q1＋2＋…＋11＝beq\o\al(12,1)q66，T16＝beq\o\al(16,1)q1＋2＋…＋15＝beq\o\al(16,1)q120，∴eq\f(T8,T4)＝beq\o\al(4,1)q22，eq\f(T12,T8)＝beq\o\al(4,1)q38，eq\f(T16,T12)＝beq\o\al(4,1)q54，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T8,T4)))2＝eq\f(T12,T8)·T4，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T12,T8)))2＝eq\f(T8,T4)·eq\f(T16,T12)，故T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．[答案]eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)[类题通法]类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是：观看、比较→联想、类推→猜想新的结论．该过程包括两个步骤：(1)找出两类对象之间的相像性或全都性；(2)用一类对象的性质去猜想另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)．[活学活用]已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．解：类似的性质为：已知M，N是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N点的坐标为(－m，－n)．∵点M(m，n)在已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上，∴eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1，得n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2，同理y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2.∴y2－n2＝eq\f(b2,a2)(x2－m2)．则kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．∴kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．eq\a\vs4\al(,,1.从平面到空间的类比)[典例]三角形与四周体有下列相像性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简洁的封闭图形；四周体是空间中由三角形围成的最简洁的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四周体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，依据三角形的性质推想空间四周体的性质，并填写下表：三角形四周体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心[解]三角形和四周体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四周体的面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四周体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)，三角形的内角对应四周体的二面角，三角形的内切圆对应四周体的内切球．具体见下表：三角形四周体三角形的两边之和大于第三边四周体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边四周体的中截面的面积等于第四个面的面积的eq\f(1,4)，且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四周体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四周体内切球的球心[多维探究]1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形点线边长面积线线角三角形平行四边形圆空间图形线面面积体积二面角四周体六面体球2．常见的从平面到空间的类比有以下几种状况，要留意把握：(1)三角形类比到三棱锥：例：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC相互垂直，则AB2＋AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，争辩三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A­BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两相互垂直，则________________________________________________________________________”解析：“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“直角三棱锥的侧面积、底面积”．答案：Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB)＝Seq\o\al(2,△BCD)(2)平行四边形类比到平行六面体：例：平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”．类比这一结论，将其拓展到空间，可得到结论：“______________________________________”．解析：“平行四边形的边、对角线”类比为“平行六面体的棱、对角线”．答案：平行六面体四条对角线的平方和等于十二条棱的平方和(3)圆类比到球：例：半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：__________________________，②式可以用语言叙述为：_________________________________________________.解析：通过给出的两个量之间的关系，类比球的体积公式和球的表面积公式，我们不难发觉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3))′＝4πR2，从而使问题解决．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3))′＝4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数(4)平面解析几何类比到空间解析几何：例：类比平面内一点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P(x0，y0，z0)到平面Ax＋By＋Cz＋D＝0(A2＋B2＋C2≠0)的距离公式为d＝________________________________________________________________________.解析：类比平面内点到直线的距离公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))，易知答案应填eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2)).答案：eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2))[随堂即时演练]1．依据给出的等式猜想123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113解析：选B由题中给出的等式猜想，应是各位数都是1的七位数，即1111111.2．平面内平行于同始终线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A．