【北京特级教师】2020-2021学年人教A版数学必修4课后练习：三角部分综合问题-二

学科：数学专题：三角部分综合问题题1：题面：设函数f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))＋cos(2x＋eq\f(π,4))，则()A．y＝f(x)在(0，eq\f(π,2))单调递增，其图象关于直线x＝eq\f(π,4)对称B．y＝f(x)在(0，eq\f(π,2))单调递增，其图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称C．y＝f(x)在(0，eq\f(π,2))单调递减，其图象关于直线x＝eq\f(π,4)对称D．y＝f(x)在(0，eq\f(π,2))单调递减，其图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称题2：题面：已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＋cosα＝－eq\f(1,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A．7 B．－7C.eq\f(1,7) D．－eq\f(1,7)题3：题面：函数y＝eq\r(cosx－\f(1,2))的定义域为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))，k∈ZC.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈ZD．R题4：题面：已知函数f(x)＝2eq\r(3)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))－sin(x＋π)．求f(x)的最小正周期.题5：题面：函数y＝f(cosx)的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)，则函数y＝f(x)的定义域为________．题6：题面：将函数f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(6),2)cos2x的图象向右平移eq\f(π,4)个单位后得到函数g(x)的图象，则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值为()A.eq\f(\r(6),2)B．－1C.eq\r(2) D．2题7：题面：已知函数f(x)＝eq\r(3)sin2x＋sinxcosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))(1)求f(x)的零点；(2)求f(x)的最大值和最小值．题8：题面：函数y＝sinx|eq\f(cosx,sinx)|(0<x<π)的图象大致是()课后练习详解题1：答案：D.详解：由于y＝sin(2x＋eq\f(π,4))＋cos(2x＋eq\f(π,4))＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,2))＝eq\r(2)cos2x，所以y＝eq\r(2)cos2x在(0，eq\f(π,2))单调递减，对称轴为2x＝kπ，即x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)．题2：答案：C.详解：sinα＋cosα＝－eq\f(1,5)⇒2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝eq\f(49,25).由于α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sinα－cosα＝eq\f(7,5)，所以sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)⇒tanα＝－eq\f(3,4)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(－\f(3,4)＋1,1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7).题3：答案：C.详解：∵cosx－eq\f(1,2)≥0，得cosx≥eq\f(1,2)，∴2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.题4：答案：2π详解：由于f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋sinx＝eq\r(3)cosx＋sinx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，所以f(x)的最小正周期为2π.题5：答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))详解：由2kπ－eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，得－eq\f(1,2)≤cosx≤1.故所求函数的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).题6：答案：A.详解：∵f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(6),2)cos2x＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2x＋\f(\r(3),2)cos2x))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2(x－\f(π,4))＋\f(π,3)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(6),2).题7：答案：(1)eq\f(5π,6)或π.(2)最大值为eq\r(3),最小值为－1＋eq\f(\r(3),2).详解：(1)令f(x)＝0，得sinx·(eq\r(3)sinx＋cosx)＝0，所以sinx＝0或tanx＝－eq\f(\r(3),3).由sinx＝0，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，得x＝π；由tanx＝－eq\f(\r(3),3)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，得x＝eq\f(5π,6).综上，函数f(x)的零点为eq\f(5π,6)或π.(2)f(x)＝eq\f(\r(3),2)(1－cos2x)＋eq\f(1,2)sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),2).由于x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(5π,3))).所以当2x－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)，即x＝eq\f(π,2)时，f(x)的最大值为eq\r(3)；当2x－eq\f(π,3)＝eq\f(3π,2