【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第12章-第1节-几何证明选讲

第十二章第一节一、填空题1.(2022·湖北黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，若∠ACB＝20°，则∠AFD＝________.[答案]45°[解析]由于AC为圆的切线，由弦切角定理知∠B＝∠EAC，又由于CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD，依据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD，由于BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形，所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(文)(2022·重庆理)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C，若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.[答案]4[解析]如图所示：依据切割线定理，得PA2＝PB·PC，又由于PC＝(PB＋BC)，且PA＝6，BC＝9，所以36＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3.在△PAC中，依据余弦定理cos∠ACP＝eq\f(AC2＋PC2－AP2,2AC·PC)＝eq\f(82＋122－62,2×8×12)＝eq\f(43,48)，在△ACB中，依据余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝82＋92－2×8×9×eq\f(43,48)＝16，所以AB＝4.(理)(2021·广东梅州联考)如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD等于________．[答案]6[解析]设PC＝x，则PD＝PC＋CD＝x＋11，由割线定理知PC·PD＝PA·PB，∴x(x＋11)＝5×(5＋7)＝60，∵x>0，∴x＝4.∴PC＝4，PD＝15.∵∠PAC＝∠PDB，∠P为公共角，∴△PAC∽△PDB，∴eq\f(PA,PD)＝eq\f(AC,BD)，∴BD＝eq\f(AC·PD,PA)＝eq\f(2×15,5)＝6.3.(2022·陕西咸阳二模)如图，已知△ABC的∠BAC的平分线与BC相交于点D，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，若EB＝8，EC＝2，则ED＝________.[答案]4[解析]依据弦切角定理可得∠ABC＝∠EAC，由于线段AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD＝∠DAC，又∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，则可以得到∠EDA＝∠EAD，即△ADE为等腰三角形，则有DE＝AE，在△ACE，△ABE中，由于∠EAC＝∠ABC且∠AEC＝∠AEB，所以△CAE∽△ABE，则有eq\f(AE,BE)＝eq\f(CE,AE)⇒AE＝4，即DE＝AE＝4.4．如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E.若PA＝2eq\r(3)，∠APB＝30°，则AE＝________.[答案]eq\f(10\r(7),7)[解析]∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，在直角三角形PAO中，tan30°＝eq\f(AO,PA)＝eq\f(\r(3),3).∵PA＝2eq\r(3)，∴AO＝PA·eq\f(\r(3),3)＝2，即圆O的半径为r＝2，同理sin30°＝eq\f(AO,PO)＝eq\f(1,2)，∴PO＝4.∵D是OC的中点，∴OD＝DC＝1，从而BD＝BO＋OD＝2＋1＝3，PD＝PO＋OD＝4＋1＝5，在三角形PAD中，由余弦定理得：AD2＝PA2＋PD2－2PA·PD·cos30°＝(2eq\r(3))2＋52－2×2eq\r(3)×5×eq\f(\r(3),2)＝7，∴AD＝eq\r(7)，再由相交弦定理得：AD·DE＝BD·DC，即eq\r(7)·DE＝3×1＝3，DE＝eq\f(3\r(7),7)，∴AE＝AD＋DE＝eq\r(7)＋eq\f(3\r(7),7)＝eq\f(10\r(7),7).5．(文)(2022·广州综合测试一)如图，PC是圆O的切线，切点为点C，直线PA与圆O交于A，B两点，∠APC的角平分线交弦CA，CB于D，E两点，已知PC＝3，PB＝2，则eq\f(PE,PD)的值为________．[答案]eq\f(2,3)[解析]由切割线定理可得PC2＝PA·PB⇒PA＝eq\f(PC2,PB)＝eq\f(9,2)，由于PC切圆O于点C，由弦切角定理可知∠PCB＝∠PAD，由于PD是∠APC的角平分线，则∠CPE＝∠APD，所以△PCE∽△PAD，由相像三角形得eq\f(PE,PD)＝eq\f(PC,PA)＝eq\f(3,\f(9,2))＝eq\f(2,3).(理)(2022·广东汕头模拟)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是________．