河北省衡水市联考2024届高三下学期4月质量检测数学试题

河北省衡水市联考2024届高三下学期4月质量检测数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|ln(x−1)<0},B={x|−1<x≤3A．(0,2] B．(1,32]2．若zi+z=1+3i，则zzA．2 B．1 C．5 D．53．某校高三共有200人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成绩等级为A，则估计获得A的考生人数约为（）A．100 B．75 C．50 D．254．已知直线l:y=3x+2m与双曲线C:A．2 B．3 C．3+1 5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若A．156 B．252 C．192 D．2006．在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙为充分条件也不是乙的必要条件7．已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，若将fA．23 B．13 C．1 8．已知f(x)为定义在R上的奇函数，设f'(x)为f(x)的导函数，若f(x)=f(2−x)+4x−4，则A．1 B．−2023 C．2 D．2023二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知直线l:x+my−m+2=0，圆A．直线l恒过定点(−2B．直线l与圆C相交C．当直线l平分圆C时，m=−3D．当点C到直线l距离最大值时，m=10．将正四棱锥P−ABCD和正四棱锥Q−ABCD的底面重合组成八面体Ω,A．PQ⊥平面ABCDB．PAC．Ω的体积为4D．二面角P−AB−Q的余弦值为−11．已知抛物线E:y2=2px(p>0)焦点为F，过点M(2,0)（不与点F重合）的直线交E于P,QA．p=1 B．直线AB过定点(C．|FP|⋅|FQ|的最小值为254 D．|PA|+|QB|的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点(−3,2)，则13．在数轴上，一个质点从坐标原点出发向x轴正半轴移动，每次移动1或者2个单位长度，若质点移动7次后与坐标原点的距离为11，则质点移动的方法总数有种．14．三棱锥P−ABC中，△ABC和△PBC均为边长为2的等边三角形，D,E分别在棱PB,AC上，且PDPB=AEAC,DE⊂平面α,四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD,AD∥BC,（1）证明：AD⊥PC；（2）若PC=2，设M为PC的中点，求PB与平面AMD16．甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有5道题，已知这5道题中甲同学只能答对其中3道，从这5道题目中随机抽取3道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试；第二轮为复试，共有2道题目，甲同学答对其中每道题的概率均为12（1）求甲通过初试的概率；（2）求甲晋级决赛的概率，并在甲晋级决赛的情况下，记随机变量X为甲的得分成绩，求X的数学期望．17．已知函数f(x)=a（1）当a=1e时，求（2）当a>0时，f(x)≥2−a，求a的取值范围．18．记Sn为数列{an}的前（1）求a3和{（2）设数列{1|an|}的前19．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，设C的右焦点为F，左顶点为A（1）求椭圆C的标准方程；（2）连接AD和AE分别交圆(x+1)2①当直线DE斜率存在时，设直线DE的斜率为k1，直线MN的斜率为k2，求②设△ADE的面积为S1,△AMN的面积为S

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由ln(x−1)<0，解得1<x<2，则集合A={x|1<x<2}，所以A∩B=(1,故答案为：B.【分析】先解不等式求得集合A，再利用集合的交集运算求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：由zi+z=1+3i，可得z1+i=1+3i，则所以z=2−i，故z故答案为：D.【分析】由题意，根据复数的四则运算求得复数z，再根据复数的乘法运算求zz3．【答案】C【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知：

体育测试82分以上的考生的频率约为0.故获得A的考生人数约为200×0.故答案为：C.【分析】根据频率分布直方图计算体育测试82分以上的考生的频率，再求获得A的考生人数即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：易知双曲线C的渐近线方程为y=±m+2因为直线l:y=3x+2m与双曲线C的一条渐近线平行，所以m+2m=3，解得m=1，

