【-学案导学设计】2020-2021学年高中数学(人教A版-选修1-1)课时作业第二章-2.3.1

§2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程课时目标1.把握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程(1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程．(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________．(3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________．(4)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．(5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是________，开口方向________．一、选择题1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()A.eq\f(|a|,4)B.eq\f(|a|,2)C．|a|D．－eq\f(a,2)2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1上，则抛物线方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝±8x3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>eq\f(p,2))，则点M的横坐标是()A．a＋eq\f(p,2)B．a－eq\f(p,2)C．a＋pD．a－p4．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有()A．0条B．1条C．2条D．3条5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－26．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(eq\r(3)，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比eq\f(S△BCF,S△ACF)等于()A．eq\f(4,5)B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,7)D．eq\f(1,2)题号123456答案二、填空题7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．9．已知抛物线x2＝y＋1上确定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11．求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为eq\r(15)的抛物线的标准方程．力气提升12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A．eq\f(1,2)B．1C．2D．13．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全全都的，但需要留意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必需先化成标准形式．§2.3抛物线2．3.1抛物线及其标准方程答案学问梳理1．相等焦点准线2．(1)标准(2)(eq\f(p,2)，0)x＝－eq\f(p,2)向右(3)(－eq\f(p,2)，0)x＝eq\f(p,2)向左(4)(0，eq\f(p,2))y＝－eq\f(p,2)向上(5)(0，－eq\f(p,2))y＝eq\f(p,2)向下作业设计1．B[由于y2＝ax，所以p＝eq\f(|a|,2)，即该抛物线的焦点到其准线的距离为eq\f(|a|,2)，故选B.]2．D[由题意知抛物线的焦点为双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.]3．B[由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－eq\f(p,2)的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－eq\f(p,2).]4．C[简洁发觉点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，或者l在M点处与抛物线相切时，l与抛物线有一个公共点，故选C.]5．B[∵y2＝2px的焦点坐标为(eq\f(p,2)，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－eq\f(p,2)，即x＝y＋eq\f(p,2)，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴eq\f(y1＋y2,2)＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.]6．A[如图所示，设过点M(eq\r(3)，0)的直线方程为y＝k(x－eq\r(3))，代入y2＝2x并整理，得k2x2－(2eq\r(3)k2＋2)x＋3k2＝0，则x1＋x2＝eq\f(2\r(3)k2＋2,k2).由于|BF|＝2，所以|BB′|＝2.不妨设x2＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)是方程的一个根，可得k2＝eq\f(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\r(3)))2)，所以x1＝2.eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(\f(1,2)|BC|·d,\f(1,2)|AC|·d)＝eq\f(|BC|,|AC|)＝eq\f(|BB′|,|AA′|)＝eq\f(2,2＋\f(1,2))＝eq\f(4,5).]7．y＝3解析抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.8．y＝4x29．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析由题意知，设P(x1，xeq\o\al(2,1)－1)，Q(x2，xeq\o\al(2,2)－1)，又A(－1,0)，PA⊥PQ，－*6]＝(－x，－2－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0，即(－1－x1,1－xeq\o\al(2,1))·(x2－x1，xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))＝0，也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－xeq\o\al(2,1))·(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))＝0.∵x1≠x2，且x1≠－1，∴上式化简得x2＝eq\f(1,1－x1)－x1＝eq\f(1,1－x1)＋(1－x1)－1，由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3.10．解设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))2)＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝2\r(6)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝－2\r(6).))故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2eq\r(6).抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.11．解设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．①直线方程变形为y＝2x＋1，②设抛物线截直线所得弦为AB.②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，则|AB|＝eq\r(1＋22\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－4,4)))2－4×\f(1,4))))＝eq\r(15).解得a＝12或a＝－4.∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.12．C[本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．方法一由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－eq\f(p,2).∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，∴3＋eq\f(p,2)＝4，∴p＝2.方法二作图可知，抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，所以－eq\f(p,2)＝－1，p＝2.]13．解设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则由已知得下列等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs