2021高考数学(文-江苏专用)二轮复习-专题一-第三讲-三角函数、向量的综合问题5-【要点导学】

向量的基本运算例1如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是.

(例1)【分析】求向量的数量积可用向量的数量积公式,在用公式不太便利时,常利用平面对量基本定理,选择两个特殊向量作为基底,把所求向量用基底表示,再用向量数量积公式进行运算.假如图形是特殊图形,可以考虑建立坐标系,利用向量的坐标进行运算.【答案】(例1)【解析】方法一:坐标法.如图,以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),E(,1),F(x,2).故=(,0),=(x,2),=(,1),=(x-,2),所以·=(,0)·(x,2)=x=,所以x=1,所以=(1-,2),所以·=(,1)·(1-,2)=-2+2=.方法二:设=x,则=(x-1).·=·(+)=·(+x)=x=2x,又由于·=,所以2x=,所以x=,所以=+=+,所以·=(+)·[+]=(+)[+]=||2+||2=×2+×4=.【点评】本题考查平面对量基本定理,向量的数量积公式,向量的坐标运算.向量的数量积的计算通过利用平面对量的基本定理,转化为已知向量的数量积;对于特殊图形,通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求出结果.变式1已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.

【答案】5【解析】方法一:以D为坐标原点,DA,DC所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x,则D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),(变式1)=(2,-x),=(1,a-x),所以+3=(5,3a-4x),|+3|2=25+(3a-4x)2≥25,所以|+3|的最小值为5.方法二:设=x(0<x<1),所以=(1-x),=-=-x,=+=(1-x)+,所以+3=+(3-4x),|+3|2=||2+2××(3-4x)·+(3-4x)2·||2=25+(3-4x)2||2≥25,所以|+3|的最小值为5.变式2(2021·通州中学)在△ABC中,已知·=9,sinB=cosA·sinC,S△ABC=6,P为线段AB上的点,且=x·+y·,则xy的最大值为.

【答案】3【解析】由·=9,得bc·cosA=9.又sinB=cosA·sinC,所以b=c·cosA.又S△ABC=6,所以bc·sinA=6,由上述三式可解得b=3,c=5,cosA=,sinA=.由余弦定理得a2=32+52-2×3×5×=16,a=4,可见△ABC是直角三角形,以c为坐标原点,CA,CB分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则=(3,0),=(0,4),=(1,0),=(0,1),则=x·+y·=x(1,0)+y(0,1)=(x,y),故P(x,y),而P在直线AB上,又直线AB的方程lAB:+=1,所以P(x,y)满足+=1(x>0,y>0).依据基本不等式知+≥2,所以xy≤3,即xy的最大值为3.向量与解三角形例2已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为,且m·n=-1.(1)求向量n;(2)若向量n与q=(1,0)共线,向量p=,其中A,C为△ABC的内角,且A,B,C依次成等差数列,求|n+p|的取值范围.【分析】(1)利用数量积坐标公式和方程思想求出n的坐标;(2)利用三角形内角和为π与三角公式将|n+p|转化为求一个角的三角函数的范围问题.【解答】(1)设n(x,y),由m·n=-1,得x+y=-1,①又向量n与m的夹角为,得x2+y2=1.②由①②解得或所以n=(-1,0)或n=(0,-1).(2)由向量n与q=(1,0)共线知n=(-1,0).由2B=A+C,知B=,A+C=,0<A<.n+p==(cosC,cosA),所以|n+p|2=cos2C+cos2A=+=1+=1+cos,由于0<A<,所以<2A+<,-1≤cos<,得≤1+cos<,即|n+p|2∈,所以|n+p|∈.变式已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;(2)若m⊥p,边长c=2,C=,求△ABC的面积S.【解答】(1)由于m∥n,所以asinA=bsinB,由正弦定理得a2=b2,所以a=b,所以△ABC为等腰三角形.(2)由题意可知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,所以a+b=ab.由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,所以ab=4或-1(舍去),所以S=absinC=·4·sin=.三角函数与导数例3(2022·南通期末)如图,一块弓形薄铁片EMF,(例3)点M为的中点,其所在圆O的半径为4dm(圆心O在弓形EMF内),∠EOF=.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗),AD∥EF,且点A,D在上,设∠AOD=2θ.(1)求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式;(2)当矩形铁片ABCD的面积最大时,求cosθ的值.【解答】(1)设矩形铁片的面积为S,∠AOM=θ.当0<θ<时(如图1),AB=4cosθ+2,AD=2×4sinθ,S=AB×AD=(4cosθ+2)(2×4sinθ)=16sinθ(2cosθ+1).当≤θ<时(如图2),AB=2×4cosθ,AD=2×4sinθ,图1图2(例3)故S=AB×AD=64sinθcosθ=32sin2θ.综上,矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为S=(2)当0<θ<时,对S求导,得S'=16[cosθ(2cosθ+1)+sinθ(-2sinθ)]=16(4cos2θ+cosθ-2).令S'=0,得cosθ=.记区间内余弦值等于的角为θ0(唯一存在).列表:θ(0,θ0)θ0 S'+0-S↗极大值↘又当≤θ<时,S=32sin2θ在上是单调减函数,所以当θ=θ0时,矩形的面积最大,此时cosθ=.【点评】依据条件,分段列出面积S的表达式是解决本题的关键.变式(2022·南通三调)某风景区在一个直径AB为100m的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示).在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路,在路的两侧边缘种植绿化带;从点C到点B设计为沿弧BC的弧形小路,在路的一侧边缘种植绿化带.设∠BAC=θ(单位:弧度)(注:小路及绿化带的宽度忽视不计).(变式)(1)将绿化带总长度表示为θ的函数s(θ);(2)试确定θ的值,使得绿化带总长度最大.【解答】(1)如图,连接BC,设圆心为O,连接CO.在Rt△ABC中,AB=100,∠BAC=θ,(变式)所以AC=100cosθ.由于∠BOC=2∠BAC=2θ,所以弧BC的长为50×