空间中平行于同始终线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同始终线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行解析：选D利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四周体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：1∶84．观看下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，依据上述规律，第五个等式为________．解析：观看等式，发觉等式左边各指数幂的指数均为3，底数之和等于右边指数幂的底数，右边指数幂的指数为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝2125.如图，已知O是△ABC内任意一点，连结AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常接受“面积法”：eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f(S△OCA,S△ABC)＋eq\f(S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC,S△ABC)＝1.运用类比猜想，对于空间中的四周体V­BCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．解：如图，设O为四周体V­BCD内任意一点，连接VO，BO，CO，DO并延长交对面于V′，B′，C′，D′，类似结论为eq\f(OV′,VV′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＋eq\f(OD′,DD′)＝1.类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．由于eq\f(VO­BCD,VV­BCD)＝eq\f(\f(1,3)·S△BCD·h′,\f(1,3)·S△BCD·h)＝eq\f(OV′,VV′)(其中h′，h分别为两个四周体的高)，同理eq\f(VO­VCD,VB­VCD)＝eq\f(OB′,BB′)，eq\f(VO­VBD,VC­VBD)＝eq\f(OC′,CC′)，eq\f(VO­VBC,VD­VBC)＝eq\f(OD′,DD′)所以eq\f(OV′,VV′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＋eq\f(OD′,DD′)＝eq\f(VO­BCD,VV­BCD)＋eq\f(VO­VCD,VB­VCD)＋eq\f(VO­VBD,VC­VBD)＋eq\f(VO­VBC,VD­VBC)＝1.[课时达标检测]一、选择题1．观看下列各式：72＝49,73＝343,74＝2041，…，则72013的末两位数字为()A．01 B．43C．07 D．49解析：选C由于71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401，75＝16807,76＝117649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性毁灭，且周期T＝4.又2013＝4×503＋1，所以72013的末两位数字与71的末两位数字相同，为07.2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋aC．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×解析：选D等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1＋a2＋…＋a9＝2＋2＋…＋eq\o(2,\s\do4(9个))＝2×9.3．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A．(1)，(2) B．(1)，(3)C．(2)，(4) D．(1)，(4)解析：选C解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争辩数．比如：他们争辩过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289 B．1024C．1225 D．1378解析：选C记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1225.5．将正整数排成下表：12345678910111213141516……则在表中数字2013毁灭在()A．第44行第78列 B．第45行第78列C．第44行第77列 D．第45行第77列解析：选D第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936＜2013＜2025，∴2013在第45行．又2025－2013＝12，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2013在第89－12＝77列．二、填空题6．设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x＞0)，观看：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，…依据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析：由已知可归纳如下：f1(x)＝eq\f(x,21－1x＋21)，f2(x)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝eq\f(x,24－1x＋24)，…，fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)7．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O­xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示____________________．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O­xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面8．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，其次件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图①所示的六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图②所示的六边形，第四件首饰由28颗珠宝构成如图③所示的六边形，第五件首饰由45颗珠宝构成如图④所示的六边形，以后每件首饰都在前一件上依据这种规律增加确定数量的珠宝，使其构成更大的六边形，依此推断第六件首饰上应有________颗珠宝，第n件首饰上应有________颗珠宝(结果用n表示)．解析：设第n件首饰上所用珠宝数为an颗，据题意可知，a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，a5＝45，即a2－a1＝5，a3－a2＝9，a4－a3＝13，a5－a4＝17，所以a6－a5＝21，即a6＝66，同理an－an－1＝4n－3(n≥2，n∈N*)，所以an＝1＋5＋9＋…＋4n－3＝2n2－n.答案：662n2－n三、解答题9.如图所示，在△ABC中，a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，写出对空间四周体性质的猜想．解：如图所示，在四周体P­ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.10．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知an＝9900，问an是数列第几项？解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)由于a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．2．