【创新设计】2022届数学一轮(文科)北师大版-课时作业10-3-第十章统计、统计案例与概率

第3讲相关性、最小二乘估量与统计案例基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2021·湖北七市(州)联考)为争辩语文成果和英语成果之间是否具有线性相关关系，统计两科成果得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y＝bx＋a近似地刻画其相关关系，依据图形，以下结论最有可能成立的是 ()A．线性相关关系较强，b的值为3.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无争辩价值解析依题意，留意到题中的相关的点均集中在某条直线的四周，且该直线的斜率小于1，结合各选项知，故选B.答案B2.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是()A．直线l过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数肯定相同解析由样本的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到0之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不确定平均，无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．答案A3．(2022·石家庄模拟)登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对比表：气温(℃)181310－1山高(km)24343864由表中数据，得到线性回归方程y＝－2x＋a(a∈R)．由此请估量山高为72km处气温的度数为 ()A．－10 B．－8 C．－4 D．－6解析由表中数据可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(18＋13＋10－1,4)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40，所以中心点(10，40)在线性回归直线y＝－2x＋a上，所以40＝－20＋a，解得a＝60，所以线性回归方程为y＝－2x＋60，当y＝72时，x＝－6，故选D.答案D4．(2021·郑州质量猜测)通过随机询问110名性别不同的同学是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110附表：P(χ2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828若由χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)算得χ2＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.8.参照附表，得到的正确结论是 ()A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析依题意，由于P(7.8≥6.635)＝0.010，因此有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选A.答案A5．(2022·宝鸡复习检测)下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个线性回归方程y＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强；④在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越大，推断两个变量间有关联的把握就越大．其中错误的个数是 ()A．0 B．1 C．2 D．3解析方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；在回归方程y＝3－5x中，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位，故②不正确；依据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越强，故③不正确；对分类变量x与y的随机变量的值χ2来说，χ2越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故④正确．综上所述，错误结论的个数为2，故选C.答案C二、填空题6．已知回归方程y＝4.4x＋838.19，则可估量x与y的增长速度之比约为________．解析x每增长1个单位，y增长4.4个单位，故增长的速度之比约为1∶4.4＝5∶22.事实上所求的比值为回归直线方程斜率的倒数．答案5∶227．(2021·嘉兴联考)为了推断高中三班级同学是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名同学，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720依据表中数据，得到χ2＝eq\f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈4.844.则认为选修文科与性别有关系的可能性约为________．解析∵χ2≈4.844，依据假设检验的基本原理，应当断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种推断的可能性约为95%.答案95%8．某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法猜测他孙子的身高为________cm.解析儿子和父亲的身高可列表如下：父亲身高173170176儿子身高170176182设线性回归方程为y＝a＋bx，由表中的三组数据可求得b＝1，且过中心点(173，176)，故a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝176－173＝3，故线性回归方程为y＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185cm.答案185三、解答题9．假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的修理费用y(万元)有如下表的统计资料：使用年限x(年)23456修理费用y(万元)2.23.85.56.57.0若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：(1)线性回归直线方程；(2)依据回归直线方程，估量使用年限为12年时，修理费用是多少？解(1)列表i12345合计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xeq\o\al(2,i)4916253690eq\o(x,\s\up6(－))＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝5；eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝90；eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝112.3b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝1.23，于是a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝5－1.23×4＝0.08.所以线性回归直线方程为y＝1.23x＋0.08.(2)当x＝12时，y＝1.23×12＋0.08＝14.84(万元)，即估量使用12年时，修理费用是14.84万元．10．(2021·深圳调研)某企业通过调查问卷(满分50分)的形式对本企业900名员工的工作满足度进行调查，并随机抽取了其中30名员工(16名女员工，14名男员工)的得分，如下表：女47363248344443474641434250433549男3735344346363840393248334034(1)依据以上数据，估量该企业得分大于45分的员工人数；(2)现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满足”，否则为“不满足”，请完成下列表格：“满足”的人数“不满足”的人数合计女16男14合计30(3)依据上述表中数据，利用独立性检验的方法推断，能否有99%的把握认为该企业员工“性别”与“工作是否满足”有关？解(1)从表中可知，30名员工中有8名得分大于45分，所以任选一名员工，他(她)的得分大于45分的概率是eq\f(8,30)＝eq\f(4,15)，所以估量此次调查中，该单位约有900×eq\f(4,15)＝240名员工的得分大于45分．(2)完成下列表格：“满足”的人数“不满足”的人数合计女12416男31114合计151530(3)假设H0：性别与工作是否满足无关，依据表中数据，求得χ2＝eq\f(30×（12×11－3×4）2,15×15×16×14)≈8.571＞6.635，∴有99%的把握认为性别与工作是否满足有关．力量提升题组(建议用时：25分钟)11．已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设依据上表数据所得线性回归直线方程y＝bx＋a，若某同学依据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是 ()A．b>b′，a>a′ B．b>b′，a<a′C．b<b′，a>a′ D．b<b′，a<a′解析由题意可知，b′＝2，a′＝－2，b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(5,7).a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×eq\f(7,2)＝－eq\f(1,3)，∴b<b′，a>a′，选C.答案C12．有甲、乙两个班级进行数学考试，依据大于等于85分为优秀，85分以下非优秀统计成果，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30合计已知在全部105人中随机抽取1人，成果优秀的概率为eq\f(2,7)，则下列说法正确的是 ()A．列联表中c的值为30，b的值为35B．列联表中c的值为15，b的值为50C．依据列联表中的数据，若按95%的牢靠性要求，能认为“成果与班级有关系”D．依据列联表中的数据，若按95%的牢靠性要求，不能认为“成果与班级有关系”解析由题意知，成果优秀的同学数是30，成果非优秀的同学数是75，所以c＝20，b＝45，选项A，B错误．依据列联表中的数据，得到χ2＝eq\f(105×（10×30－20×45）2,55×50×30×75)≈6.6>3.841，因此有95%的把握认为“成果与班级有关系”．答案C13．某医疗争辩所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918.对此，四名同学得出了以下的推断：p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r：这种血清预防感冒的有效率为95%；s：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，真命题的序号是________．①p且綈q；②綈p且q；③(綈p且綈q)且(r或s)；④(p或綈r)且(綈q或s)．解析∵χ2≈3.918＞3.841，∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，即命题p正确，命题q，r，s均不正确．对①②③④依次进行推断，可知①④正确．答案①④14．某中学争辩性学习小组，为了争辩高中同学的作文水平是否与爱看课外书有关系，在本校高三班级随机调查了50名同学．调查结果表明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另外7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好，另外19人作文水平一般．(1)试依据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为高中同学的作文水平与爱看课外书有关系；爱看课外书不爱看课外书总计作文水平好作文水平一般总计(2)将其中某5名爱看课外书且作文水平好的同学分别编号为1，2，3，4，5，某5名爱看课外书且作文水平一般的同学也分别编号为1，2，3，4，5，从这两组同学中各任选1人进行学习沟通，求被选取的2名同学的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率．参考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：P(χ2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)2×2列联表如下：爱看课外书不爱看课外书总计