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文档简介
第四节一次函数和二次函数题号12345答案1.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是()A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1解析:由于函数f(x)=x2+mx+1的对称轴为x=-eq\f(m,2),所以-eq\f(m,2)=1,即m=-2.故选A.答案:A2.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为()A.-1B.0C.1D.2解析:f(x)=-(x-2)2+4+a.由x∈[0,1]可知当x=0时,f(x)取得最小值-2,得a=-2,所以f(x)=-(x-2)2+2,当x=1时,f(x)取得最大值1.答案:C3.(2021·宁夏银川一中月考)已知二次函数f(x)=x2-ax+4,若f(x+1)是偶函数,则实数a的值为()A.-1B.1C.-2D.2解析:f(x+1)=(x+1)2-a(x+1)+4=x2+(2-a)x+5-a是偶函数,则对称轴为y轴,所以2-a=0,得a=2.故选D.答案:D4.函数f(x)=x2-2x-3,x∈[0,m](m>0)的最大值为-3,最小值为-4,则实数m的取值范围是()A.(0,1]B.[1,2]C.[2,+∞)D.(0,2]解析:二次函数的对称轴为x=1,结合图象可知,满足题设条件的m∈[1,2].故选B.答案:B5.(2022·杭州模拟)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若a=c,则函数f(x)的图象不行能是() 解析:由A,B,C,D四个选项知,图象与x轴均有交点,记两个交点的横坐标分别为x1,x2,若只有一个交点,则x1=x2,由于a=c,所以x1x2=eq\f(c,a)=1,比较四个选项,可知选项D的x1<-1,x2<-1,所以D不满足.答案:D6.不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为________.解析:∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-2+1=\f(1,a),,-2×1=-\f(c,a),))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=-1,,c=-2.))∴f(x)=-x2-x+2.故f(x)图象的对称轴为x=-eq\f(1,2),且开口向下,故f(x)在[1,2]上单调递减,f(x)min=f(2)=-4.答案:-47.假如函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的最小值为________.解析:由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-\f(a+2,2)=1,,\f(a+b,2)=1,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=-4,,b=6,))所以f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5,x∈[-4,6].故f(x)min=f(1)=5.答案:58.已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的定义域为R,值域为[1,+∞),则a的值为________.解析:由于函数f(x)的值域为[1,+∞),所以f(x)min=1.又f(x)=(x-a)2-a2+2a+4,当x∈R时,f(x)min=eq\a\vs4\al(f(a)=)-a2+2a+4=1,即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.答案:-1或39.已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值是1,且f(x)+g(x)是奇函数,求f(x)的表达式.解析:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3是奇函数,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a-1=0,,c-3=0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=1,,c=3.))∴f(x)=x2+bx+3=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(b,2)))eq\s\up12(2)+3-eq\f(1,4)b2.①当-1≤-eq\f(b,2)≤2即-4≤b≤2时,最小值为3-eq\f(1,4)b2=1⇒b=±2eq\r(2),∴b=-2eq\r(2).∴f(x)=x2-2eq\r(2)x+3.②当-eq\f(b,2)>2,即b<-4时,f(2)=1,无解.③当-eq\f(b,2)<-1,即b>2时,f(-1)=1⇒b=3,∴f(x)=x2+3x+3.综上所述,f(x)=x2-2eq\r(2)x+3或f(x)=x2+3x+3.10.(2022·武汉模拟)二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.解析:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2+bx+1.由于f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.即2ax+a+b=2x,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a=2,,a+b=0,))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=-1,))所以f(x)=x2-x+1.(2)由题意得x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立,即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.设g(x)=x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=eq\f(3,2),所以g(x)在[-1,1]上递减.故只需g(1)>0,即12-3×1+1-m>0,解得m<-1.所以m的取值范围是(-∞,-1).11.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹放射后的轨迹在方程y=kx-eq\f(1,20)(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与放射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽视其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.解析:(1)在y=kx-eq\f(1,20)(1+k2)x2(k>0)中,令y=0,得kx-eq\f(1,20)(1+k2)x2=0.由实际意义和题设条件知,x>0,k>0.∴x=eq\f(20k,1+k2)=eq\f(20,\f(1,k)+k)≤eq\f(20,2)=10,当且仅当k=1时取等号.∴炮的最大射程是10千米.(2)∵a>0,∴炮弹可以击中目标等价于存在k>0,使ka-eq\f(
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