1.2演绎推理演绎推理[提出问题]看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22012＋1)是奇数，所以(22012＋1)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，假如直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．问题1：这两个问题中的第一句都说的什么？提示：都说的一般原理．问题2：其次句又说的什么？提示：都说的特殊示例．问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例作出推断．[导入新知]1．演绎推理的概念从一般性的原理动身，推出某个特殊状况下的结论的推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所争辩的特殊状况；(3)结论——依据一般原理，对特殊状况作出的推断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.[化解疑难]辨析演绎推理与合情推理(1)演绎推理是确定的、牢靠的，而合情推理则带有确定的风险性．严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论、证明思路等的发觉主要靠合情推理．(2)合情推理和演绎推理分别在猎取阅历和辨别真伪两个环节中扮演重要角色．因此，我们不仅要学会证明，而且要学会猜想．把演绎推理写成三段论的形式[例1]将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形对角线相互平分．(4)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．[解](1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形对角线相互平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线相互平分．(结论)(4)数列{an}中，假如当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)通项公式an＝3n＋2，n≥2时，an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)[类题通法]三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“假如b⇒c，a⇒b，则a⇒c.”其中，b⇒c为大前提，供应了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，供应了一个特殊状况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的规律结果．[活学活用]把下列推断写成三段论的形式：(1)y＝sinx(x∈R)是周期函数．(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．解：(1)三角函数是周期函数，………………大前提y＝sinx(x∈R)是三角函数，………………小前提y＝sinx(x∈R)是周期函数．………………结论(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，………………大前提∠1和∠2是对顶角，………………小前提∠1和∠2相等．………………结论三段论在证明几何问题中的应用[例2]已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ACD.[证明]如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.由于M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以P，Q分别是AD，DC的中点．又由于eq\f(BM,MP)＝eq\f(BN,NQ)，所以MN∥PQ，又MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，所以MN∥平面ACD.[类题通法]三段论在几何问题中的应用(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊状况，就能得出相应结论．[活学活用]已知在梯形ABCD中，如图，AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.证明：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，(小前提)∴∠1＝∠2.(结论)∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，(小前提)∴∠1＝∠3.(结论)∵等于同一个角的两个角相等，(大前提)∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提)∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.(结论)同理可证DB平分∠CBA.演绎推理在代数中的应用[例3]已知函数f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．[证明]设x1，x2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1＋eq\f(x1－2,x1＋1)－ax2－eq\f(x2－2,x2＋1)＝ax1－ax2＋eq\f(x1－2,x1＋1)－eq\f(x2－2,x2＋1)＝ax1－ax2＋eq\f(3x1－x2,x1＋1x2＋1)，∵a＞1，且x1＜x2，∴ax1＜ax2，x1－x2＜0.又∵x1＞－1，x2＞－1，∴(x1＋1)(x2＋1)＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．[类题通法]使用三段论应留意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，依据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误：①条件分析错误(小前提错)．②定理引入和应用错误(大前提错)．③推理过程错误等．[活学活用]已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m).证明：由于不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不转变方向，(大前提)b＜a，m＞0，(小前提)所以，mb＜ma.(结论)由于不等式两边同加上一个数，不等号不转变方向，(大前提)mb＜ma，(小前提)所以，mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)由于不等式两边同除以一个正数，不等号不转变方向，(大前提)b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)所以，eq\f(ba＋m,aa＋m)＜eq\f(ab＋m,aa＋m)，即eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m).(结论)eq\a\vs4\al(,,2.混淆三段论的大小前提而致误)[典例]定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x－y)＋f(x＋y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数证明：令x＝y＝0，则有f(0)＋f(0)＝2f(0)×f(0由于f(0)≠0，所以f(0)＝1，令x＝0，则有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(所以f(－y)＝f(y)，因此，f(x)是偶函数．以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是：________________________________________________________________________.