[答案]①②[解析]由题意，依据切线长定理，有BD＝BF，CE＝CF，所以AD＋AE＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝(AB＋BF)＋(AC＋CF)＝AB＋AC＋BC，所以①正确；由于AD，AE是圆的切线，依据切线长定理，有AD＝AE，又由于AG是圆的割线，所以依据切割线定理有AD2＝AF·AG＝AD·AE，所以②正确；依据弦切角定理有∠ADF＝∠AGD，又由于BD＝BF，所以∠BDF＝∠BFD＝∠ADF，在△AFB中，∠ABF＝2∠ADF＝2∠AGD，所以③错误．6．如图所示，在▱ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，直线AE交BC于M，直线MF交AD于N，则BM－DN＝________.[答案]6[解析]连CF交AD于P，∵E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形，∴△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD＝∠PFB，∴AM∥CP，∴M为BC的中点，∵∠FBM＝∠FDN，∠BFM＝∠DFN，∴△BFM∽△DFN，∴eq\f(BM,DN)＝eq\f(BF,DF)＝2，∴DN＝eq\f(1,4)BC＝6.二、解答题7．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．[解析](1)连结DE，依据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB).又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.由于C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH，由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝eq\f(1,2)(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5eq\r(2).8．(2022·哈三中二模)如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．证明：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[证明](1)由于PE，PB分别是⊙O2割线，所以PA·PE＝PD·PB①又PA，PB分别是⊙O1的切线和割线，所以PA2＝PC·PB②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AC，DE，设DE与AB相交于点F，由于BC是⊙O1的直径，所以∠CAB＝90°，所以AC是⊙O2的切线，由(1)得AC∥DE，所以AB⊥DE，所以AD＝AE.一、填空题9．(2021·惠州三调)如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为________．[答案]eq\r(7)[解析]由图可知，PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)＝3，∴PA＝eq\r(3)，∴∠AOP＝60°，又∠AOD＝60°，∴∠POD＝120°，∵PO＝2，OD＝1，∴cos∠POD＝eq\f(22＋12－PD2,2×2×1)＝－eq\f(1,2)，∴PD＝eq\r(7).10．(2022·武汉调研)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E为⊙O上一点，eq\x\to(AE)＝eq\x\to(AC)，DE交AB于点F.若AB＝4，BP＝3，则PF＝________.[答案]eq\f(21,5)[解析]连接OE，则易知∠OEF＋∠OFE＝∠AOE＝∠CDE＝∠DFB＋∠P，∴∠OEF＝∠P，∴△FOE∽△FDP，eq\f(PF,EF)＝eq\f(DF,OF)，即DF·EF＝OF·PF，而DF·EF＝AF·FB，可得OF·PF＝AF·FB.设FB＝x，有(2－x)(x＋3)＝(4－x)x，解得x＝eq\f(6,5)，则PF＝eq\f(21,5).11．(文)(2021·广东揭阳一中期中)如图，已知AB、BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，则⊙O的半径等于________．[答案]2[解析]设AO与BC相交于D，与⊙O相交于E，∵AO⊥BC，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，∴AD＝1，由相交弦定理知AD·DE＝BD·DC，∴1×(2R－1)＝(eq\r(3))2，∴R＝2.(理)(2022·湖北八市联考)如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA＝2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD＝________.[答案]eq\f(3\r(5),5)[解析]延长AO交圆O于点E，留意到C为OA的中点，则CE＝2＋1＝3，CA＝1，BC＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，由相交弦定理知CE·CA＝BC·CD，故CD＝eq\f(CE·CA,BC)＝eq\f(3×1,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5).12．(2022·陕西宝鸡三模)如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，PB交AC于点E，交圆O于点D，PA＝PE，PB＝9，PD＝1，∠ABC＝60°，则EC＝________.