【同步辅导】2021高中数学北师大版必修四导学案：《单位圆与诱导公式》

第4课时单位圆与诱导公式1.借助单位圆,利用点的对称性推导出“-α,π+α,π-α,α+π2”的诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值2.会应用公式进行简洁的三角函数的化简与求值.3.通过公式的运用,学会从未知到已知,简单到简洁的转化方法.我们已经学习了任意角的正弦、余弦函数的定义,以及终边相同的角的正弦、余弦函数值也相等,即sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)与cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z),公式体现了求任意角的正弦、余弦函数值转化为求0°~360°的角的正弦、余弦函数值,那么我们能否将0°~360°间的角的正弦、余弦函数值转化为锐角的正弦、余弦函数值呢?问题1:将任意角转化成0°~360°间的角的几种状况由于任意角都可以通过终边相同的角转化成0°~360°间的角,对于任意0°~360°的角β,只有四种可能(其中α为锐角),则有β=α问题2:(1)角α与-α的正弦函数、余弦函数关系如图,在单位圆中对任意角∠MOP=α,作∠MOP'=-α,这两个角的终边与单位圆的交点分别为P和P',可知OP与OP'关于轴对称,设P点的坐标为(a,b),则点P'的坐标为(a,-b),所以sin(-α)=-b,cosα=a.即sin(-α)=,cos(-α)=.

(2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系如图,在直角坐标系的单位圆中,对任意角∠MOP=α,其终边与单位圆的交点为P,当点P按逆(顺)时针方向旋转π至点P'时,点P'的坐标为:(cos(α+π),sin(α+π))或(cos(α-π),sin(α-π)),此时点P与点P'关于原点对称,横、纵坐标都互为,故sin(α+π)=,cos(α+π)=;sin(α-π)=,cos(α-π)=.

(3)角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系如图,在单位圆中,当∠MOP=α是锐角时,作∠MOP'=π-α,不难看出,点P和点P'关于y轴对称,则有sin(π-α)=,

cos(π-α)=.

(4)角α与π2+α在单位圆中,仿照上面的方法,可以得出,sin(α+π2)=,cos(α+π2)=问题3:任意角的正弦函数与余弦函数的诱导公式(1)sin(2kπ+α)=;cos(2kπ+α)=;

(2)sin(-α)=;cos(-α)=;

(3)sin(2π-α)=;cos(2π-α)=;

(4)sin(π-α)=;cos(π-α)=;

(5)sin(π+α)=;cos(π+α)=;

(6)sin(α+π2)=;cos(α+π2)=(7)sin(π2-α)=;cos(π2-α)=问题4:争辩几组诱导公式的共同点与规律(1)2kπ±α,-α,π±α的三角函数值等于α的三角函数值,前面加上一个把α看作角时原三角函数值的符号;

(2)π2±α的正弦(余弦)函数值分别等于α的()函数值,前面加上一个把α看作角时原三角函数值的符号1.下列等式不正确的是().A.sin(α+180°)=-sinα B.cos(-α+β)=-cos(α-β)C.sin(-α-360°)=-sinα D.cos(-α-β)=cos(α+β)2.函数f(x)=cosπx3(x∈Z)的值域为(A.{-1,-12,0,12,1} B.{-1,-12,1C.{-1,-32,0,32,1} D.{-1,-32,33.若sin(π6-θ)=33,则sin(7π6-θ4.已知sin(π+α)+sin(-α)=-m,求sin(3π+α)+2sin(2π-α)的值.利用诱导公式化简求特殊角的三角函数值.(1)sin1320°;(2)cos(-313π)诱导公式在三角函数中的综合运用已知f(θ)=sin((1)化简f(θ);(2)若sin(3π2-θ)=15,求f(θ利用诱导公式对三角函数式化简、求值或证明恒等式化简:sin(4n-14π-α)+cos(4n+14π求sin(-203π)cos436π+cos(-173π)·sin(356已知f(x)=sin(π-x)cos(2π-x已知cos(π+α)=-12,且α是第四象限角,计算sin[α+(2n1.sin(-196π)的值等于()A.-32 B.-12 C.12 D2.已知sin(α-π4)=13,则cos(π4+α)的值为(A.223 B.-223 C.133.5sin90°+2cos0°-3sin270°+10cos180°=.