[解析]通过两次赋值先求得“f(0)＝1”，再证得“f(－y)＝f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f(－y)＝f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，明显大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数”[答案]若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数[易错防范]解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提——小前提——结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据．因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过程简洁确定本题答案．本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误．[成功破障]全部眼睛近视的人都是聪慧人，我近视得很厉害，所以我是聪慧人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________．①我是个笨人，由于全部的聪慧人都是近视眼，而我的视力那么好．②全部的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．③小陈格外兴奋，所以小陈确定长得很胖，由于兴奋的人都长得很胖．④全部尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡．解析：依据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这明显是错误的．①②③不符合三段论的形式．答案：④[随堂即时演练]1．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等解析：选B得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．2．“由于对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logeq\f(1,3)x是对数函数(小前提)，所以y＝logeq\f(1,3)x是增函数(结论)．”上面推理错误的缘由是()A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错解析：选A大前提是错误的，由于对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数．3．求函数y＝eq\r(log2x－2)的定义域时，第一步推理中大前提是eq\r(a)有意义，即a≥0，小前提是eq\r(log2x－2)有意义，结论是________．解析：由三段论的形式可知，结论是log2x－2≥0.答案：log2x－2≥04．用三段论证明函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：①________________________________………………大前提②________________________________………………小前提③________________________________……结论答案：①假如函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)在给定区间内是增函数．②任取x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1－x2x1x2－1,x1x2)，由于1＜x1＜x2，故x1－x2＜0，x1x2＞1，即x1x2－1＞0，所以f(x1)＜f(x2)．③函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(1，＋∞)上为增函数．5．将下列推理写成“三段论”的形式．(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.33eq\o(2,\s\up6(·))是有理数．解：(1)向量是既有大小又有方向的量．……大前提零向量是向量．……小前提零向量也有大小和方向．……结论(2)每一个矩形的对角线相等．……大前提正方形是矩形．……小前提正方形的对角线相等．……结论(3)全部的循环小数都是有理数．……大前提0．33eq\o(2,\s\up6(·))是循环小数．……小前提0．33eq\o(2,\s\up6(·))是有理数．……结论[课时达标检测]一、选择题1．给出下面一段演绎推理：有理数是真分数，……大前提整数是有理数，……小前提整数是真分数．……结论结论明显是错误的，是由于()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误解析：选A推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．2．“全部金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于()A．演绎推理 B．类比推理C．合情推理 D．归纳推理解析：选A是由一般到特殊的推理，故是演绎推理．3．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，假如∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三全部班人数超过50人C．由三角形的性质，推想四周体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，由此归纳出an的通项公式解析：选AB项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．4．“全部9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故该奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是()A．小前提错误 B．结论错误C．正确的 D．大前提错误答案：C5．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内全部直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.结论明显是错误的，这是由于()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误解析：选A大前提是错误的，直线平行于平面，则不愿定平行于平面内全部直线，还有异面直线的状况．二、填空题6．已知结论“函数y＝2x＋5的图像是一条直线”，若将其恢复成完整的三段论后，大前提是________．解析：大前提：一次函数的图像是一条直线小前提：函数y＝2x＋5是一次函数结论：函数y＝2x＋5的图像是一条直线答案：一次函数的图像是一条直线7．已知推理：“由于△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是____________________．解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形8．若不等式ax2＋2ax＋2＜0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．解析：①a＝0时，有2＜0，明显此不等式解集为∅.②a≠0时需有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ≤0，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,4a2－8a≤0，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,0≤a≤2，))所以0＜a≤2.综上可知实数a的取值范围是[0,2]．答案：[0,2]三、解答题9．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥FA，求证：ED＝AF.证明：同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以DF∥EA.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥FA，且DF∥EA，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提所以ED＝AF.