【创新设计】2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第12篇-第5讲-复数

第5讲复数[最新考纲]1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up12(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bieq\o(→,\s\up7(一一对应))复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(→,\s\up7(一一对应))平面对量eq\o(OZ,\s\up12(→)).3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．辨析感悟1．对复数概念的理解(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)2i比i大．(×)(3)(教材习题改编)复数1－i的实部是1，虚部是－i.(×)2．对复数几何意义的生疏(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)(6)(2021·福建卷改编)已知复数z的共复轭复数eq\x\to(z)＝1＋2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限．(×)3．对复数四则运算的理解(7)(教材习题改编)eq\f(1,i)＝－i.(√)(8)(2021·浙江卷改编)(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.(√)[感悟·提升]1．两点提示一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对消灭，如(1)；二是两个虚数不能比较大小，如(2)．2．两条性质(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．(2)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.同学用书第213页考点一复数的概念【例1】(1)(2021·山东卷)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数eq\x\to(z)为()．A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i(2)(2021·新课标全国Ⅰ卷)若复数z满足(3－4i)z＝|4－3i|，则z的虚部为()．A．－4B．－eq\f(4,5)C．4D.eq\f(4,5)解析(1)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝eq\f(5,2－i)＋3＝eq\f(52＋i,2－i2＋i)＋3＝eq\f(52＋i,5)＋3＝5＋i，∴eq\x\to(z)＝5－i.故选D.(2)(3－4i)z＝|4＋3i|＝5.∴z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(3＋4i,5)，∴z的虚部为eq\f(4,5).答案(1)D(2)D规律方法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义动身，把复数问题转化成实数问题来处理．【训练1】(1)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋eq\f(b,i)为纯虚数”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z2＋eq\x\to(z)2的虚部为()．A．0B．－1C．1D．－2解析(1)ab＝0⇒a＝0或b＝0，这时a＋eq\f(b,i)＝a－bi不肯定为纯虚数，但假如a＋eq\f(b,i)＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0，由此知选B.(2)∵z2＋eq\x\to(z)2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋eq\x\to(z)2的虚部为0.答案(1)B(2)A考点二复数的几何意义【例2】(1)(2021·湖南卷)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()．A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限(2)复数z＝eq\f(2－i2,i)(i为虚数单位)，则|z|＝()．A．25B.eq\r(41)C．5D.eq\r(5)解析(1)z＝i＋i2＝－1＋i，对应的点为(－1,1)，位于复平面其次象限．(2)∵z＝eq\f(4－4i－1,i)＝eq\f(3－4i,i)＝eq\f(3－4ii,i·i)＝eq\f(4＋3i,－1)＝－4－3i，∴|z|＝eq\r(－42＋－32)＝5.答案(1)B(2)C规律方法要把握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而精确     理解复数的“数”与“形”的特征．【训练2】(1)(2021·四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()．A．AB．BC．CD．D(2)(2021·湖北卷)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.解析(1)设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数eq\x\to(z)＝－a－bi，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点，故选B.(2)在复平面内，复数z＝a＋bi与点(a，b)一一对应．∵点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)，则复数z2＝－2＋3i.答案(1)B(2)－2＋3i同学用书第214页考点三复数代数形式的四则运算【例3】(1)已知复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z·eq\x\to(z)＝________.(2)eq\f(\r(2)＋\r(2)i34＋5i,5－4i1－i)＝________.(3)已知复数z满足eq\f(i,z＋i)＝2－i，则z＝________.解析(1)法一|z|＝eq\f(|\r(3)＋i|,|1－\r(3)i2|)＝eq\f(1,2)，z·eq\x\to(z)＝|z|2＝eq\f(1,4).法二z＝eq\f(\r(3)＋i,－21＋\r(3)i)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(i,4)，z·eq\x\to(z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)＋\f(i,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)－\f(i,4)))＝eq\f(1,4).(2)eq\f(\r(2)＋\r(2)i34＋5i,5－4i1－i)＝eq\f(2\r(2)1＋i3i5－4i,5－4i1－i)＝eq\f(2\r(2)1＋i4i,2)＝eq\r(2)i(1＋i)4＝eq\r(2)i[(1＋i)2]2＝eq\r(2)i(2i)2＝－4eq\r(2)i.(3)由eq\f(i,z＋i)＝2－i，得z＝eq\f(i,2－i)－i＝eq\f(i2＋i,5)－i＝eq\f(2,5)i－eq\f(1,5)－i＝－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)i.答案(1)eq\f(1,4)(2)－4eq\r(2)i(3)－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)i规律方法在做复数的除法时，要留意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．【训练3】(1)(2022·临沂模拟)设z＝1＋i，则eq\f(2,z)＋z2等于()．A．1＋iB．－1＋iC．－iD．－1－i(2)(2021·安徽卷)设i是虚数单位，eq\x\to(z)是复数z的共轭复数，若z·eq\x\to(z)i＋2＝2z，则z＝()．A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析(1)eq\f(2,z)＋z2＝eq\f(2,1＋i)＋(1＋i)2＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＋2i＝eq\f(21－i,2)＋2i＝1－i＋2i＝1＋i.(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·eq\x\to(z)i＋2＝(a＋bi)·(a－bi)·i＋2＝2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，故2＝2a，a2＋b2＝2解得a＝1，b＝1即z＝1＋i.