故双曲线C:x2−y23=1故答案为：C.【分析】易得双曲线的渐近线，由直线l平行渐近线求得m的值，再利用点到直线的距离公式求解即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：设数列{an}公差为d，由S10=120，得10(a1+a10)2则a6+a故答案为：B.【分析】设数列{an}公差为d，根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式以及等差数列性质求得等差数列{an6．【答案】D【解析】【解答】解：当b−c=a(cosC−cosB)即sin(A+C)−由正弦定理可得cosAc-b=0，则cosA=0或b=c，即△ABC是直角三角形，当角B或C是直角时，乙不能推甲，即必要性不成立，故甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.故答案为：D.【分析】由题意，利用正弦定理定理、两角和的正弦公式化简命题甲，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：函数f(x)的图象向左平移π3因为函数y=g(x)的图象与y=f(x所以sin(ωx+π6即sin(ωx+π6)=sin(−ωx+πω+π6)=sin[π−(ωx−πω+5π6)]=sin(ωx−πω+5π6故答案为：A.【分析】根据三角函数图象的平移变换求得g(8．【答案】C【解析】【解答】解：由f(x)=f(2−x)+4x−4，两边求导可得f'(x)=−f'(2−x)+4，求导可得f'(x)=所以f'(2−x)=所以f'(x−2)+所以f'(2023)=f'(−1)=故答案为：C.【分析】由f(x)=f(2−x)+4x−4求导得f'(x)，结合函数的奇偶性推出f'9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、直线l:x+my−m+2=0化为x+2+m(y−1)=0，令y−1=0，

则y=1，x=−2，故直线l恒过定点B、易知圆心C(1,2)，半径为r=5，点C(1,2)d2−r2=(m+3)2C、当直线l平分圆C时，直线l:x+my−m+2=0过圆心，则1+2m−m+2=0成立，

解得D、点C到直线l距离满足d≤|PC|，等号成立当且仅当PC⊥l，PC的斜率为k1则当等号成立时有13⋅(−1故答案为：ACD.【分析】将直线方程变形即可判断A；举反例即可判断B；将圆心坐标代入直线方程求参数m即可判断C；当点C到直线l距离最大值时，有PC⊥l，结合它们的斜率关系即可判断D.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：记正方形ABCD的中心为O，连接PO,A、因为四棱锥P−ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，同理QO⊥平面ABCD，则P,O,Q共线，故B、连接AC，易知O是AC的中点，AO=12AC=QO=QA2−AO2=22，因为O不是C、Ω的体积V=VD、取AB中点M，连接PM,QM，则PM⊥AB,QM⊥AB，

∠PMQ是二面角P−AB−Q的平面角，PM=P故答案为：AC.【分析】利用正四棱锥的定义即可判断A；判断是否为平行四边形即可判断B；计算体积即可判断C；利用几何法求出二面角的余弦值即可判断D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：设直线PQ:x=my+2，因为点P,Q在抛物线上，所以记P(y122p,y1),Q(y222p,B、由A可知E:y2=2x，则F(12,0)，设直线PF:x=m1y+12，联立x=m1y+12y2=2x，

C、|FP|⋅|FQ|=(yD、|PA|=y12+1+1故答案为：ACD.【分析】设直线PQ:x=my+2与抛物线联立可得抛物线交点坐标，由∠AOB=90°可得OP⋅OQ=0，从而求得p的值即可判断A；设直线PF12．【答案】−【解析】【解答】解：因为角α的终边经过点(−3,2)，所以sinα=2(−故答案为：−7【分析】根据任意角得定义求得sinα,cosα，再根据两角和的正弦公式结合特殊角的三角函数值求13．【答案】35【解析】【解答】解：因为质点每次移动1或者2个单位长度，移动7次后与坐标原点的距离为11，所以“移动2个单位长度”移动可4次；“移动1个单位长度”移动乐3次，即只需要在7个位置上选出4个位置进行“移动2个单位长度”即可，故方法总数为C7故答案为：35.【分析】由题意，结合组合知识求解即可.14．【答案】3【解析】【解答】解：因为AP//平面α，设α∩面PAB=DM，所以DM//PA设PD=AE=x，所以2−x2=DM所以四边形DMEN为平行四边形，即DN//DN⊄面ABC，ME⊂面ABC，所以DN//面ABC又因为DN⊂面PBC，面PBC∩面ABC=BC，所以DN//BC，即ME//取BC中点O，连接PO,OA，如图所示：

