真子集的个数公式_第1页
真子集的个数公式_第2页
真子集的个数公式_第3页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

真子集的个数公式对于一个集合A，其元素个数为n，我们要求其中的真子集（即不包括空集和A本身的所有子集）的个数。假设其真子集个数为S，则有如下公式：S=2^n-2其中，2^n表示A的所有子集的个数，2表示空集和A本身两个不是真子集的子集的个数，2^n-2就是真子集的个数。下面，我们来证明这个公式。首先，我们可以把A中的元素随意排列，不影响真子集的个数。不妨假设A中的元素按照字典序排列，即$A=\\{a_1,a_2,\\ldots,a_n\\}$，其中$a_1\\lea_2\\le\\ldots\\lea_n$。接下来，我们考虑如何计算真子集的个数。对于A中的任意一个元素a，它可以选择进入一个子集S，也可以选择不进去。因此，针对元素a，就有2种选择。类似地，对于A中的任意两个元素a和b，它们可以都不进入任何一个子集；或者只有a进入一个子集；或者只有b进入一个子集；或者a和b都进入一个子集。因此，为了计算真子集的个数，我们需要考虑A中所有元素的选择情况。假设我们选择了A中的一些元素，它们组成了一个子集$S=\\{a_{i_1},a_{i_2},\\ldots,a_{i_k}\\}$，其中$i_1<i_2<\\ldots<i_k$。则，该子集的补集即为$A-S=\\{a_{j_1},a_{j_2},\\ldots,a_{j_{n-k}}\\}$，其中$1\\lej_1<j_2<\\ldots<j_{n-k}\\len$。由于在一个子集中，元素之间的顺序并不重要，因此，所有选择A中的元素构成子集的方案数，实际上就是在一个长度为n的二进制数中选择k个1的方案数，即为$C_n^k$。对于每个子集S，它的补集中剩下的n-k个元素，可以随意选择进入或不进入另外一个子集，因此，有$2^{n-k}$种选择方案。综上所述，对于每个$k=1,2,\\ldots,n-1$，选择$k$个元素构成一个子集的方案数为$C_n^k$，补集中剩下的$n-k$个元素可以选择进入或不进入另外一个子集，因此，补集中元素的选择方案数为$2^{n-k}$。因此，对于每个$k=1,2,\\ldots,n-1$，选择$k$个元素构成一个子集，补集中的元素可以任意选择的方案数为$C_n^k2^{n-k}$。而每个子集都有一个与之唯一对应的补集，因此，选择$k$个元素构成一个子集，且该子集不是空集或A本身的方案数就是$C_n^k2^{n-k}+C_n^{n-k}2^k$。其中，$C_n^{n-k}$表示在剩下的n-k个元素中选择n-k个元素，即为补集中选择$n-k$个元素的方案数。最后，我们将每个子集中选择k个元素的方案数相加，得到真子集的个数$S$：$$S=\\sum_{k=1}^{n-1}{C_n^k(2

人人文库> 全部分类> 应用文书 > 作业报告

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论