答案(1)A(2)A1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应留意的问题，平移往往和加法、减法相结合．3．要记住一些常用的结果，如i，－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度．思想方法12——解决复数问题的实数化思想【典例】(2021·天津卷)已知a，b∈R，i为虚数单位，若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.解析(a＋i)·(1＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i＝bi则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝0,a＋1＝b))解得a＝1，b＝2.所以a＋bi＝1＋2i.答案1＋2i[反思感悟](1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．【自主体验】1．(2022·滨州模拟)已知eq\f(a－2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，则a－b＝()．A．1B．2C．－1D．－3解析a－2i＝bi＋i2＝－1＋bi，∴a＝－1，b＝－2，∴a－b＝1.答案A2．(2022·湖北卷)若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.解析由已知得3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝a＋bi－ai－bi2＝(a＋b)＋(b－a)i，依据复数相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝3，,b－a＝b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝3.))∴a＋b＝3.答案3对应同学用书P387基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2021·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于()．A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限解析(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D.答案D2．(2021·广东卷)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()．A．(2,4)B．(2，－4)C．(4，－2)D．(4,2)解析由已知条件得z＝eq\f(2＋4i,i)＝4－2i，所以z对应的点的坐标为(4，－2)，故选C.答案C3．(2022·武汉模拟)设复数z＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z的虚部为()．A．－2B．2C．－2iD．2i解析z＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i，所以复数z的虚部为2.答案B4．(2021·新课标全国Ⅱ卷)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()．A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i解析由题意得z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i·1＋i,2)＝－1＋i，故选A.答案A5．(2021·陕西卷)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()．A．若|z1－z2|＝0，则eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2B．若z1＝eq\x\to(z)2，则eq\x\to(z)1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2D．若|z1|＝|z2|，则zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)解析A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2，成立．B中，z1＝eq\x\to(z)2，则eq\x\to(z)1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1eq\x\to(z)1＝z2eq\x\to(z)2，C正确．D不肯定成立，如z1＝1＋eq\r(3)i，z2＝2，则|z1|＝2＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝－2＋2eq\r(3)i，zeq\o\al(2,2)＝4，zeq\o\al(2,1)≠zeq\o\al(2,2).答案D二、填空题6．(2021·江苏卷)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．解析∵z＝(2－i)2＝3－4i，∴|z|＝eq\r(32＋－42)＝5.答案57．(2022·郑州模拟)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))4＝________.解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,－2i)))2＝1.答案18．(2021·上海卷)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，则m＝________.解析由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－2＝0，,m2－1≠0，))解得m＝－2.答案－2三、解答题9．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a∵z1·z2∈R.∴a＝4.∴z2＝4＋2i.10．当实数m为何值时，z＝eq\f(m2－m－6,m＋3)＋(m2＋5m＋6)i，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的其次象限．解(1)若z为实数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝0，,m＋3≠0，))解得m＝－2.(2)若z为虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6≠0，,m＋3≠0，))解得m≠－2且m≠－3.(3)若z为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6≠0，,\f(m2－m－6,m＋3)＝0，))解得m＝3.(4)若z对应的点在其次象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－m－6,m＋3)＜0，,m2＋5m＋6＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜－3或－2＜m＜3，,m＜－3或m＞－2，))∴m＜－3或－2＜m＜3.力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2022·陕西师大附中模拟)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))2014＝()．A．－iB．iC．－1D．1解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))2014＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－i2,1＋i1－i)))2014＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2i,2)))2014＝(－i)2104＝i2014＝i4×503＋2＝－1.答案C2．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是()．A．－3＋2iB．3＋2iC．－2＋3iD．2＋3i解析法一x＝eq\f(－6±\r(36－52),2)＝－3±2i.法二令x＝a＋bi，a，b∈R，∴(a＋bi)2＋6(a＋bi)＋13＝0，即a2－b2＋6a＋13＋(2ab＋6b∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＋6a＋13＝0，,2ab＋6b＝0，))解得a＝－3，b＝±2，即x＝－3±2i.答案A二、填空题3．(2022·北京西城模拟)定义运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a),\s\do5(c))\o(\s\up7(b),\s\do5(d))))＝ad－bc.