【同步辅导】2021高中数学北师大版选修1-1学案：《双曲线的简单性质》

第8课时双曲线的简洁性质1.了解双曲线的简洁几何性质,并能利用这些简洁几何性质求标准方程.2.进一步把握待定系数法的解题方法.3.进一步理解并把握代数学问在解析几何运算中的作用,提高解方程组和计算的力量,能利用双曲线的定义、标准方程、几何性质,解决与双曲线有关的实际问题,提高分析问题与解决问题的力量.如图,某工厂有一双曲线型自然通风塔,其外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,已知该塔最小半径为12米,下口半径为25米,下口半径到最小圆面距离为45米,整个通风塔高为55米,问在建筑过程中,上口半径应当建多少米?问题1:通过阅读教材,完成下表标准方程x2a2-y2b2=1(y2a2-x2b2=1(图形范围

焦点

顶点

焦距|F1F2|=2c(a2+b2=c2)轴长实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|=2b对称性

渐近线

离心率

问题2:试比较椭圆与双曲线的几何性质的异同①椭圆与双曲线的离心率都为.椭圆的离心率e∈,双曲线的离心率e∈;

②椭圆中长轴长大于短轴长,即;双曲线中,虚轴长2b和实轴长2a大小关系;

③焦点在坐标轴,中心为原点时,椭圆与双曲线的焦点坐标形式全都,即或.在椭圆中,c2=a2-b2,在双曲线中,c2=a2+b2;

④双曲线渐近线,椭圆渐近线.

问题3:双曲线的离心率对双曲线外形的影响①用a,b表示双曲线的离心率为e=.

②双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据.由于ba=,当e的值渐渐时,ba的值就渐渐增大,这时双曲线的外形就从“扁狭”渐渐变得“开阔”,问题4:实轴和虚轴长相等的双曲线叫作双曲线,它的渐近线方程为y=,离心率e=.

1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是().A.2 B.22 C.4 D.422.双曲线的渐近线为y=±34x,则双曲线的离心率是()A.54 B.2 C.54或53 D.3.双曲线x216-y29=4.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,焦距为2c,左顶点为A,虚轴的上端点为B(0,b),若BA·BF双曲线的简洁性质求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.依据双曲线的性质求双曲线方程依据下列条件,求双曲线方程:(1)与双曲线x29-y216=1有共同的渐近线,且过点(-3(2)与双曲线x216-y24=1有公共焦点,且过点(32利用直线与双曲线的位置关系求参数的值已知双曲线方程x2-y24=1,过点P(1,1)的斜率为k的直线l与双曲线只有一个公共点,求k求双曲线9y2-4x2=36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.依据下列条件,分别求出双曲线的标准方程.(1)焦距为10,渐近线方程为y=±12x(2)过点P(3,-2),离心率为52当k取什么值时,直线y=kx-1与双曲线4x2-9y2=36仅有一个公共点.1.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2,焦距为4A.y=±3x B.y=±33x C.y=±3x D.y=±22.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率A.2 B.3 C.54 D.3.若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点为(10,0),则双曲线的标准方程是.

