【优化设计】2020-2021学年高一下学期数学(人教版必修4)第二章章末综合检测

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))化简后等于()A．3eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(BA,\s\up6(→)) D.eq\o(CA,\s\up6(→))解析：选B.原式＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0eq\a\vs4\al(＋)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，故选B.2．已知i＝(1，0)，j＝(0，1)，则与2i＋3j垂直的向量是()A．3i＋2j B．－2i＋3jC．－3i＋2j D．2i－3j解析：选C.2i＋3j＝(2，3)，C中－3i＋2j＝(－3，2)．由于2×(－3)＋3×2＝0，所以2i＋3j与－3i＋2j垂直．3．下列说法正确的是()A．两个单位向量的数量积为1B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝cC.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))D．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b解析：选D.A中，两向量的夹角不确定，故A错；B中，若a⊥b，a⊥c，b与c反方向，则不成立，故B错；C中，应为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，故C错；D中，由于b⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b，故D正确．4．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2 B．0C．1 D．2解析：选D.由于a＝(1，1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6，4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.5．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b解析：选B.由于|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0，所以a⊥b，选B.6．已知向量a＝(3，4)，b＝(－3，1)，a与b的夹角为θ，则tanθ等于()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．3 D．－3解析：选D.由题意，得a·b＝3×(－3)＋4×1＝－5，|a|＝5，|b|＝eq\r(10)，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－5,5\r(10))＝－eq\f(1,\r(10)).∵θ∈[0，π]，∴sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(3,\r(10))，∴tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－3.7．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，则顶点D的坐标为()A．(2，eq\f(7,2)) B．(2，－eq\f(1,2))C．(3，2) D．(1，3)解析：选A.设D(x，y)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4，3)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x，y－2)．又eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝2x，,3＝2（y－2），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(7,2).))8．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为()A．40N B．10eq\r(2)NC．20eq\r(2)N D.eq\r(10)N解析：选B.对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20N时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10eq\r(2)N；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10eq\r(2)N.9．A，B，C，D为平面上四个互异点，且满足(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的外形是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析：选B.∵(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴△ABC为等腰三角形．10．在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同始终线上的等价条件为存在唯一的实数λ，使得eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))成立，此时称实数λ为“向量eq\o(OC,\s\up6(→))关于eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))的终点共线分解系数”．若已知P1(3，1)，P2(－1，3)，且向量eq\o(OP3,\s\up6(→))与向量a＝(1，1)垂直，则“向量eq\o(OP3,\s\up6(→))关于eq\o(OP1,\s\up6(→))和eq\o(OP2,\s\up6(→))的终点共线分解系数”为()A．－3 B．3C．1 D．－1解析：选D.设eq\o(OP3,\s\up6(→))＝(x，y)，则由eq\o(OP3,\s\up6(→))⊥a知x＋y＝0，于是eq\o(OP3,\s\up6(→))＝(x，－x)，设eq\o(OP3,\s\up6(→))＝λeq\o(OP1,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OP2,\s\up6(→))，(x，－x)＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)，∴λ＝－1.二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知点A(－1，－5)，a＝(2，3)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a，则点B的坐标为________．解析：设B(x，y)，(x＋1，y＋5)＝3(2，3)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝6，,y＋5＝9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4.))答案：(5，4)12．设e1，e2是两个不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝e1－2e2.若以a，b为基底表示向量e1＋2e2，即e1＋2e2＝λa＋μb，则λ＋μ＝________．解析：由a＝3e1＋4e2，b＝e1－2e2，得e1＝eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)b，e2＝eq\f(1,10)a－eq\f(3,10)b，∴e1＋2e2＝eq\f(2,5)a－eq\f(1,5)b，即λ＋μ＝eq\f(2,5)－eq\f(1,5)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)13．