4.化简sin((2009年·全国Ⅰ卷)sin585°的值为().A.-22 B.22 C.-32 D考题变式(我来改编):第4课时单位圆与诱导公式学问体系梳理问题1:一二三四问题2:(1)x-sinαcosα(2)相反数-sinα-cosα-sinα-cosα(3)sinα-cosα(4)cosα-sinα问题3:(1)sinαcosα(2)-sinαcosα(3)-sinαcosα(4)sinα-cosα(5)-sinα-cosα(6)cosα-sinα(7)cosαsinα问题4:(1)同名锐(2)余弦正弦锐基础学习沟通1.B由诱导公式可知,A正确;对于B,cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β),故B不正确;对于C,sin(-α-360°)=sin(-α)=-sinα,故C正确;对于D,cos(-α-β)=cos[-(α+β)]=cos(α+β),故D正确.2.B对x依次赋值0,1,2,3,4,…,很简洁选出.3.-33sin(7π6-θ)=sin[π+(π6-θ)]=-sin(π64.解:∵sin(π+α)+sin(-α)=-sinα-sinα=-2sinα=-m,∴sinα=m2,而sin(3π+α)+2sin(2π-α)=sin[2π+(π+α)]-2sinα=sin(π+α)-2sinα=-sinα-2sinα=-3sinα,故sin(3π+α)+2sin(2π-α)=-3重点难点探究探究一:【解析】(1)sin1320°=sin(3×360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-32(2)cos(-313π)=cos(-10π-π3)=cos(-π3)=cosπ【小结】熟记正弦函数、余弦函数的诱导公式,将其转化为锐角的正弦或余弦值,是解答此类题型的关键,同时要牢记一些特殊角的三角函数值.探究二:【解析】(1)f(θ)=(-=-cosθ.(2)∵sin(3π2-θ)=-cosθ=∴f(θ)=-cosθ=15【小结】熟记诱导公式,并留意总结规律,有助于理解和记忆,如涉及2kπ±α,-α,π±α的三角函数值,其三角函数的名不变,若涉及π2±α,则正弦变余弦、余弦变正弦,另外,要留意符号的变化探究三:【解析】原式=sin[nπ-(π4+α)]+cos[nπ+(π4=sin(π4+α)-cos(π4=sin[π2-(π4-α)]-cos(π=cos(π4-α)-cos(π4-α)=[问题]以上化简过程正确吗?[结论]不正确,在化简过程中未对n加以争辩而导致错误.于是,正确解答如下:原式=sin[nπ-(π4+α)]+cos[nπ+(π4-α①当n=2k+1(k∈Z)时,原式=sin[2kπ+π-(π4+α)]+cos[2kπ+π+(π4=sin(π4+α)-cos(π4=cos(π4-α)-cos(π4-α)=②当n=2k(k∈Z)时,原式=sin[2kπ-(π4+α)]+cos[2kπ+(π4=-sin(π4+α)+cos(π4-α)=综上可得,原式=0.【小结】在对sin(α+kπ),cos(α+kπ)进行化简时,一般要分两种状况争辩:当k为偶数时,sin(α+kπ)=sinα,cos(α+kπ)=cosα;当k为奇数时,sin(α+kπ)=-sinα,cos(α+kπ)=-cosα.思维拓展应用应用一:原式=-sin(6π+2π3)cos(6π+76π)+cos(4π+53π)·sin(4π+116π)=-sin(π-π3)cos(π+π6)+cos(2π-π3)sin(2π-π6)=sinπ3cosπ6-cosπ3sin应用二:∵f(x)=sinxcosxsinx·sin∴f(-31π3)=-sin(-31π3)=sin31π3==sinπ3=3应用三:∵cos(π+α)=-12,∴-cosα=-12,cosα=∴sin=sin=sin=-sinα=-2cosα=-基础智能检测1.C∵sin(-196π)=sin(-4π+56π)=sin56π=sin(π-π6)=sinπ6=2.Dcos(π4+α)=sin[π2-