【创新设计】2022届-数学一轮(理科)人教B版-第五章-平面向量-5-4

第4讲平面对量的应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(PB,\s\up8(→))＝x2，则点P的轨迹是()A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线解析eq\o(PA,\s\up8(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up8(→))＝(3－x，－y)，∴eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(PB,\s\up8(→))＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.答案D2．在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→)))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|2，则△ABC的外形肯定是 ()A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析由(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→)))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|2，得eq\o(AC,\s\up8(→))·(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝0，即eq\o(AC,\s\up8(→))·(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→)))＝0，2eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BA,\s\up8(→))，∴A＝90°.又依据已知条件不能得到|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|，故△ABC肯定是直角三角形．答案C3．(2022·大连调研)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2eq\r(3)，则eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝ ()A．2eq\r(3) B．2 C．－2eq\r(3) D．－2解析由余弦定理得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(22＋22－（2\r(3)）2,2×2×2)＝－eq\f(1,2)，所以eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|cosA＝2×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2，故选D.答案D4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是 ()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3) C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)解析由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).答案D5．(2021·青岛质量检测)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))，则∠BAC的度数等于 ()A．30° B．45° C．60° D．90°解析取BC的中点D，连接AD，则eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AD,\s\up8(→)).由题意得3eq\o(AO,\s\up8(→))＝2eq\o(AD,\s\up8(→))，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°，故选C.答案C二、填空题6．(2021·广州综合测试)在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝2，则边AB的长等于________．解析由题意知eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝4，即eq\o(AB,\s\up8(→))·(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→)))＝4，即eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝4，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝2.答案27．(2022·天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则eq\o(EC,\s\up8(→))·eq\o(EM,\s\up8(→))的最大值为________．解析以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(1，1)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，设E(x，0)，x∈[0，1]，则eq\o(EC,\s\up8(→))·eq\o(EM,\s\up8(→))＝(1－x，1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\f(1,2)))＝(1－x)2＋eq\f(1,2)，x∈[0，1]单调递减，当x＝0时，eq\o(EC,\s\up8(→))·eq\o(EM,\s\up8(→))取得最大值eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)8．(2021·太原模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(eq\r(3)，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．解析由题意可得a·b＝eq\r(3)cosθ－sinθ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，则|2a－b|＝eq\r(（2a－b）2)＝eq\r(4|a|2＋|b|2－4a·b)＝eq\r(8－8cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6))))∈[0，4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.答案4三、解答题9．(2021·江西五校联考)已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)sin\f(x,4)，1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,4)，cos2\f(x,4))).(1)若m·n＝1，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解m·n＝eq\r(3)sineq\f(x,4)coseq\f(x,4)＋cos2eq\f(x,4)＝eq\f(\r(3),2)sineq\f(x,2)＋eq\f(1,2)×coseq\f(x,2)＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).(1)∵m·n＝1，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2).(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，∴cosB＝eq\f(1,2)，B＝eq\f(π,3).∴0＜A＜eq\f(2π,3).∴eq\f(π,6)＜eq\f(A,2)＋eq\f(π,6)＜eq\f(π,2)，eq\f(1,2)＜sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(π,6)))＜1.又∵f(x)＝m·n＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，∴f(A)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，故1＜f(A)＜eq\f(3,2).故函数f(A)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).10．(2022·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，求|eq\o(OP,\s\up8(→))|；(2)设eq\o(OP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋neq\o(AC,\s\up8(→))(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解(1)法一∵eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，又eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))即eq\o(OP,\s\up8(→))＝(2，2)，故|eq\o(OP,\s\up8(→))|＝2eq\r(2).法二∵eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，则(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OP,\s\up8(→)))＋(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OP,\s\up8(→)))＋(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OP,\s\up8(→)))＝0，∴eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝(2，2)，∴|eq\o(OP,\s\up8(→))|＝2eq\r(2).(2)∵eq\o(OP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋neq\o(AC,\s\up8(→))，∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))两式相减得，m－n＝y－x，令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.力量提升题组(建议用时：25分钟)11．(2022·衡水中学一调)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是 ()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2,3)π))解析设a与b的夹角为θ.∵f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)|a|x2＋a·bx.∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b.∵函数f(x)在R上有极值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜eq\f(a2,4)，又∵|a|＝2|b|≠0，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＜eq\f(\f(a2,4),\f(a2,2))＝eq\f(1,2)，即cosθ＜eq\f(1,2)，又∵θ∈[0，π]，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，故选C.答案C12．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))，|eq\o(AO,\s\up8(→))|＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|，则向量eq\o(BA,\s\up8(→))在eq\o(BC,\s\up8(→))方向上的投影等于 ()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(3,2) D．3解析由eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|，又由于|eq\o(AO,\s\up8(→))|＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(3)，所以eq\o(BA,\s\up8(→))在eq\o(BC,\s\up8(→))方向上的投影为|eq\o(BA,\s\up8(→))|·cos∠ABC＝eq\r(3)×cos30°＝eq\f(3,2)，故选C.答案C13．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AQ,\s\up8(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up8(→))，λ∈R.若eq\o(BQ,\s\up8(→))·eq\o(CP,\s\up8(→))＝－2，则λ＝________．解析∵eq\o(BQ,\s\up8(→))＝eq\o(AQ,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(BQ,\s\up8(→))·eq\o(CP,\s\up8(→))＝－2⇒[(1－λ)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))]·[λeq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))]＝－2，化简得(1－λ)λeq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))－(1－λ)eq\o(AC,\s\up8(→))2－λeq\o(AB,\s\up8(→))2＋eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝－2，又由于eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，eq\o(AC,\s\up8(→))2＝4，eq\o(AB,\s\up8(→))2＝1，所以解得λ＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)14．如图所示，已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且eq\o(QP,\s\up8