【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第8章-第4节-椭圆

第八章第四节一、选择题1．(文)(2022·长春模拟)椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(2,3)[答案]A[解析]先将x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，则a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(\r(3),2).离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).(理)若P是以F1、F2为焦点的椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，tan∠PF1F2＝eq\f(1,2)，则此椭圆的离心率为()A．eq\f(\r(5),3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[答案]A[解析]在Rt△PF1F2中，不妨设|PF2|＝1，则|PF1|＝2.|F1F2|＝eq\r(5)，∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(5),3).2．(文)椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，始终线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为()A．32 B．16C．8 D．4[答案]B[解析]由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a(理)(2021·浙江绍兴一模)椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A．2 B．4C．8 D．eq\f(3,2)[答案]B[解析]连接MF2.已知|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝10，∴|MF2|＝10－|MF1|＝8.如图，|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝4.故选B．3．(文)(2022·佛山月考)设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为()A．1 B．eq\f(8,3)C．2eq\r(3) D．eq\f(2\r(6),3)[答案]D[解析]由题意知，c2＝a2－b2＝4－1＝3，点P即为圆x2＋y2＝3与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1在第一象限的交点，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝3，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得点P的横坐标为eq\f(2\r(6),3).(理)F1、F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线[答案]A[解析]∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|，∴|OQ|＝eq\f(1,2)|AF2|＝eq\f(1,2)(|PA|＋|PF2|)＝a，∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆．4．(2022·豫东、豫北十所名校联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，若△F1F2P为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)－1C．eq\r(2)－1或eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(2),4)[答案]C[解析]当∠F1PF2为直角时，P为椭圆短轴端点，∴b＝c，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(\r(2),2)；当∠F1F2P或∠F2F1P为直角时，eq\f(b2,a)＝2c，∴b2＝2ac，∴a2－c2＝2ac，∴e2＋2e－1＝0，∴e＝eq\r(2)－1.5．(文)(2021·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq\r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1[答案]A[解析]设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由点(2，eq\r(3))在椭圆上知eq\f(4,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.(理)(2021·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C．eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1[答案]D[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A、B在椭圆上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.))两式相减得，eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＝eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),b2)，即eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝eq\f(y2－y1y2＋y1,b2)，∵AB的中点为(1，－1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(b2,a2)，又∵k＝eq\f(－1－0,1－3)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，又∵c2＝a2－b2＝2b2－b2＝b2，c2＝9，∴b2＝9，a2＝18，∴椭圆E的标准方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1，故选D．6．(2022·豫东、豫北十所名校联考)已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)两个焦点，P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝eq\f(2π,3)时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为()A．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,14)＋eq\f(y2,5)＝1C．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,6)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1[答案]A[解析]∵|F1F2|为定值，∴当P在短轴端点时，S△F1PF2∵∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，∴∠PF1F2＝eq\f(π,6)，∴taneq\f(π,6)＝eq\f(b,c)，∵c＝3，∴b＝eq\r(3)，∴a2＝b2＋c2＝12，椭圆方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1.二、填空题7．(2021·池州二模)已知点M(eq\r(3)，0)，椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1与直线y＝k(x＋eq\r(3))交于点A、B，则△ABM的周长为________．[答案]8[解析]M(eq\r(3)，0)与F(－eq\r(3)，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆左焦点F(－eq\r(3)，0)，且|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周长等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AF|＋|AM|)＋(|BF|＋|BM|)＝4a＝8.8．已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|≤2，,|y|≤\r(3).))内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为eq\f(π,4)，则椭圆M的方程为________．[答案]eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[解析]平面区域Ω：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|≤2，,|y|≤\r(3).))