4.求双曲线x2-y24=1(2021年·湖北卷)已知0<θ<π4,则双曲线C1:x2sin2θ-y2cos2θ=1与C2A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等考题变式(我来改编):第8课时双曲线的简洁性质学问体系梳理问题1:|x|≥a,y∈R|y|≥a,x∈RF1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)A1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)关于x轴、y轴成轴对称,关于原点成中心对称xa±yb=0xb±ya=0问题2:①e=ca(0,1)(1,+∞)②2a>2b③(±c,0)(0,±c)④有无问题3:①ca=a2+b2a问题4:等轴±x2基础学习沟通1.C双曲线标准方程为x24-y28=12.C①焦点在x轴上:ba=34,e=ca②焦点在y轴上:ab=34,e=ca3.54∵实半轴长a=4,虚半轴长b=3,则半焦距c=a2+b2=16+9=5,∴离心率4.解:由条件知F(c,0),A(-a,0),∴BA=(-a,-b),BF=(c,-b),∵BA·BF=3ac,∴-ac+b2=3ac,又b2=c2-a2,∴c2-a2-4ac=0,∵e>1,∴e=ca=2+5重点难点探究探究一:【解析】将原方程转化为x29-y24=1,所以a=3,b=2因此顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0),焦点坐标为F1(-13,0),F2(13,0),实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,离心率e=ca=133,渐近线方程为y=±【小结】该方程并非标准形式,首先化成标准形式后,再争辩解决问题.已知双曲线的方程求其几何性质时,若不是标准形式的先化为标准方程,确定方程中a,b的对应值,利用c2=a2+b2得到c,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何性质.探究二:【解析】(1)(法一)设双曲线的标准方程为x2a2-y由题意,得b解得a2=94,b2=4,所以双曲线的方程为x294-(法二)设所求双曲线方程为x29-y216=λ(将点(-3,23)代入得λ=14故所求双曲线方程为x29-y2(2)(法一)设所求双曲线方程为x2a2-y2b2=1∵双曲线过点(32,2),∴(32)2a又∵a2+b2=(25)2,∴a2=12,b2=8,故所求双曲线方程为x212-y2(法二)设所求双曲线方程为x216-k-y24+k=1,将点(32故所求双曲线方程为x212-y2【小结】若已知双曲线的渐近线方程为ax±by=0,可设双曲线方程为a2x2-b2y2=λ.探究三:【解析】设l的方程:y=k(x-1)+1代入双曲线方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,∵Δ=0,∴k=52[问题]上述解法考虑全面吗?是不是忽视了直线与双曲线的特殊位置关系?[结论]上述解法不全面,忽视了当4-k2=0,即k=±2时,l与双曲线渐近线平行,l与双曲线只有一个交点.于是,正确解答为:把y=k(x-1)+1代入双曲线方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,当4-k2=0,即k=±2时,l与双曲线的渐近线平行,l与双曲线只有一个交点;当4-k2≠0,k≠±2时,由Δ=0,得k=52综合上述,k=52或k=±2【小结】本题以双曲线为载体,主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.突出考查了双曲线的几何性质.在推断直线与双曲线的位置关系时,把直线和双曲线方程联立得到关于x的方程后,留意考虑二次项系数是否为0(为0时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个交点,重合时无交点).思维拓展应用应用一:把方程9y2-4x2=36化为标准形式y24-x2∴a=2,b=3,c=13,∴顶点坐标为(0,-2),(0,2),焦点坐标为(0,-13),(0,13),实轴长是2a=4,虚轴长是2b=6,离心率e=ca=13渐近线方程y=±23应用二:(1)当焦点在x轴上时,设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0得ba=1又∵2c=10,∴c=5,∴a2+b2=c2=25,∴a2=20,b2=5,故所求双曲线的方程为x220-y2同理可求得焦点在y轴上时双曲线的方程为y25-x2综上,所求双曲线的方程为x220-y25=1或y2(2)依题意,双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,分别争辩如下:若双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(由e=52,得c2a2=由点P(3,-2)在双曲线上,得9a2-2b2=由①②得a2=1,b2=14,所以双曲线方程为x2-y21若双曲线的焦点在y轴上,可设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(同理有c2a2=54,2a2-9b2=1解之得b2=-172(不合题意,舍去),故双曲线的焦点只能在x轴上,所求双曲线的标准方程为x2-y21应用三:将y=kx-1代入4x2-9y2=36,整理得(4-9k2)x2+18kx-45=0.当4-9k2=0,即k=±23时,直线与双曲线的渐近线平行,只有一个公共点当4-9k2≠0,即k≠±23时,Δ=(18k)2-4(4-9k2)·(-45)=0,即k=±53,直线与双曲线相切,综上所述,当k=±23或k=±53时,基础智能检测1.C由题意知2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,所以b=c2-a2=3.又双曲线的渐近线方程是y=±bax,即y=±2.D依据题意,得2a+2c=2×2b,所以a2+2ac+c2=4(c2-a2),即3c2-2ac-5a2=0.所以3e2-2e-5=0,解得e=53或e=-1(舍)3.x2-y29=1焦点为(10,0),渐近线方程为y=±3∴ba=3∴双曲线的标准方程为x21-y29=1,即x2-4.解:把方程化为标准方程为x212-y222=1,由此可知实半轴长a=1,虚半轴长b=2,顶点坐标是(-1,0),(1,0),c=a2+b2=12+22=5,焦点的坐标是(-5,0),