【优化方案】2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第七章第5课时

[基础达标]1．(2022·河南郑州市质量检测)设α，β分别为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．2．(2022·黑龙江齐齐哈尔一模)在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()解析：选A．A中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为eq\r(2).3．(2021·高考广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：选D．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误．平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误．4．(2021·高考山东卷)已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A．eq\f(5π,12) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)解析：选B．如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝eq\r(3)，则S＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2＝eq\f(3\r(3),4)，VABC­A1B1C1＝S×PO＝eq\f(9,4)，∴PO＝eq\r(3).又AO＝eq\f(\r(3),3)×eq\r(3)＝1，∴tan∠PAO＝eq\f(PO,AO)＝eq\r(3)，∴∠PAO＝eq\f(π,3).5.如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：选C．要推断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．由于AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.由于AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC．∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB．答案：AB，BC，ACAB7．(2022·湖北武汉武昌区联考)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．解析：①正确，∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又m⊂β，∴l⊥m；②错误，l，m还可以垂直、斜交或异面；③正确，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β；④错误，α与β可能相交．答案：①③8.点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥A­D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．解析：连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1∥BC1.∴BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，∴三棱锥P­AD1C的体积不变．又VP­AD1C＝VA­D1PC，∴①正确．∵平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，∴A1P∥平面ACD1，②正确．由于DB不垂直于BC1，明显③不正确；由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，∴DB1⊥平面AD1C．DB1⊂平面PDB1，∴平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．答案：①②④9.(2022·吉林长春市调研测试)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC的中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)若E是线段A1B上一点，且满足VE­BCC1＝eq\f(1,12)·VABC­A1B1C1，求A1E的长度．解：(1)证明：∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC．又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C∩底面ABC＝AC，A1O⊂平面A1AC，∴A1O⊥平面ABC．(2)∵VE­BCC1＝eq\f(1,12)VABC­A1B1C1＝eq\f(1,4)VA1­BCC1，∴BE＝eq\f(1,4)BA1，即A1E＝eq\f(3,4)A1B．连接OB(图略)，在Rt△A1OB中，A1O⊥OB，A1O＝eq\r(3)，BO＝1，故A1B＝2，则A1E的长度为eq\f(3,2).10.如图所示，已知三棱锥A­BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC．证明：(1)由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC．(2)由于△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB．所以AP⊥PB．又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC．由于BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC．又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC．由于BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC．[力气提升]1．(2021·高考江苏卷)如图，在三棱锥S­ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB．过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA．证明：(1)由于AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又由于E是SA的中点，所以EF∥AB．由于EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．同理EG∥平面ABC．又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC．(2)由于平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC．由于BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC．又由于AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB．由于SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA．2．如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC＝AD＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，凸多面体ABCED的体积为eq\f(1,2)，F为BC的中点．(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：平面BDE⊥平面BCE.证明：(1)∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED．∵BC2＝AC2＋AB2，∴AB⊥AC．∵平面ABC∩平面ACED＝AC，∴AB⊥平面ACED，即AB为四棱锥B­ACED的高，∵VB­ACED＝eq\f(1,3)·SACED·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋CE)×1×1＝eq\f(1,2)，∴CE＝2.取BE的中点G，连接GF，GD，∴GF为三角形BCE的中位线，∴GF∥EC∥DA，GF＝eq\f(1,2)CE＝DA，∴四边形GFAD为平行四边形，∴AF∥GD．又GD⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)∵AB＝AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．又GF⊥AF，BC∩GF＝F，∴AF⊥平面BCE.∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE.又GD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE.3.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A­PD­C的正弦值．解：(1)在四棱锥P­ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°，所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明：在四棱锥P­ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA．由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD．由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．由于E是PC的中点，所以AE⊥PC．又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD．(3)过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD．因此∠AME是二面角A­PD­C的平面角．由已知，可得∠CAD＝30°.设AC＝a，可得PA＝a，AD＝eq\f(2\r(3),3)a，P