【复习参考】2021年高考数学(理)提升演练：变量间的相关关系与统计案例

2021届高三数学（理）提升演练：变量间的相关关系与统计案例一、选择题1.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是()A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数肯定相同D．直线l过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))2．通过随机询问110名性别不同的高校生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)算得，K2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”3．一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为eq\o(y,\s\up6(^))＝7.19x＋73.93，用这个模型猜测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是()A．身高肯定是145.83cmB．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm左右D．身高在145.83cm以下4．如图5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是()A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强5．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝－10x＋200 B.eq\o(y,\s\up6(^))＝10x＋200C.eq\o(y,\s\up6(^))＝－10x－200 D.eq\o(y,\s\up6(^))＝10x－2006．下列四个命题正确的是()①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；④随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E(e)＝0.A．①③ B．②④C．①④ D．②③二、填空题7．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．8．某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法猜测他孙子的身高为________cm.9．其次十届世界石油大会将于2011年12月4日～8日在卡塔尔首都多哈进行，能源问题已经成为全球关注的焦点．某工厂经过技术改造后，降低了能源消耗，经统计该厂某种产品的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)有如下几组样本数据：x3456y2.5344.5依据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7.已知该产品的年产量为10吨，则该工厂每年大约消耗的汽油为________吨．三、解答题10．已知x，y的一组数据如下表：x13678y12345(1)从x，y中各取一个数，求x＋y≥10的概率；(2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y＝eq\f(1,3)x＋1与y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)”推断哪条直线拟合程度更好．11．为了分析某个高三同学的学习状态，对其下一阶段的学习供应指导性建议．现对他前7次考试的数学成果x、物理成果y进行分析．下面是该生7次考试的成果.数学888311792108100112物理949110896104101106(1)他的数学成果与物理成果哪个更稳定？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成果y与数学成果x是线性相关的，若该生的物理成果达到115分，请你估量他的数学成果大约是多少？并请你依据物理成果与数学成果的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．(其中，数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)))12．某同学对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．)甲(50岁以下)乙(50岁以上)15386784532023456789015676237964528158(1)依据茎叶图，挂念这位同学说明其亲属30人的饮食习惯；(2)依据以上数据完成下列2×2的列联表：主食蔬菜主食肉类合计50岁以下50岁以上合计(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828详解答案一、选择题1.解析：回归直线过样本中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．答案：D2．解析：依据独立性检验的思想方法，正确选项为A.答案：A3．解析：用回归模型eq\o(y,\s\up6(^))＝7.19x＋73.93，只能作猜测，其结果不肯定是一个确定值．答案： C4．解析：相关系数r越接近1，R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好．答案：B5．解析：由图象可知，选项B、D为正相关，选项C不符合实际意义，只有A项符合要求．答案：A6．解析：线性相关系数r满足|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱，故①错误；③相关指数是度量模型拟合效果的一种指标．相关指数越大，模型拟合效果越好．故②④正确答案：B二、填空题7．解析：以x＋1代x，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.254(x＋1)＋0.321，与eq\o(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2548．解析：设父亲身高为xcm，儿子身高为ycm，则x173170176y170176182eq\o(x,\s\up6(－))＝173，eq\o(y,\s\up6(－))＝176，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(0×－6＋－3×0＋3×6,02＋9＋9)＝1，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝176－1×173＝3，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋3，当x＝182时，eq\o(y,\s\up6(^))＝185.答案：1859．解析：由题知，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，故样本数据的中心点为A(4.5,3.5)．设回归方程为y＝0.7x＋b，将中心点坐标代入得：3.5＝0.7×4.5＋b，解得b＝0.35，故回归方程为y＝0.7x＋0.35，所以当x＝10时，y＝0.7×10＋0.35＝7.35，即该工厂每年大约消耗的汽油为7.35吨．答案：7.35三、解答题10．解：(1)从x，y中各取一个数组成数对(x，y)，共有25对，其中满足x＋y≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对．故所求概率P＝eq\f(9,25).(2)用y＝eq\f(1,3)x＋1作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为S1＝(eq\f(4,3)－1)2＋(2－2)2＋(3－3)2＋(eq\f(10,3)－4)2＋(eq\f(11,3)－5)2＝eq\f(7,3).用y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为S2＝(1－1)2＋(2－2)2＋(eq\f(7,2)－3)2＋(4－4)2＋(eq\f(9,2)－5)2＝eq\f(1,2).∵S2<S1，∴直线y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)的拟合程度更好．11．解：(1)∵eq\o(x,\s\up6(－))＝100＋eq\f(－12－17＋17－8＋8＋12,7)＝100，eq\o(y,\s\up6(－))＝100＋eq\f(－6－9＋8－4＋4＋1＋6,7)＝100，∴seq\o\al(2,数学)＝eq\f(994,7)＝142，∴seq\o\al(2,物理)＝eq\f(250,7)，从而seq\o\al(2,数学)>seq\o\al(2,物理)，∴该生的物理成果更稳定．(2)由于x与y之间具有线性相关关系，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xiyi－7\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)x\o\al(2,2)－7\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(497,994)＝0.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝100－0.5×100＝50，∴线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5x＋50.当y＝115时，x＝13