是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得eq\f(πab,8\r(3))＝eq\f(π,4)，即ab＝2eq\r(3).由于0<a≤2,0<b≤eq\r(3)，所以a＝2，b＝eq\r(3).所以，椭圆M的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.9．(2022·山东济南二模)若椭圆C1：eq\f(x2,a\o\al(2,1))＋eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)和椭圆C2：eq\f(x2,a\o\al(2,2))＋eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给出以下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2确定没有公共点；②eq\f(a1,a2)>eq\f(b1,b2)；③aeq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,2)；④a1－a2<b1－b2.其中，全部正确结论的序号是________．[答案]①③④[解析]由于两椭圆焦点相同，且a1>a2，故b1>b2，因此两椭圆必无公共点，即命题①为真命题；又由于两椭圆焦点相同，a1>a2，aeq\o\al(2,1)beq\o\al(2,2)＝aeq\o\al(2,1)(aeq\o\al(2,2)－c2)<aeq\o\al(2,2)(aeq\o\al(2,1)－c2)＝aeq\o\al(2,2)beq\o\al(2,1)，故eq\f(a1,a2)<eq\f(b1,b2)，即命题②为假命题；由焦点相同得aeq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,2)－beq\o\al(2,2)，故aeq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,2)，即命题③为真命题；由于aeq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,2)，即(a1－a2)(a1＋a2)＝(b1－b2)(b1＋b2)⇒eq\f(a1－a2,b1－b2)＝eq\f(b1＋b2,a1＋a2)<1，故有a1－a2<b1－b2，即命题④为真命题，综上①③④为真命题．三、解答题10．(文)椭圆的两焦点坐标分别为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，且椭圆过点M(1，－eq\f(\r(3),2))．(1)求椭圆方程；(2)过点N(－eq\f(6,5)，0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于P、Q两点，A为椭圆的左顶点，试推断∠PAQ的大小是否为定值，并说明理由．[解析](1)设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意c＝eq\r(3)，且椭圆过点M(1，－eq\f(\r(3),2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1.))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))∴椭圆方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设直线PQ：x＝ty－eq\f(6,5)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty－\f(6,5)，,\f(x2,4)＋y2＝1.))消去x得，(t2＋4)y2－eq\f(12,5)ty－eq\f(64,25)＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴y1y2＝－eq\f(64,25t2＋4)，y1＋y2＝eq\f(12t,5t2＋4)，又A(－2,0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋eq\f(4,5))(ty2＋eq\f(4,5))＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋eq\f(4,5)t(y1＋y2)＋eq\f(16,25)＝0，∴∠PAQ＝eq\f(π,2)(定值)．(理)(2022·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2)，且椭圆经过圆C：x2＋y2－4x＋2eq\r(2)y＝0的圆心C．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．[解析](1)圆C方程化为(x－2)2＋(y＋eq\r(2))2＝6，圆心C(2，－eq\r(2))，半径r＝eq\r(6).设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,1－\f(b,a)2＝\f(\r(2),2)2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以所求椭圆的方程是eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(－2,0)，F2(2,0)，∵|F2C|＝eq\r(2－22＋0＋\r(2)2)＝eq\r(2)<eq\r(6).∴F2在圆C内，故过F2没有圆C的切线．设l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，点C(2，－eq\r(2))到直线l的距离为d＝eq\f(|2k＋\r(2)＋2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(6)，化简得5k2＋4eq\r(2)k－2＝0，解得k＝eq\f(\r(2),5)或k＝－eq\r(2).故l的方程为eq\r(2)x－5eq\r(y)＋2eq\r(2)＝0或eq\r(2)x＋y＋2eq\r(2)＝0.一、选择题11．(2021·荆州市质检)若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(1,2)，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为()A．eq\r(2) B．eq\f(\r(7),2)C．2 D．eq\f(7,4)[答案]A[解析]由于e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2c，由a2＝b2＋c2，得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，x1＋x2＝－eq\f(2b,a)＝－eq\r(3)，x1x2＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，点P(x1，x2)到原点(0,0)的距离d＝eq\r(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2))＝eq\r(x1＋x22－2x1x2)＝eq\r(2).12．(文)(2022·陕西西工大附中适应性训练)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连线AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝eq\f(4,5)，则椭圆C的离心率e为()A．eq\f(5,7) B．eq\f(4,5)C．eq\f(4,7) D．eq\f(5,6)[答案]A[解析]在△ABF中，由|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝eq\f(4,5)，得|BF|＝8，设椭圆的右焦点为E，由对称性知，|AE|＝8，且△AEF为直角三角形，|EF|＝10，∴2a＝|AF|＋|AE|＝14.∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(10,14)＝eq\f(5,7).(理)(2022·包头三十三中期末)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，则该椭圆的离心率的取值范围为()A．(0，eq\r(2)－1) B．(eq\f(\r(2),2)，1)C．(0，eq\f(\r(2),2)) D．(eq\r(2)－1,1)[答案]D[解析]依据正弦定理得eq\f(|PF2|,sin∠PF1F2)＝eq\f(|PF1|,sin∠PF2F1)，所以由eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)可得eq\f(a,|PF2|)＝eq\f(c,|PF1|)，即eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(c,a)＝e，所以|PF1|＝e|PF2|.又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝|PF2|·(e＋1)＝2a，即|PF2|＝eq\f(2a,e＋1).