若复数x＝eq\f(1－i,1＋i)，y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(4i),\s\do5(2))\o(\s\up7(xi),\s\do5(x＋i))))，则y＝________.解析由于x＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,2)＝－i.所以y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(4i),\s\do5(2))\o(\s\up7(xi),\s\do5(x＋i))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(4i),\s\do5(2))\o(\s\up7(1),\s\do5(0))))＝－2.答案－2三、解答题4.如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)eq\o(AO,\s\up12(→))所表示的复数，eq\o(BC,\s\up12(→))所表示的复数；(2)对角线eq\o(CA,\s\up12(→))所表示的复数；(3)求B点对应的复数．解(1)eq\o(AO,\s\up12(→))＝－eq\o(OA,\s\up12(→))，∴eq\o(AO,\s\up12(→))所表示的复数为－3－2i.∵eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AO,\s\up12(→))，∴eq\o(BC,\s\up12(→))所表示的复数为－3－2i.(2)eq\o(CA,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))，∴eq\o(CA,\s\up12(→))所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))，∴eq\o(OB,\s\up12(→))所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.基础回扣练——推理证明、算法、复数(对应同学用书P389)(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2021·湖北卷)在复平面内，复数z＝eq\f(2i,1＋i)(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()．A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限解析z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i，eq\x\to(z)＝1－i，对应点(1，－1)在第四象限．答案D2．(2021·辽宁卷)复数z＝eq\f(1,i－1)的模为()．A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2解析z＝eq\f(1,i－1)＝eq\f(－1－i,－1＋i－1－i)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).答案B3．(2021·江西卷)已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝()．A．－2iB．2iC．－4iD．4i解析由M∩N＝{4}知4∈M，所以zi＝4，z＝－4i，选C.答案C4．(2022·佛山二模)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是()．A．－eq\r(3)B.eq\r(3)iC．±eq\r(3)iD．±eq\r(3)解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知a＝1，∴1＋b2＝4，∴b2＝3，∴b＝±eq\r(3).答案D5．(2022·青岛一模)某程序框图如图所示，若a＝3，则该程序运行后，输出的x值为()．A．15B．31C．62D．63解析第一次循环：x＝2×3＋1＝7，n＝2；其次次循环：x＝2×7＋1＝15，n＝3；第三次循环：x＝2×15＋1＝31，n＝4.此时不满足条件，输出x＝31.答案B6．(2022·郑州一模)执行如图所示的程序框图，则输出n的值为()．A．6B．5C．4D．3解析第一次循环，n＝1，S＝1＋2＝3；其次次循环，n＝2，S＝2×3＋2＝8；第三次循环，n＝3，S＝3×8＋2＝26；第四次循环，n＝4，S＝4×26＋2＝106，此时满足条件，输出n＝4.答案C7．(2021·江西卷)阅读如下程序框图，假如输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为()．A．S＝2]B.S＝2]D.S＝2]解析i＝2，S＝5；i＝3，S＜10，排解D；i＝4，S＝9；i＝5，S＜10，排解A和B，故选C.答案C8.(2022·咸阳模拟)某算法的程序框图如图所示，假如输出的结果为5,57，则推断框内应为()．A．k≤6?B．k＞4?C．k＞5?D．k≤5?解析当k＝1时，S＝2×0＋1＝1；当k＝2时，S＝2×1＋2＝4；当k＝3时，S＝2×4＋3＝11；当k＝4时，S＝2×11＋4＝26；当k＝5时，S＝2×26＋5＝57，由题意知此时退出循环，因而选B.答案B9．(2022·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是()．A．第一列B．其次列C．第三列D．第四列解析正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．答案D10．(2021·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另始终角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这肯定理推广到立体几何中：在四周体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为()．A．S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)B．S2＝eq\f(1,S\o\al(2,1))＋eq\f(1,S\o\al(2,2))＋eq\f(1,S\o\al(2,3))C．S＝S1＋S2＋S3D．S＝eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)解析如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何学问知，AD⊥BC，从而S2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·AD))2＝eq\f(1,4)BC2·AD2＝eq\f(1,4)BC2·(OA2＋OD2)＝eq\f(1,4)(OB2＋OC2)·OA2＋eq\f(1,4)BC2·OD2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)OB·OA))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)OC·OA))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·OD))2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3).答案A二、填空题11．(2021·重庆卷)已知复数z＝eq\f(5i,1＋2i)，则|z|＝________.解析z＝eq\f(5i,1＋2i)＝eq\f(5i1－2i,1＋2i1－2i)＝2＋i，∴|z|＝eq\r(5).答案eq\r(5)12．(2022·茂名一模)设i是虚数单位，复数eq\f(1＋ai,2－i)为纯虚数，则实数a＝________.解析eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－a,5)＋eq\f(2a＋1,5)i，由题意知：eq\f(2－a,5)＝0，∴a＝2.答案213．(2022·湖南十二校二联)为调查长沙市中同学平均每人每天参与体育熬炼时间(单位：分钟)，按熬炼时间分下列四种状况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中同学参与了此项活动，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参与体育熬炼时间在0～20分钟内的同学的频率是________．解析由已知得，输出的数据为体育熬炼时间超过20分钟的同学数6200，故熬炼时间不超过20分钟的同学数为10000－6200＝3800，由古典概型的概率计算公式可得，P＝eq\f(3800,10000)＝0.38.故所求频率是0.38.答案0.3814．(2022·泰安一模)若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值为________．解析第一次：n＝3×5＋1＝16，k＝1；其次次：n＝eq\f(16,2)＝8，k＝2；第三次：n＝eq\f(8,2)＝4，k＝3；第四次：n＝eq\f(4,2)＝2，k＝4；第五次：n＝eq\f(2,2)＝1，