[答案]4[解析]∵PA是圆O的切线，∴PA2＝PD·PB＝9，可得PA＝3，∵∠PAC是弦切角，夹弧eq\x\to(ADC)，∴∠PAC＝∠ABC＝60°，在△APE中，PE＝PA，∴△APE是正三角形，可得PE＝AE＝PA＝3，∴BE＝PB－PE＝6，DE＝PE－PD＝2，∵圆O中，弦AC，BD相交于E，∴BE·DE＝AE·CE，可得6×2＝3EC，EC＝4.二、解答题13．(文)(2022·南京、盐城二模)如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.(1)求证：四边形ACBE为平行四边形；(2)若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长．[解析](1)由于AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB.由于AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.所以∠ABC＝∠BAE.所以AE∥BC.由于BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．(2)由于AE与圆相切于点A，所以AE2＝EB·(EB＋BD)，即62＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4.依据(1)有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6.设CF＝x，由BD∥AC，得eq\f(AC,BD)＝eq\f(CF,BF)，即eq\f(4,5)＝eq\f(x,6－x)，解得x＝eq\f(8,3)，即CF＝eq\f(8,3).(理)(2022·吉林长春三调)如图，圆M与圆N交于A、B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F.已知BC＝5，BD＝10.(1)求AB的长；(2)求eq\f(CF,DE).[解析](1)依据弦切角定理，知∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DAB，∴△ABC∽△DBA，则eq\f(AB,DB)＝eq\f(BC,BA)，故AB2＝BC·BD＝50，AB＝5eq\r(2).(2)依据切割线定理，知CA2＝CB·CF，DA2＝DB·DE，两式相除，得eq\f(CA2,DA2)＝eq\f(CB,DB)·eq\f(CF,DE)(*)．由△ABC∽△DBA，得eq\f(AC,DA)＝eq\f(AB,DB)＝eq\f(5\r(2),10)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(CA2,DA2)＝eq\f(1,2)，又eq\f(CB,DB)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，由(*)得eq\f(CF,DE)＝1.14．(文)(2021·黑龙江哈尔滨六校联考)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AB是⊙O的直径，过点D的⊙O的切线与BA的延长线交于点M.(1)若MD＝6，MB＝12，求AB的长；(2)若AM＝AD，求∠DCB的大小．[解析](1)由于MD为⊙O的切线，由切割线定理知，MD2＝MA·MB.又MD＝6，MB＝12，MB＝MA＋AB，所以MA＝3，AB＝12－3＝9.(2)由于AM＝AD，所以∠AMD＝∠ADM，连接DB，又MD为⊙O的切线，由弦切角定理知，∠ADM＝∠ABD，又由于AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角，即∠BAD＝90°－∠ABD.又∠BAD＝∠AMD＋∠ADM＝2∠ABD，于是90°－∠ABD＝2∠ABD，所以∠ABD＝30°.所以∠BAD＝60°.又四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BAD＋∠DCB＝180°.所以∠DCB＝120°.(理)(2021·石家庄模拟)如图，过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆O于点A、B，C、D，弦AD和BC交于点Q，割线PEF经过点Q交圆O于点E、F，点M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.(1)求证：PA·PB＝PM·PQ；(2)求证：∠BMD＝∠BOD.[证明](1)∵∠BAD＝∠BMF，∴A、Q、M、B四点共圆，∴PA·PB＝PM·PQ.(2)∵PA·PB＝PC·PD，∴PC·PD＝PM·PQ，又∠CPQ＝∠MPD，∴△CPQ∽△MPD，∴∠PCQ＝∠PMD，则∠BCD＝∠DMF，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BMD＝∠BMF＋∠DMF＝2∠BAD，又∠BOD＝2∠BAD，∴∠BMD＝∠BOD.15．(2022·东北三校一模)如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB(不包括端点)上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ＝∠PBC.求证：(1)eq\f(BD,AD)＝eq\f(BC,AC)；(2)△ADQ∽△DBQ.[解析](1)连结AB.由于∠PBC＝∠PDB，∠BPC＝∠DPB，所以△PBC∽△PDB，所以eq\f(BD,BC)＝eq\f(PD,PB).同理eq\f(