【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修1-2双基限时练4

双基限时练(四)1．下列说法中正确的是()A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程答案D2．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与lg(x＋y)类比，则lg(x＋y)＝lgx＋lgyB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把a(b＋c)与ax＋y类比，则ax＋y＝ax＋ayD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则a·(b＋c)＝a·b＋a·c解析由向量的运算性质知，a·(b＋c)＝a·b＋a·c正确．答案D3．立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是()A．三棱柱 B．三棱台C．三棱锥 D．正方体答案C4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四周体的下列性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．A．① B．③C．①② D．①②③答案D5．三角形的面积为S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四周体的体积为()A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)·r(S1，S2，S3，S4分别为四周体的四个面的面积，r为四周体内切球的半径)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)·h(h为四周体的高)解析平面几何与立体几何的类比，类比的学问点有：面积与体积，边长与面积，圆与球．因此，应选C.答案C6．在平面直角坐标系内，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的方程为()A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ac)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1D．ax＋by＋cz＝1答案A7．圆的面积S＝πr2，周长c＝2πr，两者满足c＝S′(r)，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________.解析圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得，球的体积V＝eq\f(4,3)πR3，表面积S＝4πR2，满足S＝V′(R)．答案V球＝eq\f(4,3)πR3，S球＝4πR2，满足S＝V′(R)8．等差数列{an}中，有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是________．答案beq\o\al(2,n)＝bn－1·bn＋1(n≥2，且n∈N*)9．坐标平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标为(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))．类比以上结论，若△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC重心G的坐标为________．答案(eq\f(x1＋x2＋x3,3)，eq\f(y1＋y1＋y3,3))10．找出圆与球的相像之处，并用圆的性质类比球的有关性质．完成下表中的空白.圆球(1)圆心与弦(非直径)中点的直线垂直于弦(1)_______________________________________________________(2)与圆心距离相等的弦长相等(2)_______________________________________________________(3)圆的周长C＝πd(3)_______________________________________________________(4)圆的面积S＝πr2(4)_______________________________________________________答案(1)球心与截面圆(不过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面(2)与球心的距离相等的两个截面圆的面积相等(3)球的表面积S＝4πr2(4)球的体积V＝eq\f(4,3)πr311．在圆x2＋y2＝r2中，AB为直径，C为圆上异于AB的任意一点，则有kAC·kBC＝－1，你能用类比的方法得出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中有什么样的结论？解设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A点关于中心的对称点B的坐标为(－x0，－y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则kAP·kBP＝eq\f(y－y0,x－x0)·eq\f(y＋y0,x＋x0)＝eq\f(y2－y\o\al(2,0),x2－x\o\al(2,0)).由于A，B，P三点都在椭圆上．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，))两式相减有eq\f(x2－x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y2－y\o\al(2,0),b2)＝0，所以eq\f(y2－y\o\al(2,0),x2－x\o\al(2,0))＝－eq\f(b2,a2)，即kAP·kBP＝－eq\f(b2,a2).故椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中过中心的一条弦的两个端点A，B，P为椭圆上异于A，B的任意一点，则有kAP·kBP＝－eq\f(b2,a2).12．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).在四周体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．图1解如图1所示，在Rt△ABC中，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BC·BD·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又∵BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想在四周体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD于E，则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).图2如图2，连接BE交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，