【优化方案】2022高考总复习(人教A版)高中数学-选修4-1-第1讲-相似三角形的判定及有关性质

1第1讲相像三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相像三角形的判定与性质(1)判定定理内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相像判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相像判定定理3三边对应成比例的两个三角形相像(2)性质定理内容性质定理1相像三角形对应边上的高、中线和角平分线以及它们周长的比都等于相像比性质定理2相像三角形的面积比等于相像比的平方(3)推论：相像三角形外接圆的直径比、周长比等于相像比，外接圆的面积比等于相像比的平方．3．直角三角形相像的判定定理与射影定理(1)直角三角形相像的判定定理定理内容判定定理1假如两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相像判定定理2假如两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相像判定定理3假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像(2)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．eq\a\vs4\al(考点一)__平行线分线段成比例定理______________如图，在△ABC中，D为BC的中点，E在CA上且AE＝2CE，AD，BE交于F，求eq\f(AF,FD)，eq\f(BF,FE).[解]取BE的中点G，连接DG，在△BCE中，D、G分别为BC、BE的中点，∴DG∥EC，且DG＝eq\f(1,2)EC.又∵AE＝2CE，DG∥EC，∴eq\f(AF,FD)＝eq\f(EF,FG)＝eq\f(AE,DG)＝eq\f(AE,\f(1,2)EC)＝4，又BG＝GE，∴eq\f(BF,EF)＝eq\f(BG＋GF,EF)＝eq\f(GE＋GF,EF)＝eq\f(2GF＋EF,EF)＝2×eq\f(1,4)＋1＝eq\f(3,2).[规律方法]平行线截割定理的作用平行线截割定理一方面可以判定线段成比例；另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比．1.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，求梯形ABFE与梯形EFCD的面积比．解：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，得EF＝eq\f(1,2)(CD＋AB)，所以EF是梯形ABCD的中位线，则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，则S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝eq\f(1,2)(3＋4)h∶eq\f(1,2)(2＋3)h＝7∶5.eq\a\vs4\al(考点二)__相像三角形的判定与性质______________如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E.求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.[证明](1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC.∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC.∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶DC，∴DE·DC＝AE·BD.[规律方法](1)判定两个三角形相像要留意结合图形性质机敏选择判定定理，特殊要留意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相像三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点，ED、CB的延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.证明：∵E是Rt△ACD斜边上的中点，∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC，∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴eq\f(FB,FD)＝eq\f(FD,FC)，∴FD2＝FB·FC.eq\a\vs4\al(考点三)__直角三角形射影定理__________________如图所示，AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于点H，求证：DF2＝GF·HF.[证明]∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°，∴△AFH∽△GFB，∴eq\f(HF,BF)＝eq\f(AF,GF)，∴AF·BF＝GF·HF.∵在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，∴DF2＝GF·HF.[规律方法](1)在使用直角三角形射影定理时，要留意将“乘积式”转化为相像三角形中的“比例式”．(2)证题时，要留意作垂线构造直角三角形，这是解直角三角形时常用的方法．3．如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的角平分线，交AD于点F，求证：eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(BD,AB)，①eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,BC).②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即eq\f(BD,AB)＝eq\f(AB,BC).③由①③得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AB,BC)，④由②④得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).1．如图，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，求BC的长．解：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB∥EM∥DC,AE＝ED))⇒E为AD的中点，M为BC的中点．又EF∥BC⇒EF＝MC＝12cm，∴BC＝2MC＝24cm.2.(2021·湖南岳阳模拟)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB＝AF·AC.证明：∵AD⊥BC，∴△ADB为直角三角形．又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB.同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.3.(2021·广东广州模拟)如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴eq\f(AD,QC)＝2.∵eq\f(BP,PC)＝3，∴eq\f(BC,PC)＝4.又∵BC＝2DQ，∴eq\f(DQ,PC)＝2.在△ADQ和△QCP中，eq\f(AD,QC)＝eq\f(DQ,CP)，且∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.4.如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，求S△CDE的值．解：∵EC∥AD，∴S△DCE∶S△ADE＝EC∶AD，∵DE∥BC，∴S△BCE∶S△CDE＝BC∶ED，又由于∠ECB＝∠DEC＝∠ADE，∠BEC＝∠EAD，∴△BEC∽△EAD，∴EC∶AD＝BC∶ED.∴S△DCE∶S△ADE＝S△BCE∶S△CDE，于是S△CDE＝eq\r(3).5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P为AD上一点，CF∥AB，BP的延长线交AC、CF于E、F两点，求证：PB2＝PE·PF.证明：如图，连接PC.易证PC＝PB，∠ABP＝∠ACP.∵CF∥AB，∴∠F＝∠ABP.从而∠F＝∠ACP.又∠EPC为△CPE与△FPC的公共角，从而△CPE∽△FPC，∴eq\f(CP,FP)＝eq\f(PE,PC).∴PC2＝PE·PF.又PC＝PB，∴PB2＝PE·PF.6．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.证明：取AC的中点M，连接DM交CF于点N.在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，∴DN＝eq\f(1,2)BF.∵DN∥AF，∴△AFE∽△DNE，∴eq\f(AE,AF)＝eq\f(DE,DN).又∵DN＝eq\f(1,2)BF，∴eq\f(AE,AF)＝eq\f(2DE,BF)，即AE·BF＝2DE·AF.)1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E.试证明：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.证明：(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)在Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC.又AB·AC＝BC·AD，即AD3＝BC·CF·BE.2.如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DE＝eq\f(1,2)CD，BE与AD交于点F.(1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAF＝∠BCD，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∴eq\f(S△DEF,S△CEB)＝(eq\f(DE,CE))2，eq\f(S△DEF,S△ABF)＝(eq\f(DE,AB))2.又DE＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)AB，∴CE＝DE＋CD＝DE＋2DE＝3DE.∴eq\f(S△DEF,S△CEB)＝(eq\f(DE,CE))2＝eq\f(1,9)，eq\f(S△DEF,S△ABF)＝(eq\f(DE,AB))2＝eq\f(1,4).∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴S四边形ABCD＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝8＋18－2＝24.3．已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．解：(1)证明：由于DE⊥BC，D是BC的中点，所以EB＝EC，所以∠B＝∠1.又由于AD＝AC，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.(2)如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M.由于△ABC∽△FCD，BC＝2CD，所以eq\f(S△ABC,S△FCD)＝(eq\f(BC,CD))2＝4.又由于S△FCD＝5，所以S△ABC＝20.由于S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AM，BC＝10，所以20＝eq\f(1,2)×10×AM，所以AM＝4.由于DE∥AM，所以eq\f(DE,AM)＝eq\f(BD,BM).由于DM＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(5,2)，BM＝BD＋DM，BD＝eq\f(1,2)BC＝5，所以eq\f(DE,4)＝eq\f(5,5＋\f(5,2))，解得DE＝eq\f(8,3).4．如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EF∥AD，假设EF做上下平行移动．(1)若eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,2)，求证：3EF＝BC＋2AD；(2)若eq\f(AE,EB)＝eq\f(2,3)，试推断EF与BC，AD之间的关系，并说明理由；(3)请你探究一般结论，即若eq\f(AE,EB)＝eq\f(m,n)，那么你可以得到什么结论？解：过点A作AH∥CD分别交EF，BC于点G，H(图略)．(1)证明：由于eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)，又EG∥BH，所以eq\f(EG,BH)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)，即3EG＝BH.又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，从而EF＝eq\f(1,3)(BC－HC)＋AD，所以