2021版《红对勾·讲与练》高中数学北师大版必修五：课时作业11-数列在日常经济生活中的应用

课时作业11数列在日常经济生活中的应用时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就削减一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温A．860个 B．1730个C．3072个 D．3900个【答案】C【解析】由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a1＝3，q＝2，由27－(－34)＝61，eq\f(61,6)＝10eq\f(1,6)，可得a11＝3·210＝3072，故选C.2．某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是()A.eq\f(p%＋q%,2) B．p%·q%C.eq\r(1＋p%1＋q%) D.eq\r(1＋p%1＋q%)－1【答案】D【解析】设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率为r，则(1＋p%)(1＋q%)＝(1＋r)2.于是r＝eq\r(1＋p%1＋q%)－1.3．一个卷筒纸，其内圆直径为4cm，外圆直径为12cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)()A．14m B．15mC．16m D．17m【答案】B【解析】纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·eq\f(4＋12,2)＝480×3.14＝1507.2(cm)≈15m，故选B.4．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值也为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元，作为购买者，请分析三种债券的收益，从小到大排列为()A．B，A，C B．A，C，BC．A，B，C D．C，A，B【答案】B【解析】假设都投入10000元，一年到期，A种共获得10300元，B种共获得10000×(eq\f(51.4,50))2≈10567.8元，C种共获得10000×eq\f(100,97)≈10309.3元．所以收益从小到大的排序为A，C，B.5．某企业在2022年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开头，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值等于()A.eq\f(M1＋m10,1＋m10－1) B.eq\f(Mm,1＋m10)C.eq\f(Mm1＋m10,1＋m10－1) D.eq\f(Mm1＋m10,1＋m10＋1)【答案】C【解析】由已知条件和分期付款公式可得，a[(1＋m)9＋(1＋m)8＋…＋(1＋m)＋1]＝M(1＋m)10，故a＝eq\f(Mm·1＋m10,1＋m10－1).6．依据市场调查结果，猜想某种家用商品从年初开头n个月内累计的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝eq\f(n,90)(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此猜想，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A．5月、6月 B．6月、7月C．7月、8月 D．8月、9月【答案】C【解析】Sn＝eq\f(n,90)(21n－n2－5)＝eq\f(1,90)(21n2－n3－5n)，∴由an＝Sn－Sn－1，得an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,90)(21n2－n3－5n)－eq\f(1,90)[21(n－1)2－(n－1)3－5(n－1)]＝eq\f(1,90)[21(2n－1)－(n2＋n2－n＋n2－2n＋1)－5]＝eq\f(1,90)(－3n2＋45n－27)＝－eq\f(3,90)(n－eq\f(15,2))2＋eq\f(63,40)，∴当n＝7或8时，超过1.5万件．7．某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清(此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算)并优待x%，为鼓舞购房者一次付款，问优待率应不低于多少？(x取整数，计算过程中参考以下数据：1.029＝1.19,1.0210＝1.2，1.0211＝1.24)()A．15% B．16%C．17% D．18%【答案】B【解析】由题意，知50(1－x%)(1＋2%)9≤5(1.029＋1.028＋…＋1.02＋1)．整理，得1－x%≤eq\f(1.0210－1,10×1.029×0.02)＝eq\f(1,1.19)＝0.8403，∴x%≥15.97%，∴一次付款的优待率应不低于16%.【点评】留意第一次付款到最终一次付款前后共间隔9年，共付款10次．二、填空题(每小题5分，共15分)8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010年产生的垃圾量为a吨，由此猜想，该区下一年的垃圾量为________吨，2021年的垃圾量为________吨．【答案】a(1＋b)a(1＋b)5【解析】2010年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2010年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2021年是从2010年起再过5年，所以2021年的垃圾量是a(1＋b)5吨．9．某工厂2021年的月产值按等差数列增长，第一季度总产值为20万元，上半年总产值为60万元，则2021年全年总产值为________元．【答案】200【解析】由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×3－1,2)d＝20,6a1＋\f(6×6－1,2)d＝60))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(40,9),d＝\f(20,9)))，所以S12＝12×eq\f(40,9)＋eq\f(12×12－1,2)×eq\f(20,9)＝200.10．某人从2009年起，每年1月1日都到银行存款a元(均为一年期)，若年利率为p保持不变，且每年到期的存款连同利息都准时转为新的一年期存款，此人到2021年1月1日不再存款，而将全部存款及利息全部取回，则他可取回的钱数为________．【答案】eq\f(a,p)[(1＋p)11－(1＋p)]【解析】从2009年年初到2010年年初有存款b1＝a(1＋p)元，设第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，则有bn＋1＝(bn＋a)(1＋p)．将之变形为bn＋1＋eq\f(a1＋p,p)＝(1＋p)[bn＋eq\f(a1＋p,p)]，其中b1＋eq\f(a1＋p,p)＝eq\f(a1＋p2,p).∴{bn＋eq\f(a1＋p,p)}是以eq\f(a1＋p2,p)为首项，(1＋p)为公比的等比数列，于是bn＝eq\f(a,p)[(1＋p)n＋1－(1＋p)]，即这个家庭到2021年年初本利可达eq\f(a,p)[(1＋p)11－(1＋p)]元．三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，假如购买时先付150元，以后每月付50元，加入欠款的利息，若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么第10个月该付多少钱？购冰箱钱全部付清后，实际共付出款额多少元？【解析】购买时付款150元，余款1000元分20次分期付款，每次付款数组成一个数列{an}．a1＝50＋(1150－150)×1%＝60(元)，a2＝50＋(1150－150－50)×1%＝59.5(元)，…，an＝50＋[1150－150－(n－1)×50]×1%＝60－eq\f(1,2)(n－1)(n＝1,2，…，20)．∴{an}是一个等差数列，a1＝60，公差d＝－eq\f(1,2).∴a10＝60－eq\f(1,2)×9＝55.5(元)．S20＝20×60＋eq\f(1,2)×20×19×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝1105(元)．因此，第10个月应付55.5元，全部付清后，实际付出1255元．12．(15分)某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟接受每购买一个这种商品，赠送一个小礼品的方法，实践表明：礼品价值为一元时，销售量增加10%；且在确定范围内，礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n元时的销售量增加10%(n∈N)．(1)写出礼品价值为n(元)时，利润yn(元)关于n的函数关系式及这个函数的定义域．(2)请你设计礼品价值，以使商品获得最大利润．【解析】(1)设赠送礼品时，单位时间内的销售量为m个，则yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝m(20－n)×1.1n其中0≤n<20，n∈N.(2)要求出获得最大利润时的礼品价格，只需解关于n的不等式yn＋1－yn≥0，即m(19－n)×1.1n＋1－m(20－n)×1.1n≥0即(19－n)×1.1－(20－n)≥0，n≤9则y0<y1<y2<…<y9＝y10同理可得y10>y11>y12>…>y18>y19.∴为获得最大利润，礼品价值应为9元或10元．13．(20分)某城市打算对城区住房进行改造，在建新住房的同时拆除部分旧住房，第一年建新住房am2，其次年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年削减am2；已知旧住房面积为32am2，每年拆除的数量相等．(1)若10年后该城市的住房面积正好比改造前的住房面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m2?(2)求前n(1≤n≤10且n∈N＋)年新建住房总面积Sn.【解析】(1)10年后新建住房总面积为a＋2a＋4a＋8a＋7a＋6a＋5a＋4a设每年拆除的旧住房为xm2，则42a＋(32a－10x)＝2×32a，解得x＝a，即每年拆除的旧住房面积是a(2)设第n年新建住房面积为a，则an＝eq\b\lc\{\rc