易得PO⊥BC，OA⊥BC，PO∩OA=O，所以BC⊥面POA，所以BC⊥PA，所以DN⊥NE则四边形DMEN为正方形，所以面α与三棱锥P−ABC的交线围成的面积S=3当x=1，即D为PB中点时，面积最大，最大值为32故答案为：32【分析】根据已知条件，先证明截面为长方形，再设PD=x，将面积表示为关于x的二次函数，结合二次函数的性质求解即可.15．【答案】（1）证明：在四棱锥P−ABCD中，其AD的中点为E，连接PE,在等腰△PAD中，PA=PD，所以PE⊥AD，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,所以四边形ABCE是正方形，所以CE⊥AD，因为PE∩CE=E,PE,所以AD⊥平面PCE，又PC⊂平面PCE，所以AD⊥PC.（2）解：因为PE=CE=1，若PC=2，则PE⊥CE又PE⊥AD,AD∩CE=E,AD,CE⊂平面以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系E−xyz，则P(0,所以PB=(1设平面AMD的法向量为n=(x,y,z)，则n设PB与平面AMD所成角为α，则sinα=所以PB与平面AMD所成角的正弦值63【解析】【分析】（1）由题意，根据线面垂直的判定定理推出AD⊥平面PCE，再根据线面垂直的定义证明线线垂直即可；（2）以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系E−xyz，利用空间向量的坐标运算求解直线PB的方向向量与平面AMD法向量，再根据向量夹角余弦公式确定线面所成角的正弦值即可.16．【答案】（1）解：甲要通过初试，则需要答对2道或3道题目，所以甲通过初试的概率为C3（2）解：①若甲初试答对2道题目，则甲晋级决赛，复试需要答对2题，此时甲晋级决赛的概率为C3②若甲初试答对3道题目，则甲晋级决赛，复试需要答对1题或2题，当复试答对1题时，甲晋级决赛的概率为C3当复试答对2题时，甲晋级决赛的概率为C3综上所述，甲晋级决赛的概率为320在甲晋级决赛的情况下，随机变量X可取24,P(X=24)=3所以E(X)=24×8【解析】【分析】（1）由题意可知：甲要通过初试，则需要答对2道或3道题目，利用古典概型求解即可；（2）分甲初试答对2道和3道题目两种情况讨论，再结合相互独立事件的乘法公式即可求出，甲晋级决赛的概率，写出随机变量X的所有可能取值，并利用条件概率公式求得对应概率，再根据期望公式求解即可.17．【答案】（1）解：当a=1e时，f(x)=xe则f'设g(x)=xex−1−1，则g所以当x∈(0,1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,所以f(x)的减区间为(0,1)，增区间为（2）解：f'设h(x)=a2xex−1，则又h(0)=−1<0，h(1所以存在x0∈(0,1a当x∈(0,x0)时，当x∈(x0,+∞)时，当x=x0时，所以f(x)≥f(x所以1+2lna≥2−a，即设F(a)=a+2lna−1，易知F(a)单调递增，且所以F(a)≥F(1)，解得a≥1，综上，a≥1.【解析】【分析】（1）将a=1e代入，求函数f(x)的定义域及其导函数，令g(x)=xex−1−1（2）求导函数f'(x)，设h(x)=a2x18．【答案】（1）解：因为a2所以当n=1时，S1+1当n=3时，S3+18=−又因为Sn+1当n为奇数时，cosnπ=−1所以Sn+1作差，an+1+1当n为偶数时，cosnπ=1所以Sn+1作差，an+1+1所以，an（2）证明：由第1小问得，|a所以令bn所以T==8所以1T下面证明k=1n因为1T所以k=1n下面证明k=1n因为4k所以1T所以k=1n所以18【解析】【分析】（1）根据已知条