中考数学一轮复习知识梳理+考点精讲专题12 二次函数的图像与性质及与a、b、c的关系（解析版）

专题12二次函数的图像与性质及与a、b、c的关系中考命题解读中考命题解读二次函数是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形结合思想的典例。考标要求考标要求1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．3．会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律考点精讲考点精讲考点1：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，考点2：a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bab＞0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac＞0与x轴有两个交点b2-4ac＜0与x轴没有交点考点3：二次函数与一元二次方程的关系（1）的解就是二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标（2）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；（3）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；（4）当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.母题精讲母题精讲【典例1】（2022秋•西城区）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是，顶点坐标是；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是．【解答】解：（1）令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3．解得x1＝﹣1，x2＝3．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）列表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…图象如图所示：；（3）当﹣2＜x≤1时，﹣4≤y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3，综上所述，﹣4≤y＜5．【典例2】画出二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题：x……y……（1）对称轴是，顶点坐标为；（2）与x轴的交点坐标为；与y轴的交点坐标为．（3）当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小．（4）当时，函数y的值小于0．（填x的取值范围）．【解答】解：填表如下：x…﹣10123…y…03430…作图如右：，由图象可知：（1）对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，4）；（2）与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）；与y轴的交点坐标为（0，3）．（3）当x≤1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小．（4）当x＜﹣1或x＞3时，函数y的值小于0．故答案为（1）x＝1，（1，4）；（2）（﹣1，0）和（3，0），（0，3）；（3）≤1，＞1；（4）x＜﹣1或x＞3．真题精选真题精选命题1命题1二次函数函数的图像及性质1．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2【答案】B【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴x＞1时，y随x增大而增大，故选：B．2．（2022•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5） C．该函数有最大值，最大值是5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大【答案】D【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．故选：D．3．（2022•潍坊）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A． B． C．﹣4 D．4【答案】B【解答】解：∵抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，∴方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1•c＝0，∴c＝．故选：B．4．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），∴当y＝﹣3时，x＝1，当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，解得x＝4或x＝﹣2，∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，∴a＝4，故选：D．5．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5【答案】D【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，解得m＝﹣4，∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x﹣5＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，故选：D．6．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣5，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是．【答案】3【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，∴该函数的对称轴是直线x＝1，∴当x＝4时，函数有最大值，最大值为y＝（4﹣1）2﹣6＝3，故答案为：3．7．已知二次函数y＝2x2+4x﹣6．（1）把函数配成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求函数与x轴交点坐标；（3）用五点法画函数图象x……y……根据图象回答：（4）当y≥0时，则x的取值范围为．（5）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为．【解答】解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8；（2）令y＝0，则0＝2x2+4x﹣6，解得：x＝1，或x＝﹣3，函数与x轴交点坐标为（1，0），（﹣3，0）；（3）用五点法画函数图象如下：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣6﹣8﹣60…（4）当y≥0时，则x的取值范围为x≥1或x≤﹣3．（5）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为0＞y≥﹣8．命题2命题2二次函数图像与系数的的结论判断8．（2022•毕节市）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵图象与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，∴①说法错误，∵﹣＝1，∴2a＝﹣b，∴2a+b＝0，∴②说法错误，由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0），∵当x＝﹣1时，y＜0，∴当x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，∴③说法错误，∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，∴④说法正确；当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，∴⑤说法正确，∴正确的为④⑤，故选：B．9．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有