结论10．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：由于x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)所以f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)设x1，x2∈R且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，由于x＞0时，f(x)＜0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．由于f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)f(－3)＝－f(3)＝6，所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6._2.2直接证明与间接证明2．2.1综合法和分析法综合法[提出问题]阅读下列证明过程，回答问题．求证：π是函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的一个周期．证明：由于f(x＋π)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋π＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2π＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝f(x)，所以由周期函数的定义可知，π是函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的一个周期．问题1：本题的条件和结论各是什么？提示：条件：f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))；结论：π是f(x)的一个周期．问题2：本题的证明挨次是什么？提示：从已知利用诱导公式到待证结论．[导入新知]1．综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示eq\x(P⇒Q1)→eq\x(Q1⇒Q2)→eq\x(Q2⇒Q3)→…→eq\x(Qn⇒Q)(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)[化解疑难]综合法的特点(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是查找已知条件的必要条件．(2)综合法从命题的条件动身，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.分析法[提出问题]阅读下列证明过程，回答问题．求证：eq\r(6)＋eq\r(7)≥2eq\r(2)＋eq\r(5).证明：要证原不等式成立，只需证(eq\r(6)＋eq\r(7))2≥(2eq\r(2)＋eq\r(5))2，即证2eq\r(42)≥2eq\r(40)，该式明显成立，因此原不等式成立．问题1：本题证明从哪里开头？提示：从结论开头．问题2：证明思路是什么？提示：寻求每一步成立的充分条件．[导入新知]1．分析法的定义从要证明的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示eq\x(Q⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→eq\x(P2⇐P3)→…→eq\x(\a\al(得到一个明显,成立的条件))[化解疑难]分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是查找使结论成立的充分条件．(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等．综合法的应用[例1]已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.[证明]∵a，b，c是正数，∴b2＋c2≥2bc，∴a(b2＋c2)≥2abc.①同理，b(c2＋a2)≥2abc，②c(a2＋b2)≥2abc.③∵a，b，c不全相等，∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”．∴①②③式相加得a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.[类题通法]综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特殊地，依据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．[活学活用]已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)≥9.证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(4a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝4＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b)＋1＝5＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b)≥5＋2eq\r(\f(4b,a)×\f(a,b))＝5＋4＝9.当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝2b时“＝”成立.分析法的应用[例2]设a＞b＞0，求证：eq\r(a2－b2)＋eq\r(ab－b2)＞eq\r(a)(eq\r(a)－eq\r(b))．[证明]由于a＞b＞0，所以a2＞ab＞b2，所以ab－b2＞0.要证eq\r(a2－b2)＋eq\r(ab－b2)＞eq\r(a)(eq\r(a)－eq\r(b))，只需证eq\f(a2－ab,\r(a2－b2)－\r(ab－b2))＞eq\f(a2－ab,\r(a2)＋\r(ab))，只需证eq\r(a2－b2)－eq\r(ab－b2)＜eq\r(a2)＋eq\r(ab).而eq\r(a2－b2)＜eq\r(a2)＋eq\r(ab)＋eq\r(ab－b2)明显成立．所以eq\r(a2－b2)＋eq\r(ab－b2)＞eq\r(a)(eq\r(a)－eq\r(b))成立．[类题通法]分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．[活学活用]在锐角△ABC中，求证：tanAtanB＞1.证明：要证tanAtanB＞1，只需证eq\f(sinAsinB,cosAcosB)＞1，∵A、B均为锐角，∴cosA＞0，cosB＞0.即证sinAsinB＞cosAcosB，即cosAcosB－sinAsinB＜0，只需证cos(A＋B)＜0.∵△ABC为锐角三角形，∴90°＜A＋B＜180°，∴cos(A＋B)＜0，因此tanAtanB＞1.综合法和分析法的综合应用[例3]已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[证明]法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，只需证eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，化简，得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.由于△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，即a2＋c2－b2＝ac成立．∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．法二：(综合法)由于△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°.