中考数学总复习《直角三角形的存在性问题》专项检测卷含答案

第第页②如图5,当∠CAE=90°时,△CDA∽△AHB.所以CDDA=AHHB.所以解方程3+2x−x²=x−1,得x=1±172考点伸展从第(2)题的解题过程可以看出,∠1=∠2=∠4=∠3.设∠B=α,那么∠BAD=180°−α.在△ADE中,由于AD=AE,所以∠4=∠3=α2.特别地,当α=70°时,∠AEC=第(1)题y随x变化的函数图像为什么是一段圆弧呢?因为AB=2为定值，所以点B在以A为圆心、2为半径的圆上运动.如果以D为坐标原点、AD长为单位长度建立平面直角坐标系，那么BC=x的意义就是点B的横坐标，CD=y的意义就是点B的纵坐标的相反数.所以y随x变化的函数图像如图6所示.7.满分解答(1)因为抛物线与x轴交于点B(4,0),设y=(x-4)(x-x₂).代入点C(0,4),得4=4x₂.解得x₂=1.所以y=(2)第一步，说理，转化.如图2,由B(4,0)、C(0,4),可得∠BCO=45°.由y=x+m,可知∠EFO=45°.如图3，过点C作x轴的平行线交直线EF于点G.作PH⊥CG于H.所以△CFG、∠CEG和△CFE保持等腰直角三角形的形状.所以PE+EF=PE+EG=PG=2HP.第二步，计算.如图3,设H(a,4),P(a,a²-5a+4),那么HP=4−所以当a=52时，HP取得最大值，最大值所以PE+EF的最大值=(3)①点D的坐标为52132②点D的纵坐标n的取值范围是−32<n<考点伸展第(3)题的思路是这样的：如图4，以BC为直角边的直角三角形BCD有2个，D152132,D2如果△BCD是锐角三角形，那么点D在线段D₁D₃上或线段D₂D₄上(都不含端点).8.满分解答(1)将A(-2,1)、B(-1,-1)两点分别代入y=ax²+bx−1,得4a−2b−1=1,a−b−1=−1.解得a=1，b=1.所以抛物线C₁的表达式为2MN=(3)先确定直角，再验证是否等腰.分两种情况：已知A①当∠AMN=90°时,yM=yA.解方程2t²+t+1=1,得t=0,或t=−当t=0时,AM=2,MN=t²+2=2.所以△AMN是等腰直角三角形(如图2).当t=−12时，AM=3②当∠ANM=90°时,yN=yA.解方程t²+t−1=1,,得t=1,或t=-2.当t=1时,AN=3,MN=t²+2=3.所以△AMN是等腰直角三角形(如图3).当t=-2时,直线过点A,所以△AMN不存在.综上所述，当△AMN是以MN为直角边的等腰三角形时，t=0或t=1.(4)如图4,Q₁(-1,3),Q₂(0,2),Qₐ(35，125,)Qᵢ(4考点伸展第(4)题的解题过程:先来梳理一下A、B、M、N、P、K等6个点.已知A(-2,1),B(-1,-1),M(t,2t²+t+1),N(t,t²+t-1),P(0,--1).当t=0时，M(0，1)在y轴上，不在y轴右侧.所以不考虑这种情况.当t=1时,M(1,4),N(1,1).由A(-2,1)、M(1,4),可得K(0,3)(如图5所示).再来认识这6个点的位置关系和数量关系.如图5,由B(-1,-1)、N(1,1)、P(0,-1),可得B、N关于原点对称,BN过原点,BP=OP=1.由K(0,3)、P(0,—1)、N(1,1),可知点N在KP的垂直平分线上,所以NP=NK.第一次变换：如图6，过点N画水平直线y=1，以直线y=1为对称轴，将△NBP翻折，那么点B对应点Q₁,点O对应点Q₂,符合KQ=BP=1,∠KNQ=∠PNB.点B(-1,-1)关于直线y=1的对应点Q₁的坐标是(-1,3);点O(0,0)关于直线y=1的对应点Q₂的坐标是(0,2).第二次变换：如图7，以K为圆心画单位圆.以直线NK为对称轴，作Q₁、Q₂的对应点Q₃、Q₄，那么点Q₃、Q₄一定落在圆上,而且弦Q₁Q₃∥弦Q₂Q₄,直线NK垂直平分Q₁Q₃、Q₂Q₄.①如图8,构造Rt△Q₁Q₃H,使Q₁H∥x轴.所以tan∠Q3在Rt△Q₃KH中,由勾股定理,得m²+2m−1²=1².解得所以点Q₁(-1,3)向右平移85个单位，再向上平移45个单位，得到点(②如图9,构造Rt△Q₂Q₄G,使Q₄G∥x轴.所以tan∠Q2在Rt△Q₄KG中,由勾股定理,得2m²+1−m²=1².所以点Q₂(0,2)向右平移45个单位，再向上平移25个单位，得到点(如果用代数法解第(4)题，表述起来更方便一些，而且是“一石二鸟”的效果.如图10,由△QKN≌△BPN,得QK=BP=1,QN=BN=2设Q(x,y),已知K(0,3),N(1,1),由QK2=1,解得x=-1,y=3或x=35,y=由△Q'KN≌△OPN,得(Q设Q'(x,y),已知K(0,3),N(1,1),由Q'K解得x=0,y=2或x=45,y=9满分解答由题意，得点B的坐标为(2，0)，且∠BAP不可能成为直角.①如图1,当.∠ABP=90°时,点P的坐标为(2,1).②如图2，当∠APB=90°时,OP是Rt△APB的斜边上的中线,OP=2.设点P的坐标为x2x,由OP²=4,解得x=±2.此时点P的坐标为(10满分解答由题意，得点B的坐标为(2，0)，且∠BAP不可