【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：K单元-概率

K单元概率名目K单元概率 1\l"_Toc396208097"K1随大事的概率 1K2古典概型 2\l"_Toc396208099"K3几何概型 2K4互斥大事有一个发生的概率 4\l"_Toc396208101"K5相互对立大事同时发生的概率 2K6离散型随机变量及其分布列 4\l"_Toc396208103"K7条件概率与大事的独立性 2K8离散型随机变量的数字特征与正态分布 4\l"_Toc396208105"K9单元综合 2K1随大事的概率【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）(1)】19．（12分）某重点高校自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。同学甲三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立。

（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；

（2）若同学甲每通过一轮考核，则家长嘉奖人民币1000元作为高校学习的训练基金。记同学甲得到训练基金的金额为，求的分布列和数学期望。【学问点】概率；分布列与数学期望.K1,K6【答案】【解析】（1）（2）的分布列为数学期望为--解析：（1）设“同学甲通过该高校自主招生考试”为大事A，则P(A)＝所以同学甲通过该高校自主招生考试的概率为4分（2）的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元5分，，9分所以，的分布列为数学期望为12分【思路点拨】由题意可求出变量取各值时的概率，再列出分布列，依据公式求出数学期望即可.【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】13.袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，其次次摸到白球的概率为_____________.【学问点】随大事的概率K1【答案解析】记大事A为“第一次取到黑球”，大事B为“其次次取到白球”，

则大事AB为“第一次取到黑球、其次次取到白球”，依题意知P（A）=，P（AB）=×，

∴在第一次取到黑球的条件下，其次次取到白球的概率是P（B|A）=．

故答案为：．【思路点拨】本题条件概率，需要做出第一次取到黑球的概率和第一次取到黑球、其次次取到白球的概率，依据条件概率的公式，代入数据得到结果．K2古典概型【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】17.（本题满分12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．（I）求随机变量的最大值，并求大事“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．【学问点】古典概型；离散型随机变量的分布列；数学期望.K2K6K8【答案】【解析】（I）的最大值为，取得最大值的概率；（Ⅱ）则随机变量的分布列为：…数学期望为2.解析：（I）、可能的取值为、、，………1分，，，且当或时，．因此，随机变量的最大值为………………3分有放回摸两球的全部状况有种……6分（Ⅱ）的全部取值为．时，只有这一种状况．时，有或或或四种状况，时，有或两种状况．，，………………8分则随机变量的分布列为：………………10分因此，数学期望………………12分【思路点拨】（I）的表达式为，数组（x,y）有9个，且x、取值为、、，将x、y的取值代入的表达式得的最大值，据此可得取得最大值的概率；（Ⅱ）由（I）的方法可得的所以取值和取各值的概率，从而求得的分布列和数学期望．【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）】19．（12分）新一届中心领导集体格外重视勤俭节省，从“光盘行动”到“节省办春晚”。到饭店吃饭是吃光盘子或是打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”，政治课上政治老师选派几位同学组成争辩性小组，从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取人进行了一次调查，得到如下统计表：组数分组频数频率光盘族占本组比例第1组[25,30)500.0530%第2组[30,35)1000.1030%第3组[35,40)1500.1540%第4组[40,45)2000.2050%第5组[45,50)ab65%第6组[50,55)2000.2060%（1）求的值，并估量本社区[25,55)岁的人群中“光盘族”所占比例；（2）从年龄段在[35,45)的“光盘族”中接受分层抽样方法抽取8人参与节省粮食宣扬活动，并从这8人中选取2人作为领队.求选取的2名领队分别来自[35,40)与[40,45)两个年龄段的概率。【学问点】用样本估量总体；古典概型.I2K2【答案】【解析】（1）a=300，b=0.30；（2）.解析：解：（1）……1分…2分………3分样本中的“光盘族”人数为：…5分样本中的“光盘族”所占的比例为：…………6分（2）年龄段在的“光盘族”的人数为人，年龄段在的“光盘族”人数为人，接受分层抽样方法抽取8人中的“光盘族”有3人，在的有5人，记中的3人为，的5人记为，则选取2人做领队有共28种…………10分其中分别来自与两个年龄段的有：共15种……11分所以分别来自与两个年龄段的概率…………12分【思路点拨】（1）由，，；（2）先求出抽取的8人中，的“光盘族”有3人，的有5人，再用列举法写出从这8人中任取2人的全部状况，共28种，其中，分别来自与两个年龄段的有11种，由此得所求概率.K3几何概型【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】8、一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中，它可能随机在草原上任何一处（点），若落在扇形沼泽区域ADE以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是（）A．B．C．D．【学问点】概率K3【答案】【解析】B解析：过点作于点，在中，易知，梯形的面积,扇形的面积，则丹顶鹤生还的概率，故选【思路点拨】几何概型，可分别求出各部分的面积再求出概率.【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）】8.已知菱形的边长为4，，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（）A.B.C.D.【学问点】几何概型.K3【答案】【解析】D解析：以A、B、C、D为圆心1为半径的圆在菱形内的面积为:,(任意两圆相离)，而菱形的面积为8，所以所求概率为，故选D.【思路点拨】先求菱形中，到点A、B、C、D的某一个点的距离小于1的点构成图像的面积，然后利用几何概型求得概率.K4互斥大事有一个发生的概率K5相互对立大事同时发生的概率K6离散型随机变量及其分布列【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】17.（本题满分12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．（I）求随机变量的最大值，并求大事“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．【学问点】古典概型；离散型随机变量的分布列；数学期望.K2K6K8【答案】【解析】（I）的最大值为，取得最大值的概率；（Ⅱ）则随机变量的分布列为：…数学期望为2.解析：（I）、可能的取值为、、，………1分，，，且当或时，．因此，随机变量的最大值为………………3分有放回摸两球的全部状况有种……6分（Ⅱ）的全部取值为．时，只有这一种状况．时，有或或或四种状况，时，有或两种状况．，，………………8分则随机变量的分布列为：………………10分因此，数学期望………………12分【思路点拨】（I）的表达式为，数组（x,y）有9个，且x、取值为、、，将x、y的取值代入的表达式得的最大值，据此可得取得最大值的概率；（Ⅱ）由（I）的方法可得的所以取值和取各值的概率，从而求得的分布列和数学期望．【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】18．（本小题满分12分）2022年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，全部的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，接受分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足，且,该产品为优等品。用上述样本数据估量乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）。【学问点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．K6【答案】【解析】(1)35(2)14（3）解析：（1）乙厂生产的产品总数为；…2分（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；…………4分（3），……5分，……8分的分布列为………………11分均值…12分【思路点拨】（1）利用分层抽样方法能求出乙厂生产的产品总数．（2）样品中优等品的频率为，由分层抽样方法能求出乙厂生产的优等品的数量．（3）由题意知ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值．【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）(1)】19．（12分）某重点高校自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。同学甲三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立。