所以c2＋a2＝ac＋b2，两边加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a＋b)＋1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b＋c)＋1))＝3，即eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[类题通法]综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；②已知条件明确，且简洁通过找已知条件的必要条件靠近欲得结论的题型．(2)分析法适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较简洁的问题．[活学活用]设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.证明：法一：(分析法)要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．又因a＋b＞0，故只需证a2－ab＋b2＞ab成立，即需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2＞0明显成立．由此命题得证．法二：(综合法)a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)2＞0⇔a2－2ab＋b2＞0⇔a2－ab＋b2＞ab.∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．∴a3＋b3＞a2b＋ab2.eq\a\vs4\al(,,2.综合法、分析法的综合应用)[典例](12分)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)的图像与f(x)的图像关于y轴对称．求证：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))为偶函数．[解题流程]eq\x(求证：f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))为偶函数，需证明f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,2)))＝f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))))eq\x(\a\al(1fx＝ax2＋bx＋ca≠0,2y＝fx＋1的图像与y＝fx的图像关于y轴对称))eq\x(用分析法转化所证问题→用综合法证明结论)[规范解答]法一：要证feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))为偶函数，只需证明其对称轴为直线x＝0，(2分)[活学活用]已知a≥－eq\f(1,2)，b≥－eq\f(1,2)，a＋b＝1，求证：eq\r(2a＋1)＋eq\r(2b＋1)≤2eq\r(2).证明：要证eq\r(2a＋1)＋eq\r(2b＋1)≤2eq\r(2)，只需证2(a＋b)＋2＋2eq\r(2a＋1)·eq\r(2b＋1)≤8.由于a＋b＝1，即证eq\r(2a＋1)·eq\r(2b＋1)≤2.由于a≥－eq\f(1,2)，b≥－eq\f(1,2)，所以2a＋1≥0,2b＋1≥0，所以eq\r(2a＋1)·eq\r(2b＋1)≤eq\f(2a＋1＋2b＋1,2)＝eq\f(2a＋b＋1,2)＝2.即eq\r(2a＋1)·eq\r(2b＋1)≤2成立，因此原不等式成立．[随堂即时演练]1．下面叙述正确的是()A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法，分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是确定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的解析：选A直接证明包括综合法和分析法．2．欲证不等式eq\r(3)－eq\r(5)＜eq\r(6)－eq\r(8)成立，只需证()A．(eq\r(3)－eq\r(5))2＜(eq\r(6)－eq\r(8))2B．(eq\r(3)－eq\r(6))2＜(eq\r(5)－eq\r(8))2C．(eq\r(3)＋eq\r(8))2＜(eq\r(6)＋eq\r(5))2D．(eq\r(3)－eq\r(5)－eq\r(6))2＜(－eq\r(8))2解析：选C要证eq\r(3)－eq\r(5)＜eq\r(6)－eq\r(8)成立，只需证eq\r(3)＋eq\r(8)＜eq\r(6)＋eq\r(5)成立，只需证(eq\r(3)＋eq\r(8))2＜(eq\r(6)＋eq\r(5))2成立．3．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8.证明过程如下：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)－1＝eq\f(b＋c,a)＞0，eq\f(1,b)－1＝eq\f(a＋c,b)＞0，eq\f(1,c)－1＝eq\f(a＋b,c)＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))＝eq\f(b＋c,a)·eq\f(a＋c,b)·eq\f(a＋b,c)≥eq\f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．这种证法是________(填综合法、分析法)．解析：本题从已知条件动身，不断地开放思考，去探究结论，这种方法是综合法．答案：综合法4．将下面用分析法证明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步骤补充完整：要证eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________明显成立，因此原不等式成立．解析：用分析法证明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步骤为：要证eq\f(a2＋b2,2)≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0明显成立，所以原不等式成立．答案：a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥05．已知a＞0，b＞0，求证：eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).(要求用两种方法证明)证明：法一：(综合法)由于a＞0，b＞0，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))－eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(a))－\r(a)))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(b))－\f(1,\r(a))))＝eq\f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab))≥0，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).法二：(分析法)要证eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，只需证aeq\r(a)＋beq\r(b)≥aeq\r(b)＋beq\r(a)，即证(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))≥0，由于a＞0，b＞0，所以a－b与eq\r(a)－eq\r(b)符号相同，不等式(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))≥0成立，所以原不等式成立．[课时达标检测]一、选择题1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”中应用了()A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法解析：选B符合综合法的证明思路．2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)解析：选A本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)＜0，∴f(x)＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上为减函数．