2022届《创新设计》数学一轮(文科)浙江专用配套练习-3-2-同角三角函数基本关系式与诱导公式

第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.eq\r(1－2sinπ＋2cosπ－2)＝()A．sin2－cos2 B．sin2＋cos2C．±(sin2－cos2) D．cos2－sin2解析eq\r(1－2sinπ＋2cosπ－2)＝eq\r(1－2sin2cos2)＝eq\r(sin2－cos22)＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.答案A2．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，则sin4α－cos4α的值为()A．－eq\f(1,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(3,5)解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝eq\f(2,5)－1＝－eq\f(3,5).答案B3．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－eq\f(π,3)，则sinα等于()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)解析由于α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．又β＝－eq\f(π,3)，所以α＝2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，即得sinα＝eq\f(1,2).答案D4．(2022·金华模拟)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sin(π＋α)＝()A.eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)解析由已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,5)，得cosα＝eq\f(3,5)，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinα＝eq\f(4,5)，∴sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\f(4,5).答案D5．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝()A.eq\f(2\r(2),3)B．－eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(1,3).答案D二、填空题6．假如sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－A))的值是________．解析∵sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，∴－sinA＝eq\f(1,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－A))＝－sinA＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7．sineq\f(4,3)π·coseq\f(5,6)π·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)π))的值是________．解析原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π－\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3),4).答案－eq\f(3\r(3),4)8．(2021·嘉兴一模)若cos(2π－α)＝eq\f(\r(5),3)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则sin(π－α)＝________.解析由诱导公式可知cos(2π－α)＝cosα＝eq\f(\r(5),3)，sin(π－α)＝sinα，由sin2α＋cos2α＝1可得，sinα＝±eq\f(2,3)，∵α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴sinα＝－eq\f(2,3).答案－eq\f(2,3)三、解答题9．已知sinθ＝eq\f(4,5)，eq\f(π,2)＜θ＜π.(1)求tanθ的值；(2)求eq\f(sin2θ＋2sinθcosθ,3sin2θ＋cos2θ)的值．解(1)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝eq\f(9,25).又eq\f(π,2)＜θ＜π，∴cosθ＝－eq\f(3,5).∴tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(4,3).(2)由(1)知，eq\f(sin2θ＋2sinθcosθ,3sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋2tanθ,3tan2θ＋1)＝－eq\f(8,57).10．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(1,5).(1)求sinAcosA的值；(2)推断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．解(1)∵sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，①∴两边平方得1＋2sinAcosA＝eq\f(1,25)，∴sinAcosA＝－eq\f(12,25)，(2)由sinAcosA＝－eq\f(12,25)＜0，且0＜A＜π，可知cosA＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，又sinA＞0，cosA＜0，∴sinA－cosA＞0，∴sinA－cosA＝eq\f(7,5)，②∴由①，②可得sinA＝eq\f(4,5)，cosA＝－eq\f(3,5)，∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq\f(4,3).力气提升题组(建议用时：35分钟)11．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))等于()A．－eq\f(7,9)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(7,9)解析∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(π,2).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(1,3).则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－1＝－eq\f(7,9).答案A12．(2022·湖州模拟)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＋cosα＝－eq\f(1,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A．7B．－7C.eq\f(1,7)D．－eq\f(1,7)解析由sinα＋cosα＝－eq\f(1,5)两边平方得1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，∴2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∵eq\f(π,2)＜α＜π，此时sinα＞0，cosα＜0，sinα－cosα＝eq\r(sinα－cosα2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\r(1＋\f(24,25))＝eq\f(7,5)，联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝－\f(1,5)，,sinα－cosα＝\f(7,5)，))解得sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－\f(3,4),1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7)，故选C.答案C13．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.解析sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(91,2).答案eq\f(91,2)14．已知f(x)＝eq\f(cos2nπ＋x·sin2nπ－x,cos2[2n＋1π－x])(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2014)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(503π,1007)))的值．解(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝eq\f(cos22kπ＋x·sin22kπ－x,cos2[2×2k＋1π－x])＝eq\f(cos2x·sin2－x,cos2π－x)＝eq\f(cos2x·－sinx2,－cosx2)＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝eq\f(cos2[2k＋1π＋x]·sin2[2k＋1π－x],cos2{[2×2k＋1＋1]π－x})＝eq\f(cos2[2kπ＋π＋x]·sin2[2kπ＋π－x],cos2[2×2k＋1π＋π－x])＝eq\f(cos2π＋x·sin2π－x,cos2π－x)＝eq\f(－cosx2sin2x,－cosx2)＝sin2x，综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2014)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(503π,1007)))＝sin2eq\f(π,2014)＋sin2eq\f(1006π,2014)＝sin2eq\f(π,2014)＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,2014)))＝sin2eq\f(π,2014)＋cos2eq\f(π,2014)＝1.15．是否存在α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(