由于a－c<|PF2|<a＋c(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a－c<eq\f(2a,e＋1)<a＋c，即1－eq\f(c,a)<eq\f(2,e＋1)<1＋eq\f(c,a)，所以1－e<eq\f(2,e＋1)<1＋e，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－e1＋e<2，,2<1＋e2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－e2<2，,\r(2)<1＋e，))解得e>eq\r(2)－1.又由于e<1，所以eq\r(2)－1<e<1，即e∈(eq\r(2)－1,1)，选D．13．若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1 D．x2＋eq\f(y2,3)＝1[答案]A[解析]抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝eq\r(2)，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.14．(文)(2022·湖南六校联考)已知F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，则()A．t＝2B．t>2C．t<2D．t与2的大小关系不确定[答案]A[解析]如图，P，Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点，|MF2|＝|F2Q|＝2a－(|F1A|＋|AQ|)＝2a－|F1P|＝2a－|F1M|，即|F1M|＋|MF2|＝(理)设F是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左焦点，且椭圆上有2022个不同的点Pi(xi，yi)(i＝1,2,3，…，2022)，且线段|FP1|，|FP2|，|FP3|，…，|FP2022|的长度成等差数列，若|FP1|＝2，|FP2022|＝8，则点P2021的横坐标为()A．eq\f(2021,2022) B．eq\f(1007,201)C．eq\f(2021,403) D．eq\f(2021,403)[答案]C[解析]∵椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴F(－3,0)，由|FP1|＝2＝a－c，|FP2022|＝8＝a＋c，可知点P1为椭圆的左顶点，P2022为椭圆的右顶点，即x1＝－5，x2022＝5＝－5＋2021d，∴d＝eq\f(2,403)，则数列{xi}是以－5为首项，eq\f(2,403)为公差的等差数列，∴x2021＝－5＋2022×eq\f(2,403)＝eq\f(2021,403).二、填空题15．(文)假如AB是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为________．[答案]e2－1[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，由点差法，eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，作差得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝eq\f(y2－y1y2＋y1,b2)，∴kAB·kOM＝eq\f(y2－y1,x2－x1)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(－b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1.(理)以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e等于________．[答案]eq\r(3)－1[解析]由题意知，MF1⊥MF2，|MF2|＝|OF2|＝c，又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝eq\r(3)c，由椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a∴eq\r(3)c＋c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.16．(2021·苏北四市联考)已知两定点M(－1,0)，N(1,0)，若直线上存在点P，使|PM|＋|PN|＝4，则该直线为“A型直线”．给出下列直线，其中是“A型直线”的是________(填序号)．①y＝x＋1；②y＝2；③y＝－x＋3；④y＝－2x＋3.[答案]①④[解析]由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，①把y＝x＋1代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1并整理得，7x2＋8x－8＝0，∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点，∴y＝x＋1是“A型直线”．②把y＝2代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得eq\f(x2,4)＝－eq\f(1,3)不成立，直线与椭圆无交点，∴y＝2不是“A型直线”．③把y＝－x＋3代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1并整理得，7x2－24x＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y＝－x＋3不是“A型直线”．④把y＝－2x＋3代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1并整理得，19x2－48x＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y＝－2x＋3是“A型直线”．三、解答题17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．[解析](1)由于椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1，将点P(0,1)代入椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(1,b2)＝1，即b2＝1，所以a2＝b2＋c2＝2，所以椭圆C1的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)直线l的斜率明显存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx＋m，))消去y并整理得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，由于直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m整理得2k2－m2＋1＝0，①由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx＋m，))消去y并整理得，k2x2＋(2km－4)x＋m2由于直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2整理得km＝1，②综合①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(\r(2),2)，,m＝\r(2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(\r(2),2)，,m＝－\r(2).))所以直线l的方程为y＝eq\f(\r(2),2)x＋eq\r(2)或y＝－eq\f(\r(2),2)x－eq\r(2).18．(文)(2022·安徽“江南十校”联考)已知椭圆Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆的上顶点和两焦点连线构成等边三角形且面积为eq\r(3).(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若直线l：x＝my＋q(m≠0)与椭圆Γ交于不同的两点A，B，设点A关于椭圆长轴的对称点为A1，试求A1，F，B三点共线的充要条件．[解析](1)设椭圆Γ的标准方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由题意知a＝2c，bc＝eq\r(3)，所以a＝2，b＝eq\r(3)，椭圆Γ的标准方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋q，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))⇒(3m2＋4)y2＋6mqy＋(3q2－12)＝0，由Δ＝12[3m2q2－(3m2＋4)(q2－4)]＝48(3m2＋4－q2)>0，得记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(x1，－y1)，y1＋y2＝eq\f(－6mq,3m2＋4)，y1y2＝eq\f(3q2－12,3m2＋4)，由于F(1,0)，所以eq\o(FA1,\s\up6(→))＝(x1－1，－y1)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，故A1，F，B三点共线，∴eq\o(FA1,\s\up6(→))∥eq\o(FB,\s\up6(→))，∴(x1－1)y2