（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；

（2）若同学甲每通过一轮考核，则家长嘉奖人民币1000元作为高校学习的训练基金。记同学甲得到训练基金的金额为，求的分布列和数学期望。【学问点】概率；分布列与数学期望.K1,K6【答案】【解析】（1）（2）的分布列为数学期望为--解析：（1）设“同学甲通过该高校自主招生考试”为大事A，则P(A)＝所以同学甲通过该高校自主招生考试的概率为4分（2）的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元5分，，9分所以，的分布列为数学期望为12分【思路点拨】由题意可求出变量取各值时的概率，再列出分布列，依据公式求出数学期望即可.【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】18.（12分）某站针对2022年中国好声音歌手三人进行上投票，结果如下观众年龄支持支持支持20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在全部参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取人，其中有6人支持，求的值.（2）若在参与活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从7人中任意抽取3人，用随机变量表示抽取出3人中支持的人数，写出的分布列并计算.【学问点】离散型随机变量及其分布列K6【答案解析】（1）40（2）（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，

∴=，解得n=40，

（2）X=0，1，2X012P274717∴E（X）=1×+2×=，D（X）=×(0-)2+×(1-)2+×(2-)2=．【思路点拨】（1）依据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．

（2）X=0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列并计算E（X），D（X）．【数学文卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】18.（12分）某站针对2022年中国好声音歌手三人进行上投票，结果如下观众年龄支持支持支持20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在全部参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取人，其中有6人支持，求的值.（2）在支持的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率.【学问点】离散型随机变量及其分布列K6【答案解析】（1）40（2）（2）（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，

∴=，解得n=40，

（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，

年龄在20岁以下的有4人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b则这6人中任意选取2人，共有=15种不同状况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），

其中恰好有1人在20岁以下的大事有：，（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种．故恰有1人在20岁以下的概率P=．【思路点拨】（1）依据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．

（2）计算出这6人中任意选取2人的状况总数，及满足恰有1人在20岁以下的状况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案K7条件概率与大事的独立性K8离散型随机变量的数字特征与正态分布【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一