广东省茂名市高州市2024届高三下学期适应性考试数学试题

广东省茂名市高州市2024届高三下学期适应性考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x−2|≥1}，A．{x|1<x<2} C．{x|1≤x<4} 2．若复数(1−3i)z=3−i（i为虚数单位），则|z|−z在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若A．4 B．6 C．7 D．94．已知a>0，b>0，则下面结论正确的是()A．若ab=4，则a+b≤4 B．若a>b，则aC．若a+2b=2，则2a+4b有最小值4 5．双曲线x2a−A．65 B．43 C．26．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则AD⋅A．[−24,16] B．[0,32] C．7．自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，Tanh函数的解析式为tanhx=ex−eA．13 B．3 C．1 D．18．若正四面体P−ABC的棱长为23，M为棱PA上的动点，则当三棱锥M−ABC的外接球的体积最小时，三棱锥M−ABCA．463 B．42 C．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)A．f(x)的最小正周期为πB．φ=C．函数f(x)的图象关于x=πD．f(x)在区间[0,10．某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件A1和A2表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件A．P(A1A2)=0 B．P(B|A11．已知函数f(x)的定义域为R，f(x+y)−f(x−y)=f(x+32)f(y+A．f(32)=0 C．f(0)=−2 D．f(x)的一个周期为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．二项式(2x−1x)13．已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是正方形，AB=4，AA1=42，点B114．已知a，b，c为△ABC的三边长(a<b)，且a，b为函数f(x)=ax2−bx+c的两个零点，若M>a+b−c恒成立，则M四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．在△ABC中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足a+c（1）求∠B的大小；（2）∠A的角平分线AD交BC边于D，向量BA在BD上的投影向量为−2BD，|BD|=1，求|AC|16．已知函数f(x)=ln（1）求曲线y=f(x)在点(e,（2）当x≥1时，xf(x)≤a(x2−1)17．《中华人民共和国爱国主义教育法》已于2024年1月1日起施行．该法以法治方式推动和保障新时代爱国主义教育，对于传承和弘扬民族精神，凝聚力量，推进强国建设、民族复兴，意义重大而深远．某社区为了了解社区居民对《中华人民共和国爱国主义教育法》的了解，针对社区居民举办了一次关于《中华人民共和国爱国主义教育法》的知识竞赛，满分100分（95分及以上为优秀），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,（1）根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的第74百分位数；（2）在第四组和第五组中随机抽取3人，记这3人中年龄在第四组中的人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）若第二组社区居民的年龄的平均数与方差分别为26和2，第三组社区居民的年龄的平均数与方差分别为32.5和3.75，求这20人中年龄在区间[25,18．已知椭圆C:x2a2+y（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P，Q为椭圆C上两个动点，直线AP，AQ的斜率之积为−14，BD⊥PQ，D为垂足，求19．已知集合A={a1,a2,a3⋅⋅⋅an}⊆N*，其中n∈N且（1）集合A={1,2,4,（2）已知A具有性质M20，求证：1（3）已知A具有性质M20，求集合A

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵A={x||x−2|≥1}={x|x≤1或x≥3}，∴∁图中阴影部分表示的集合是(∁∴(∁故答案为：B．【分析】化简集合A，根据集合的运算求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：由题得z=3−i∴|z|=1，|z|−z=2故答案为：D．【分析】求出|z|，化简复数|z|−z，利用复数的几何意义可得出结论.3．【答案】C【解析】【解答】解：设公差为d(d≠0)，∵S∴a1+a8=故答案为：C．【分析】根据等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质即可得解.4．【答案】C【解析】【解答】解：因为a>0，b>0，对于选项A：若ab=4，则a+b≥2ab=4，当且仅当对于选项B：当c=0时，式子不成立，B错误；对于选项C：若a+2b=2，则2a当且仅当a=2b=1时取等号，C正确；对于选项D：因为a>b>m>0，且ba−b+m故答案为：C．【分析】对于A.利用基本不等式求解判断；对于B.取c=0判断；对于C.利用基本不等式结合指数运算求解判断；对于D.利用作差法比较.5．【答案】D【解析】【解答】解：由a(a+1)>0，得到a>0或a<−1，当a>0时，e=c当a<−1，双曲线y2−a−1−x2故答案为：D．【分析】根据曲线为双曲线，由a(a+1)>0求得a的范围求解.6．【答案】C【解析】【解答】解：连接OM，OC如图所示：