向量a＝(1，2)，b＝(－1，m)，向量a，b在直线y＝x＋1上的投影相等，则向量b＝________．解析：直线y＝x＋1的方向向量为c＝(1，1)，则可知eq\f(a·c,|c|)＝eq\f(b·c,|c|)，则a·c＝b·c，所以1＋2＝－1＋m，解得m＝4，所以b＝(－1，4)．答案：(－1，4)14.如图所示，在正方形ABCD中，已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最大值是________．解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AN,\s\up6(→))|·cos∠BAN，|eq\o(AN,\s\up6(→))|·cos∠BAN表示eq\o(AN,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影．又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最大值是4.答案：415．设向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为________．解析：由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为1，它与半径为1的圆最多有4个交点．答案：4三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6.∴|a＋b|＝eq\r(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝eq\r(42＋32＋2×（－6）)＝eq\r(13).(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10.∴向量a在向量a＋b方向上的投影为eq\f(a·（a＋b）,|a＋b|)＝eq\f(10,\r(13))＝eq\f(10\r(13),13).17．已知向量a与b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝eq\r(3).(1)当a∥b时，求(a－b)·(a＋2b)的值；(2)当θ＝eq\f(5π,6)时，求|2a－b|＋(a＋b)·(a－b)的值；(3)定义ab＝|a|2－eq\r(3)a·b，若ab≥7，求θ的取值范围．解：(1)∵a∥b，∴cosθ＝±1.∴(a－b)·(a＋2b)＝|a|2＋a·b－2|b|2＝－2＋2eq\r(3)cosθ＝－2±2eq\r(3).(2)∵|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝16－4×2×eq\r(3)×coseq\f(5π,6)＋3＝31，∴|2a－b|＝eq\r(31)，又(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝1，∴|2a－b|＋(a＋b)·(a－b)＝eq\r(31)＋1.(3)∵ab＝|a|2－eq\r(3)a·b＝4－eq\r(3)×2×eq\r(3)cosθ≥7，∴cosθ≤－eq\f(1,2)，又θ∈[0，π]，∴θ∈[eq\f(2π,3)，π]．18．在△OAB的边OA，OB上分别有一点P，Q，已知OP∶PA＝1∶2，OQ∶QB＝3∶2，连接AQ，BP，设它们交于点R，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a与b表示eq\o(OR,\s\up6(→))；(2)若|a|＝1，|b|＝2，a与b夹角为60°，过R作RH⊥AB交AB于点H，用a，b表示eq\o(OH,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)b，由A，R，Q三点共线，可设eq\o(AR,\s\up6(→))＝meq\o(AQ,\s\up6(→)).故eq\o(OR,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AR,\s\up6(→))＝a＋meq\o(AQ,\s\up6(→))＝a＋m(eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝a＋m(eq\f(3,5)b－a)＝(1－m)a＋eq\f(3,5)mb.同理，由B，R，P三点共线，可设eq\o(BR,\s\up6(→))＝neq\o(BP,\s\up6(→)).故eq\o(OR,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BR,\s\up6(→))＝b＋n(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(n,3)a＋(1－n)b.由于a与b不共线，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＝\f(n,3)，,\f(3,5)m＝1－n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,6)，,n＝\f(1,2).))∴eq\o(OR,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,2)b.(2)由A，H，B三点共线，可设eq\o(BH,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，则eq\o(OH,\s\up6(→))＝λa＋(1－λ)b，eq\o(RH,\s\up6(→))＝eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OR,\s\up6(→))＝(λ－eq\f(1,6))a＋(eq\f(1,2)－λ)b.又eq\o(RH,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(RH,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.∴[(λ－eq\f(1,6))a＋(eq\f(1,2)－λ)b]·(b－a)＝0.又∵a·b＝|a||b|cos60°＝1，∴λ＝eq\f(1,2)，∴eq\o(OH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.19．已知a＝(2＋sinx，1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3，1)，d＝(1，k)(x∈R，k∈R)．(1)若x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，且a∥(b＋c)，求x的值；(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值；(3)是否存在实数k和x，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)∵b＋c＝(sinx－1，－1)，又a∥(b＋c)，∴－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－eq\f(1,2).又x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，∴x＝－eq\f(π,6).(2)∵a＝(2＋sinx，1)，b＝(2，－2)，∴f(x)＝a·b＝2(2＋sinx)－2＝2sinx＋2.又x∈R，∴当sinx＝－1时，f(x)有最小值，且最小值为0.(3)a＋d＝(3＋sinx，1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，∴k＝sin2x＋2sinx－4＝(sinx＋1)2－5.由sinx∈[－1，1]，得sinx＋1∈[0，2]，∴(sinx＋1)2∈[0，4]，故k∈[－5，－1]．∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．20．在平面直角坐标系中，A(1，1)、B(2，3)、C(s，t)、P(x，y)，△ABC是等腰直角三角形，B为直角顶点．(1)求点C(s，t)；(2)设点C(s，t)是第一象限的点，