3．设a＞0，b＞0，若eq\r(3)是3a与3b的等比中项，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．8B．4C．1D.eq\f(1,4)解析：选Beq\r(3)是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，由于a＞0，b＞0，所以eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)＝eq\f(1,2)⇒ab≤eq\f(1,4)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥eq\f(1,\f(1,4))＝4.4．已知f(x)＝ax＋1,0＜a＜1，若x1，x2∈R，且x1≠x2，则()A.eq\f(fx1＋fx2,2)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))B.eq\f(fx1＋fx2,2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))C.eq\f(fx1＋fx2,2)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))D.eq\f(fx1＋fx2,2)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))解析：选D由于x1≠x2，所以eq\f(fx1＋fx2,2)＝eq\f(ax1＋1＋ax2＋1,2)＞eq\r(ax1＋1·ax2＋1)＝aeq\f(x1＋x2,2)＋1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，所以eq\f(fx1＋fx2,2)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2))).5．A，B为△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C若A>B，则a>b，又eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinA>sinB；若sinA>sinB，则由正弦定理得a>b，∴A>B.二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx取导得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：该证明过程符合综合法的特点．答案：综合法7．假如aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，则实数a，b应满足的条件是________．解析：aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)⇔aeq\r(a)－aeq\r(b)＞beq\r(a)－beq\r(b)⇔a(eq\r(a)－eq\r(b))＞b(eq\r(a)－eq\r(b))⇔(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))＞0⇔(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))2＞0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b8．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)且eq\f(π,2)≤θ≤eq\f(3π,4)，则cos2θ＝________.解析：由于sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，所以1＋sin2θ＝eq\f(1,25)，所以sin2θ＝－eq\f(24,25).由于eq\f(π,2)≤θ≤eq\f(3π,4)，所以π≤2θ≤eq\f(3π,2).所以cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\f(7,25).答案：－eq\f(7,25)三、解答题9．设x＞0，y＞0，证明不等式(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3).证明：法一：(分析法)证明原不等式成立，即证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，即证x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)＞x6＋y6＋2x3y3，即证3x2y2(x2＋y2)＞2x3y3，由于x＞0，y＞0，所以只需证x2＋y2＞eq\f(2,3)xy.又由于x＞0，y＞0，所以x2＋y2≥2xy＞eq\f(2,3)xy.所以(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3).法二：(综合法)由于x＞0，y＞0，所以(x2＋y2)3＝x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)≥x6＋y6＋6x3y3＞x6＋y6＋2x3y3＝(x3＋y3)2，所以(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3).10．设f(x)＝lnx＋eq\r(x)－1，证明：(1)当x＞1时，f(x)＜eq\f(3,2)(x－1)；(2)当1＜x＜3时，f(x)＜eq\f(9x－1,x＋5).证明：(1)记g(x)＝lnx＋eq\r(x)－1－eq\f(3,2)(x－1)，则当x＞1时，g′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,2\r(x))－eq\f(3,2)＜0.又g(1)＝0，故g(x)＜0，即f(x)＜eq\f(3,2)(x－1)．(2)记h(x)＝f(x)－eq\f(9x－1,x＋5)，则h′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,2\r(x))－eq\f(54,x＋52)＝eq\f(2＋\r(x),2x)－eq\f(54,x＋52)＜eq\f(x＋5,4x)－eq\f(54,x＋52)＝eq\f(x＋53－216x,4xx＋52).令p(x)＝(x＋5)3－216x，则当1＜x＜3时，p′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，因此p(x)在(1,3)内单调递减，又p(1)＝0，则p(x)＜0，故h′(x)＜0.因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)＝0，则h(x)＜0，故当1＜x＜3时，f(x)＜eq\f(9x－1,x＋5).2．2.2反证法反证法[提出问题]出名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小伴侣在路上玩耍．一天，他们发觉路边的一棵树上结满了李子，小伴侣一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小伴侣摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子确定是苦的．”问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？提示：运用了反证法的思想．问题2：反证法解题的实质是什么？提示：否定结论，导出冲突，从而证明原结论正确．[导入新知]1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的冲突类型反证法的关键是在正确的推理下得出冲突，这个冲突可以是与已知条件冲突，或与假设冲突，或与定义、公理、定理、事实冲突等．[化解疑难]1．反证法实质用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：eq\x(\a\al(确定条件p，,否定结论q))→eq\x(\a\al(导致逻,辑冲突))→eq\x(\a\al(“p且綈q”,为假))→eq\x(\a\al(“若