【创新设计】2021高考数学(江苏专用-理科)二轮专题整合：1-7-1几何证明选讲(选做部分)

第1讲几何证明选讲1. (2022·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. 证明连接OD，由于BD＝DC，O为AB的中点， 所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C. 由于OB＝OD，所以∠ODB＝∠B于是∠B＝∠C. 由于点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角， 故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.2. (2011·江苏卷)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1＞r2)，圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)． 求证：AB∶AC为定值． 证明如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.由于圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝eq\f(π,2).所以BD∥CE，于是eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(2r1,2r2)＝eq\f(r1,r2).所以AB∶AC为定值．3. (2010·江苏卷)AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC. 证明连接OD，则：OD⊥DC， 又OA＝OD，DA＝DC，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，所以OC＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA，所以AB＝2BC.4. 如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA. 证明连接OT，由于AT是切线，所以OT⊥AP. 又由于∠PAQ是直角，即AQ⊥AP， 所以AB∥OT， 所以∠TBA＝∠BTO. 又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT， 所以∠OBT＝∠TBA， 即BT平分∠OBA.5．如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P. (1)证明：OM·OP＝OA2； (2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°. 证明(1)由于MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又由于AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP. (2)由于BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK， 即eq\f(ON,OP)＝eq\f(OM,OK).又∠NOP＝∠MOK， 所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.6．(2022·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F. (1)求证：AB为圆的直径； (2)若AC＝BD，求证：AB＝ED. 证明(1)由于PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD. 由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA， 又由于∠PGD＝∠EGA， 故∠DBA＝∠EGA. 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD， 从而∠BDA＝∠PFA. 由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°. 故AB是直径． (2)连接BC，DC. 由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°. 在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD， 从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.