设〈AD,OM〉=θ，依题意，AD=8，OC=4则AD⋅由θ∈[0,π]，得−1≤cos故答案为：C.【分析】根据给定的图形，利用数量积的运算律及定义求解即得.7．【答案】A【解析】【解答】解：∵tanh∴e2x0=4∵tanh∴tanh故答案为：A.【分析】根据题意，由tanhx0=8．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示：在正四面体P−ABC中，假设PH⊥底面ABC，则点H为△ABC外心．在PH上取一点O，满足OA=OM，则O为三棱锥M−ABC的外接球球心．∴当OA取得最小值时，OM最小，三棱锥M−ABC的外接球体积最小，此时点O与点H重合．作MN⊥AH，垂足为N，∴MN//PH，∴MN为三棱锥M−ABC的高．由正四面体P−ABC的棱长为23，易知AH=2=MH所以PH=PA2−AH由PHAH=MNAN=2，设由HM2=MN2∴MN=423故答案为：A.【分析】首先根据几何性质分析外接球的球心位置，再构造长度的等量关系，即可求解三棱锥的体积.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：选项A．T=2π选项B，易知f(π8)为最大值或最小值，∴x=∴2×π8+φ=kπ+π2，k∈Z．∴φ=选项C，f(π选项D，当x∈[0,π2当且仅当2x+π4=π即x=3π8故答案为：ABD．【分析】首先根据函数的性质求周期，再利用最值求φ，再根据CD选项，采用代入的方法，结合函数的性质，即可判断.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，依题意，事件A1，事件A2不能同时发生，对于B，P(A1)=35对于C，P(B|∴P(B)=P(A对于D，P(A故答案为：ABC．【分析】事件A1，事件A2不能同时发生，求出P(A1)，P(A211．【答案】A,C【解析】【解答】解：令x=y=0，则f(0)−f(0)=f2(令x=0，则f(y)−f(−y)=f(32)f(y+32f(3)=f(−3)，令x=y=32，则令x=y=−32，则f(−3)−f(0)=f所以(f2(0)+f(0))2=f2令y=−32，则所以f(x−32)+f(x+32)=0，故答案为：AC．【分析】根据条件等式，利用赋值法，求特殊函数值，以及判断函数的奇偶性和周期性.12．【答案】60【解析】【解答】解：(2x−1x)令6−32r=0，得r=4，则(2x−故答案为：60．【分析】利用(2x−1x)13．【答案】7【解析】【解答】解：因为点B1在底面ABCD的射影为BC中点H，则B1H⊥又因为四边形ABCD为正方形，以点H为坐标原点，BA、HC、HB1的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系因为B1H⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则因为AB=4，AA1=4则A(4,−2,0)、D(4,所以AD易知平面ABCD的一个法向量为n→cosA因此，直线AD1与平面ABCD所成角的正弦值为故答案为：74【分析】以点H为坐标原点，BA、HC、HB1的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系H−xyz，求得平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1)，直线AD14．【答案】[【解析】【解答】解：由a，b为函数f(x)=ax故有a(x−a)(x−b)=ax2−bx+c则a(a+b)=ba2b=c由a，b，c为某三角形的三边长，且a<b，故1−a>0，且a<a21−a因为b+c>a必然成立，则a+c>ba+b>c即a+a41−a>a可得a+b−c=a+=a(1+a+a令g(x)=x3+x2可知g(x)在(1则g(x)<f(5可知a+b−c<5−1恒成立，故M的取值范围是故答案为：[5【分析】根据题意分析可知b=a21−ac=a41−a，结合三角形三边关系可得12<a<15．【答案】（1）解：∵a+c2+b∴a+c∴a+c2=b2sin2cos∵C∈(0,π)，B∈(0,π)，∴（2）解：∵|BD|=1，BD⋅BA=|延长AD，过点B作BE//AC，如图所示：

∴∠BAD=∠DAC=∠BED，∴|AB|=|BE|，△ADC∽△EDB，∴|BEAC|=|∴|AC|=4|CD|．∴设CD=m，则AC=4m，在△ABC中，|AC|2(4m2)=42+(1+m)∴|AC|=4m=【解析】【分析】（1）根据a+c（2）由向量BA在BD上的投影向量为−2BD，|BD|=1，得到|BA|=4，再根据相似形得到|AC|=4|CD|16．【答案】（1）解：由于f(e)=1e，则切点坐标为因为f'(x)=1−故切线方程为y=（2）解：当x∈[1,+∞)时，xf(x)<a(x令g(x)=a(x2−1)−lnx<a(x2−1)恒成立，则当a≤0时，g'(x)≤0，函数g(x)在[1,当0<a<12时，由g'x∈[1,12a)时，g'当a≥12时，2a≥1，因为x≥1，所以2ax所以函数g(x)在[1,+∞)上单调递增综上所述，a≥1【解析】【分析】（1）由已知易求得切点坐标，进而利用导数求得切线斜率，可求切线方程；（2）g(x)=a(x2−1)−lnx，由题意可得g(x)≥0恒成立，求导数，分a≤0，0<a<17．【答案】（1）解：由于5×0.01+5×0.所以这20人的年龄的第74百分位数为：35+（2）解：由频率分布直方图可知，第四组的人数为20×0.04×5=4人，第五组的人数为随机变量X的取值为12，3，有P(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=C随机变量X的分布列为：X123P131有E(X)=1×（3）解：由频率分布直方图得各组人数之比为1:故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第二组和第三组分别抽取7人和6人，设第二组、第三组的社区居民的年龄的平均数分别为x2，x3，方差分别为s2则x2=26，x3=32.设第二组和第三组所有社区居民的年龄平均数为z，方差为s2则z=s=17313，因此，这20人中年龄在区间[25,【解析】【分析】（1）结合频率分布图中每组的频率，利用百分位数的定义求解即可；（2）先求出两组的频数，然后确定随机变量的取值及对应的概率，即可求出分布列，根据数学期望的定义求解即可；（3）根据频率比得第二组和第三组分别抽取了7人和6人，结合题目数据根据分层方差公式求解计算即可.18．【答案】（1）解：由点A(a,0)和B(0,由直线4x−23y−1=0的斜率为23，可得直线AB的斜率为−3又由线段AB的中点(a2,b2)联立方程①②解得a=2，b=3故椭圆C的标准方程为C（2）解：设P(x1,y1)，由x=my+tx24+y所以y1由kAPkAQ=−1所以4y所以(4+m所以(4+m2)所以t=2或t=−1，若t=2，则直线lPQ:x=my+2所以lPQ:x=my−1过定点S(−1所以D在以BS为直径的圆上，|BS|=2，MS的中点为T(−12,所以|AT|=3所以|AD|的最小值为|AT|−|BS|即|AD|的最小值为7−1【解析】【分析】（1）由已知可得−ba=−32（2）设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，由题意得直线19．【答案】（1）解：不妨设m≥